1.4.1 Si
e
son dos conjuntos cualesquiera, la diferencia de
e
es el conjunto
(también simbolizado por
) definido por
y
.
Es decir,
consiste de todos los elementos que están en
pero no en
. Este conjunto se representa por el área sombreada en el siguiente diagrama:
Diferencia de
e
, o entre A y B en este caso
Ejercicio: Probar que
e
son conjuntos disjuntos si y solo si
.
Sean
,
y
conjuntos cualesquiera. Entonces
( D-1 ) ![{\displaystyle x-x=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64440b403d0a4b0a1830d87fd253c5d22cdb1d33)
( D-2 ) ![{\displaystyle x-\varnothing =x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c057312bfa44310dad8d68e5539b00653bd4fbab)
( D-3 ) ![{\displaystyle x-(x-y)=x\cap y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1710643e205e456d1cb45609f38d34aac585de)
( D-4 ) ![{\displaystyle x\cap (y-z)=(x\cap y)-(x\cap z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ea6f515a368dbfcc53deb89a127bd5b3b9b0a8)
( D-5 )
( D-6 ) ![{\displaystyle x-(y\cap z)=(x-y)\cup (x-z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df5850036382db92ca6474a941cc229654e29908)
( D-7 ) ![{\displaystyle x-y\subseteq x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6292b569a41b6aaaed058e24d7a847874c0f166)
( D-8 )
si y solo si
Ver diagrama
1.4.2. Si
es un subconjunto de
, entonces el subconjunto de
,
,
se dice conjunto complementario de
en
. En el siguiente diagrama se representa este conjunto como el area sombreada:
Complemento de
en
, o de A en U en este caso
Sean
e
subconjuntos de un conjunto
. Se cumplen
( C-1 ) ![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{u}u=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db8c0316a601c74bc69b11d6647a4426240da9a1)
( C-2 ) ![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{u}\varnothing =u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36aede28792d937dbbfb6fe557fcd6254f20fbf7)
( C-3 )
(conmutatividad)
( C-4 ) ![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{u}{\mathcal {C}}_{u}x=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a437b90408c9d760563cb6f7b989bc26572d7f)
( C-5 ) ![{\displaystyle x\cup {\mathcal {C}}_{u}x=u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/799102e6f84dbd30cbc18e6fd778e5c0a21fb2af)
( C-6 ) ![{\displaystyle x\cap {\mathcal {C}}_{u}x=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb463b21bddee3b790f32288c7becfbf7fb53e1e)
( C-7 ) ![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{u}(x\cup y)={\mathcal {C}}_{u}x\cap {\mathcal {C}}_{u}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2941f5ca187e10da72ce727eba815c79180fc3f9)
( C-8 ) ![{\displaystyle {\mathcal {C}}_{u}(x\cap y)={\mathcal {C}}_{u}x\cup {\mathcal {C}}_{u}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c1f86ffe309307837b336f5712a820f4e6e941)
( C-9 ) ![{\displaystyle x-y=x\cap {\mathcal {C}}_{u}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3938a7cd33a25199b119592bd5a35d883a679d15)
Los enunciados ( C-7 ) y ( C-8 ) se conocen como leyes de De Morgan.
1.4.3. En ocasiones, para evitar complejidades notacionales, escribiremos
en lugar de
cuando del contexto se sobreentienda cual es el conjunto
.
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