Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos

Semigrupos, monoides y grupos

Definición 1.1: Sea $S$ un conjunto. Una aplicación

$*:S\times S\longrightarrow S$

se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en $S$. La imagen de cualquier par $(a,b)$ bajo la operación $*$ se representa por $a*b$, en lugar de $*((a,b))$ o de $*(a,b)$. Cuando el símbolo que representa la operación es $\cdot$, entonces la imagen de $(a,b)$ bajo la operación $\cdot$ suele representarse también por $ab$.

Una operación binaria $*$ sobre un conjunto $S$ se dice asociativa si

$(a*b)*c=a*(b*c)$

para cualesquiera $a,b$ y $c$ de $S$. Cuando para cualesquiera $a,b$ de $S$ se cumple $a*b=b*a$, se dice que la operación $*$ es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo $+$ para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos $\cdot$ o $+$ para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.

Definición 1.2: Sea $G$ un conjunto y $\cdot$ una operación binaria en $G$. Se dice que el par $(G,\cdot )$ es un semigrupo si la operación $\cdot$ es asociativa. Si, además, existe un elemento $e\in G$ tal que

$ae=ea=a,$

entonces el par $(G,\cdot )$ se llama un monoide.

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide $(G,\cdot )$ simplemente como el monoide $G$, haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.

El elemento $e$ aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide $G$, y es único, pues si $e'$ fuera otro elemento de $G$ con las mismas propiedades, entonces $e=ee'=e'$. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.

Representaremos por $|G|$ al cardinal de un monoide $G$. Si $a$ es el elemento de un monoide $G$ y $n\in \mathbb {Z}$ es un entero positivo, definimos

$a^{n}=a\cdots a\qquad (n\ {\mbox{factores}}),$

Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos $na$ en lugar de $a^{n}$.

Sea $G$ un monoide y $a_{1}\ldots a_{n}$ elementos de $G$ con $1<n\in \mathbb {Z}$. Se define inductivamente el producto de $a_{1}\ldots a_{n}$ como

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdots a_{n}=(a_{1}\cdots a_{n-1})a_{n}.$

Definimos

$\prod _{i=1}^{0}a_{i}=1.$

Con estas definiciones, se cumple el

Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea $G$ un monoide y $a_{1},\ldots ,a_{m},$ $a_{m+1},\ldots ,a_{m+n}$ elementos de $G$. Entonces

$\prod _{i=1}^{m}a_{i}\cdot \prod _{j=1}^{n}a_{j+m}=\prod _{i=1}^{m+n}a_{i}.$

Demostración: Por inducción sobre $n$. Para $n=0$ es evidente. Supuesto cierto para $n$, vemos que

$\prod _{i=1}^{m+n+1}a_{i}$	$~=$	$\prod _{i=1}^{m+n}a_{i}\cdot a_{m+n+1}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{m}a_{i}\cdot \prod _{j=1}^{n}a_{j+m}\cdot a_{m+n+1}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{m}a_{i}\cdot \prod _{j=1}^{n+1}a_{j+m},$

lo que demuestra el teorema.

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Se dice que un monoide $G$ es conmutativo si su operación es conmutativa.

Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea $G$ un monoide conmutativo y $a_{1}\ldots a_{n}$ elementos de $G$. Sea $\varphi$ una aplicación del conjunto $\{1,\ldots ,n\}$ sobre sí mismo. Entonces

$\prod _{i=1}^{n}a_{\phi (i)}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}$

Demostración: Por inducción sobre $n$. Para $n=1$ es evidente. Supóngase cierto para $n-1$. Sea $k$ el entero tal que $\varphi (k)=n$. Entonces,

$\prod _{i=1}^{n}a_{\phi (i)}$	$~=$	$\prod _{i=1}^{k-1}a_{\phi (i)}\cdot a_{\phi (k)}\cdot \prod _{i=1}^{n-k}a_{\phi (k+i)}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{k-1}a_{\phi (i)}\cdot \prod _{i=1}^{n-k}a_{\phi (k+i)}\cdot a_{\phi (k)}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{k-1}a_{\phi (i)}\cdot \prod _{i=1}^{n-k}a_{\phi (k+i)}\cdot a_{n}.$

Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación $\theta$ por

$\theta (i)=\phi (i)\quad$		${\mbox{si}}\ i<k,$
$\theta (i)=\phi (i+1)\quad$		${\mbox{si}}\ i\geq k.$

Así tenemos que

$\prod _{i=1}^{n}a_{\phi (i)}$	$~=$	$\prod _{i=1}^{k-1}a_{\theta (i)}\cdot \prod _{i=1}^{n-k}a_{\theta (k-1+i)}\cdot a_{n}$
	$~=$	$\prod _{i=1}^{n-1}a_{\theta (i)}\cdot a_{n}$

donde $\prod _{i=1}^{n-1}a_{\theta (i)}=\prod _{i=1}^{n-1}a_{i}$ por hipótesis de inducción, y así

$\prod _{i=1}^{n}a_{\phi (i)}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}.$

Definición 1.5: Sea $G$ un monoide. Un elemento $a$ de $G$ se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento $b$, llamado inverso izquierdo de $a$ (resp. inverso derecho de $a$), tal que $ba=1$ (resp. $ab=1$). Se llama invertible a un elemento $a$ que es invertible por ambos lados.

Si un elemento $a$ de un monoide $G$ es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si $b$ y $c$ son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de $a$, entonces $b=b\cdot 1=b(ac)=(ba)c=1\cdot c=c$.

Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide $G$ cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo $a$ de $G$ existe $b$ de $G$ tal que

$ab=ba=1.$

El elemento $b$ aludido en la definición anterior se llama inverso de $a$ y es único, pues si $b'$ es otro inverso de $a$, entonces $b=b(ab')=(ba)b'~=~b'$. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de $a$ se denota, respectivamente, por $a^{-1}$ y $-a$.

Se define

$a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ {\mbox{factores}}).$

En notación aditiva se escribe $-na$ en lugar de $a^{-n}$.

Un grupo $G$ en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que $ab=ba$ para cualesquiera $a$ y $b$ de $G$, se dice grupo abeliano.

El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos

Teorema 1.7: Sea $G$ un grupo y $a,b,c$ elementos de $G$. Se cumplen

(G-1) $aa=a$ implica $a=1$

(G-2) $ab=ac$ implica $b=c$

(G-3) $(a^{-1})^{-1}=a$

(G-4) $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$

(G-5) $(a_{1}\cdots a_{n})^{-1}=a_{n}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}$

Demostración: (G-1) Si $aa=a$, entonces $a=a(aa^{-1})=(aa)a^{-1}=aa^{-1}=1$. (G-2) Si $ab=ac$, entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por $a^{-1}$ se obtiene $b=c$. (G-3) $(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)=((a^{-1})^{-1}a^{-1})a=1\cdot a=a$. (G-4) $(b^{-1}a^{-1})(ab)=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}\cdot 1\cdot b=b^{-1}b=1$, de modo que $b^{-1}a^{-1}$ es inverso de $ab$, pero éste es único, así es que ha de ser $b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}$. (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.

$\blacksquare$

Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.

Teorema 1.8: Un semigrupo $G$ es un grupo si y sólo si

1. existe una identidad por la izquierda $1$ tal que para todo elemento $a$ de $G$, $1a=a$;
2. todo elemento $a$ de $G$ tiene un inverso por la izquierda $a^{-1}$.

Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte, $G$ cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de

$(aa^{-1})(aa^{-1})=a(a^{-1}a)a^{-1}=a(1\cdot a^{-1})=aa^{-1},$

se deduce que $aa^{-1}=1$, por lo que $a^{-1}$ es también inverso de $a$ por la derecha. Además, $a\cdot 1=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=1\cdot a=a$, por lo que 1 es también una identidad por la derecha en $G$, luego $G$ es un grupo.

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Teorema 1.9: Un semigrupo $G$ es un grupo si y sólo si para cualesquiera $a$ y $b$ de $G$ las ecuaciones

$ax=b\qquad {\mbox{y}}\qquad ya=b$

tienen soluciones únicas en $G$.

Demostración: Si $G$ es un grupo, entonces las soluciones de $ax=b$ y $ya=b$ en $G$ son $x=a^{-1}b$ y $y=ba^{-1}$. Recíprocamente, si $G$ es un semigrupo en el que las ecuaciones $ax=b$ y $ya=b$ tienen soluciones únicas, entonces, tomando $a=b$, tenemos que existen $e$ y $e'$ tales que

$ae=a\qquad {\mbox{y}}\qquad e'a=a,$

y si $g$ es un elemento cualquiera de $G$, entonces también existen $r$ y $s$ de $G$ tales que

$as=g\qquad {\mbox{y}}\qquad ta=g,$

de modo que

$ge=(ta)e=t(ae)=ta=g$

(1.1)

y

$e'g=e'(as)=(e'a)s=as=g.$

(1.2)

Puesto que $g$ es cualquier elemento de $G$, podemos tomar $g=e'$ en (1.1)

y $g=e$ en (1.2)

, obteniendo $e'e=e'$ y $e'e=e$, luego $e=e'$ es la identidad de $G$. Ahora, si $a'$ y $a''$ son las soluciones de $ax=e$ y $ya=e$, entonces $a'$ y $a''$ son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de $a$, y como vimos, debe de ser $a'=a''$. Esto prueba que $G$ es un grupo.

$\blacksquare$