Sea
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
potencia
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
de la forma
a
n
=
a
⋅
a
⋅
a
⋯
a
{\displaystyle a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdots a}
Es decir, la potencia
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
n
{\displaystyle n}
En la expresión
a
n
{\displaystyle a^{n}}
a
{\displaystyle a}
base y
n
{\displaystyle n}
exponente .
Calcular las siguientes potencias
4
2
=
4
⋅
4
=
16
{\displaystyle 4^{2}=4\cdot 4=16}
(
−
2
)
4
=
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
=
16
{\displaystyle (-2)^{4}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16}
(
−
7
)
3
=
(
−
7
)
⋅
(
−
7
)
⋅
(
−
7
)
=
−
343
{\displaystyle (-7)^{3}=(-7)\cdot (-7)\cdot (-7)=-343}
(
8
+
6
)
2
=
(
14
)
2
=
196
{\displaystyle (8+6)^{2}=(14)^{2}=196}
8
2
+
6
2
=
64
+
36
=
100
{\displaystyle 8^{2}+6^{2}=64+36=100}
Notas: por los ejemplos vistos, podemos ver que
a) Si la base está elevada a exponente par, la potencia es siempre positiva.
b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.
c) La potenciación no es una operación distributiva sobre la suma o la resta; es decir, en la potenciación se tiene que
(
a
±
b
)
n
≠
a
b
±
b
n
{\displaystyle (a\pm b)^{n}\neq a^{b}\pm b^{n}}
Propiedades de las potencias [ editar ] Potencia de exponente cero:
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
Potencia de exponente entero negativo:
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}
Multiplicación de potencias de igual base:
a
n
⋅
a
m
=
a
n
+
m
{\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}
División de potencias de igual base:
a
n
:
a
m
=
a
n
−
m
{\displaystyle a^{n}:a^{m}=a^{n-m}}
Potencia de una potencia:
(
a
m
)
n
=
a
n
m
{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{nm}}
Multiplicación de potencias de igual exponente:
a
n
⋅
b
n
=
(
a
b
)
n
{\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(ab)^{n}}
División de potencias de igual exponente:
a
n
:
b
n
=
(
a
:
b
)
n
{\displaystyle a^{n}:b^{n}=(a:b)^{n}}
Resolver los siguientes problemas de potencias
1) Para
x
=
−
2
{\displaystyle x=-2}
x
5
−
3
x
2
+
5
x
−
7
{\displaystyle x^{5}-3x^{2}+5x-7}
Sol:
Reemplazar un número negativo en un polinomio 2)
(
1
3
)
2
⋅
(
4
3
)
−
2
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{-2}}
Sol: tenemos que
(
1
3
)
2
⋅
(
4
3
)
−
2
=
1
3
2
⋅
(
3
4
)
2
=
1
3
2
⋅
3
2
4
2
=
1
4
2
=
1
16
{\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{-2}={\frac {1}{3^{2}}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}={\frac {1}{3^{2}}}\cdot {\frac {3^{2}}{4^{2}}}={\frac {1}{4^{2}}}={\frac {1}{16}}}
3)
(
27
20
)
4
:
(
9
4
)
4
{\displaystyle \left({\frac {27}{20}}\right)^{4}:\left({\frac {9}{4}}\right)^{4}}
Sol:
Reemplazar un número negativo en un polinomio 4)
(
2
1
2
⋅
7
1
3
)
6
{\displaystyle \left(2^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\right)^{6}}
Sol: tenemos que
(
2
1
2
⋅
7
1
3
)
6
=
(
2
1
2
)
6
(
7
1
2
)
6
=
2
3
⋅
7
3
=
8
⋅
343
=
2.744
{\displaystyle \left(2^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\right)^{6}=\left(2^{\frac {1}{2}}\right)^{6}\left(7^{\frac {1}{2}}\right)^{6}=2^{3}\cdot 7^{3}=8\cdot 343=2.744}
Para
n
{\displaystyle n}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
la raíz
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
siempre que
a
n
=
b
↔
a
=
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=b\leftrightarrow a=b^{n}}
donde
n
{\displaystyle n}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Calcular
81
{\displaystyle {\sqrt {81}}}
Sol: Acá, como el índice es 2, buscamos un número que elevado a 2 de como resultado 81.
Claramente, tal número es 9. Luego,
81
=
9
{\displaystyle {\sqrt {81}}=9}
27
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}}
Sol: En esta ocasión el índice es 3; luego, buscamos un número que elevado a 3 de como resultado 27.
Tal número es 3. Luego,
27
3
=
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}
64
+
36
{\displaystyle {\sqrt {64+36}}}
Sol:
64
+
36
=
100
=
10
{\displaystyle {\sqrt {64+36}}={\sqrt {100}}=10}
64
+
36
{\displaystyle {\sqrt {64}}+{\sqrt {36}}}
Sol:
64
+
36
=
6
+
8
=
14
{\displaystyle {\sqrt {64}}+{\sqrt {36}}=6+8=14}
−
8
3
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}
Sol: buscamos un número que multiplicado 3 veces de como resultado
−
8
{\displaystyle -8}
−
2
{\displaystyle -2}
−
8
3
=
−
2
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2}
Nota: por los ejemplos vistos, podemos ver que, en general,
a
+
b
n
≠
a
n
+
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b}}\neq {\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}
[ editar ]
(
a
n
)
n
=
a
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}
a
b
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}
a
:
b
n
=
a
n
:
b
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a:b}}={\sqrt[{n}]{a}}:{\sqrt[{n}]{b}}}
(
a
n
)
p
=
a
p
n
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{p}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}}
a
b
n
=
a
n
b
n
{\displaystyle a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}}
a
m
n
=
a
n
m
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{nm}]{a}}}
a
m
n
=
a
m
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}
a
−
n
=
1
a
n
{\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a}}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a}}}}
Resolver las siguientes expresiones con raíces
1)
(
5
2
−
2
3
)
(
3
2
+
4
3
)
{\displaystyle (5{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}})(3{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3}})}
Sol: tenemos que
(
5
2
−
2
3
)
(
3
2
+
4
3
)
=
15
4
+
20
6
−
6
6
−
8
9
=
15
⋅
2
+
14
6
−
8
⋅
3
=
6
+
14
6
{\displaystyle (5{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}})(3{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3}})=15{\sqrt {4}}+20{\sqrt {6}}-6{\sqrt {6}}-8{\sqrt {9}}=15\cdot 2+14{\sqrt {6}}-8\cdot 3=6+14{\sqrt {6}}}
2)
3
80
−
6
98
−
2
45
+
4
72
{\displaystyle 3{\sqrt {80}}-6{\sqrt {98}}-2{\sqrt {45}}+4{\sqrt {72}}}
Sol: Vemos que las raíces no son exactas. Luego, tenemos que descomponer éstas en números que tengan raíz exacta, para después separar y al final reducir términos semejantes.
Tenemos
3
80
−
6
98
−
2
45
+
4
72
=
3
16
⋅
5
−
6
49
⋅
2
−
2
9
⋅
5
+
4
36
⋅
2
=
12
5
−
42
2
−
6
5
+
24
2
=
6
5
−
18
2
{\displaystyle 3{\sqrt {80}}-6{\sqrt {98}}-2{\sqrt {45}}+4{\sqrt {72}}=3{\sqrt {16\cdot 5}}-6{\sqrt {49\cdot 2}}-2{\sqrt {9\cdot 5}}+4{\sqrt {36\cdot 2}}=12{\sqrt {5}}-42{\sqrt {2}}-6{\sqrt {5}}+24{\sqrt {2}}=6{\sqrt {5}}-18{\sqrt {2}}}
3)
x
x
x
{\displaystyle {\sqrt {x{\sqrt {x{\sqrt {x}}}}}}}
Sol: Usando la propiedad 5) dos veces, empezando por la raíz interior, tenemos que
x
x
x
=
x
x
3
=
x
x
3
4
=
x
7
4
=
x
7
8
{\displaystyle {\sqrt {x{\sqrt {x{\sqrt {x}}}}}}={\sqrt {x{\sqrt {\sqrt {x^{3}}}}}}={\sqrt {x{\sqrt[{4}]{x^{3}}}}}={\sqrt {\sqrt[{4}]{x^{7}}}}={\sqrt[{8}]{x^{7}}}}
Racionalizar una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente cuyo denominador es racional.
Caso i: cuando el denominador es un monomio [ editar ] Se sigue la siguiente relación:
a
b
m
n
=
a
b
m
n
⋅
b
n
−
m
n
b
n
−
m
n
=
a
b
n
−
m
n
b
n
n
=
a
b
n
−
m
n
b
{\displaystyle {\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{m}}}}={\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{m}}}}\cdot {\frac {\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}={\frac {a{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{b^{n}}}}={\frac {a{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}{b}}}
1
3
=
1
3
⋅
3
3
=
3
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}}
3
9
a
4
=
3
9
a
4
⋅
(
9
a
)
3
4
(
9
a
)
3
4
=
3
(
9
a
)
3
4
9
a
=
(
9
a
)
3
4
3
a
{\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{4}]{9a}}}={\frac {3}{\sqrt[{4}]{9a}}}\cdot {\frac {\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}{\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}}={\frac {3{\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}}{9a}}={\frac {\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}{3a}}}
Caso ii: cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de segundo orden [ editar ] Se sigue la siguiente relación:
a
b
+
c
=
a
b
+
c
⋅
b
−
c
b
−
c
=
a
(
b
−
c
)
b
−
c
{\displaystyle {\frac {a}{{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}}={\frac {a}{{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}}{{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}}}={\frac {a\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}\right)}{b-c}}}
3
−
2
1
+
2
{\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {2}}}{1+{\sqrt {2}}}}}
Sol:
Racionalización Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Potencias y Raíces .
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=b\leftrightarrow a=b^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd1d21771dd4ef39e40906a8c01a02a7d0260fc)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f365d787e2e4b2b4a9015cf3af10ac91e12782d)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5392df17ff31f62e3cae649d51dd36bde856ce)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1042604e3bf8b89ddd4771fcc19dbb36b05ce423)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b130ad49972cfb951cd0334b8fce072ad343026)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b}}\neq {\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61620a4858d7f93838fa5b30da60215a44ced271)
![{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64cb04ba3b309b574960aaf2b7141e4faae06216)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c1776aebd28dacb6dd7ee5873fa542e36da88d)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a:b}}={\sqrt[{n}]{a}}:{\sqrt[{n}]{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac8e3227d00d5f1e8c489b630e625996f1676a4)
![{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{p}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d059d1f05db5493445c6fb210d92d33dfc5470fd)
![{\displaystyle a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6c7fdd1da477db90eb844788c7f56b7a9e4231)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{nm}]{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e7b8bdd06decebf7a7d25d956796502e462121)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c714f8be840b1ed81134c7179d0a72b3c0a76c9)
![{\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a}}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c88c79ded6a7717c097139305e3f2fa5b81522)
![{\displaystyle {\sqrt {x{\sqrt {x{\sqrt {x}}}}}}={\sqrt {x{\sqrt {\sqrt {x^{3}}}}}}={\sqrt {x{\sqrt[{4}]{x^{3}}}}}={\sqrt {\sqrt[{4}]{x^{7}}}}={\sqrt[{8}]{x^{7}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90c23ce88fa681e8abe07dbe528c1a92224fff0)
![{\displaystyle {\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{m}}}}={\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{m}}}}\cdot {\frac {\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}={\frac {a{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{b^{n}}}}={\frac {a{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3983672216dcb508e41c9df5c3fe6d79d7c4161d)
![{\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{4}]{9a}}}={\frac {3}{\sqrt[{4}]{9a}}}\cdot {\frac {\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}{\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}}={\frac {3{\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}}{9a}}={\frac {\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}{3a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70cd3c342839014805f948bfa4b21a1c2964690)
