Matemáticas/Matrices/Inversa

Para el cálculo de la inversa de una matriz expondremos dos métodos, usando el proceso de Gauss-Jordan y utilizando el concepto de determinante. Antes de explicar su desarrollo definiremos que es una matriz inversa en el siguiente enunciado:

Si $A$ es una matriz cuadrada de $nxn$, $BA=I$ e $I$ es la matriz identidad de $nxn$, entonces $B$ se llama la inversa de $A$ por la izquierda.

Del anterior enunciado podemos deducir el siguiente teorema:

La matriz $A$ es no singular si y sólo si $T$ es invertible. Si $BA=I$, entonces $B=m(T^{-1})$.

Para encontrar la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan debemos tener una matriz ampliada de la siguiente forma:

Sea la matriz $A$ ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}$

y la matriz $I$ ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$

La matriz ampliada queda de la forma ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&|&1&0&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&|&0&1&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&|&0&0&1\\\end{bmatrix}}$

Aplicando Gauss-Jordan llegamos a la siguiente matriz ampliada ${\begin{bmatrix}1&0&0&|&b_{11}&b_{12}&b_{13}\\0&1&0&|&b_{21}&b_{22}&b_{23}\\0&0&1&|&b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}$

Donde la matriz $B$, inversa de $A$ es ${\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}$

El siguiente método es el más usado para el cálculo de matrices inversas, se describe bajo la ecuación ${A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ (adj(A))^{T}\$