Matemáticas/Álgebra Lineal/Método de Gauss

Sea K un cuerpo. Una ecuación lineal con coeficientes en K es una expresión de la forma:

$a_{n}x_{n}+a_{n-1}x_{n-1}+a_{n-2}x_{n-2}+\cdots +a_{2}x_{2}+a_{1}x_{1}=b\,$

donde ${a_{i}}\,$ son elementos de K para todo $i\in {0,...,n}\,$ y se llaman coeficientes; el término $b\,$ es de nuevo un elemento de K y se le llama término independiente y, por último, $x_{1},...,x_{n}\,$ son símbolos que llamaremos incógnitas. Para un número pequeño de incógnitas, usaremos la notación x, y, z, t... Es remarcable el hecho de que, al tratarse de una ecuación lineal, no pueden existir términos de incógnitas al cuadrado.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un conjunto de m escuaciones lineales con las mismas incógnitas:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$

se llama sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Llamaremos soluciones del sistema a cada conjunto de valores asignados a las incógnitas que son solución de todas las ecuaciones del sistema. Se llama solución general del sistema al conjunto de todas las soluciones del sistema. Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución general, es decir, si sus soluciones coinciden.

La clasificación de los sitemas de ecuaciones se hace en función de sus soluciones: si posee alguna solución, se llamará compatible; en caso contrario, se denomina incompatible. Además, los sistemas compatibles se dividen a su vez en: determinados, si la solución es única, e indeterminados en caso contrario. Se denomina discusión de un sistema al proceso de clasificación de un sistema dentro de los tipos anteriores. Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si los términos independientes son cero. Éste tipo de sistemas admiten una solución que se denomina trivial, ${x_{i}}=0\,$ , siendo por tanto compatible en cualquier caso.

Método de Gauss

El método de Gauss es un sistema -probablemente el más útil en dimensiones bajas- de resolución de sistemas de ecuaciones lineales. La idea del método es conseguir, mediante un sistema dado, uno equivalente más sencillo, y aplicar el método iterativamente hasta obtener un sistema de solución obvia.

Proposición 1: Si en un sistema de ecuaciones lineales dado intercambiamos dos ecuaciones de lugar, multiplicamos una ecuación por un miembro del cuerpo K, o sumamos una ecuación a otra multiplicada por un elemento del cuerpo, obtenemos un sistema equivalente.

Demostración: es obvio que el primer predicado es cierto. El segundo lo podemos extraer de las propiedades de cuerpo de K, esto es, que si tenemos $a,b,c\in K\,$, con $c\neq 0\,$, entonces $a=b\Longleftrightarrow ac=bc\,$. Para el tercer predicado consideramos el sistema de ecuaciones lineales:

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$

y lo que resulta de sumar h veces la i-ésima ecuación a la j-ésima: