Curso de física estadística/Descripción microscópica de un sistema termodinámico/El espacio de las fases

Notación

Consideremos un sistema de N partículas que pueden desplazarse en las tres dimensiones espaciales. El estado físico de cada partícula vendrá completamente caracterizado por tres coordenadas generalizadas y los momentos conjugados o asociados a cada coordenada generalizada. A menudo se representa en una tupla como la siguiente

$\left(q_{1},q_{2},q_{3},p_{1},p_{2},p_{3}\right)$.

Para conocer el estado del sistema (es decir, el de todas las partículas que lo conforman) necesitaremos conocer N tuplas como la anterior. Estrictamente, esto podríamos representarlo como una tupla de N elementos (N-tupla) que a su vez son tuplas de 6 elementos (6-tuplas).Sin embargo, por comodidad se abreviará como una única tupla de 6N elementos o 6N-tupla.

En distintos libros y en distintas partes del mismo libro se puede observar que para hacer referencia a dicha tupla se usan representaciones diferentes. Esto no tiene mayor importancia ya dado que casi siempre los elementos se ponen en el mismo orden dentro de la tupla. Una representación explícita es

$\left(q_{1}^{(1)},q_{2}^{(1)},q_{3}^{(1)},q_{1}^{(2)},\cdots ,q_{3}^{(N)};p_{1}^{(1)},p_{2}^{(1)},p_{3}^{(1)},p_{1}^{(2)},\cdots ,p_{3}^{(N)}\right)$

donde $q_{j}^{(i)}$ hace referencia a la coordenada j de la partícula i, e igual para el momento. El punto y coma a veces se utiliza para ayudar a distinguir entre el bloque de coordenadas generalizadas y el de los momentos, pero igualmente se puede poner en su lugar la coma. Al conjunto de todas las coordenadas generalizadas y momentos generalizados se le denomina variables canónicas.

Así pues, la manera más común de hacer referencia a la tupla es poner primero todo lo referente a la primera partícula, después a la segunda partícula, etc., en lugar de dar prioridad a, por ejemplo, poner las primeras coordenadas de todas las partículas, después la segundas, etc.. Usando dicho convenio, es más corto escribir la tupla como

$\left(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{3N};p_{1},p_{2},\cdots ,p_{3N}\right)$

donde $p_{1}$/$q_{1}$, $p_{2}$/$q_{2}$ y $p_{3}$/$q_{3}$ representan el/la primer/a, segundo/a y tercer/a momentos/coordenadas generalizados/as de la primera partícula, $p_{4}$/$q_{4}$, $p_{5}$/$q_{5}$ y $p_{6}$/$q_{6}$ para la segunda partícula, etc.. Aún más económico es simplemente escribir la notación contracta (q,p), donde se sobrentiende que es exactamente la misma tupla que la anterior.

El espacio de las fases

Las coordenadas y los momentos generalizados de las partículas son pues, toda la información del sistema. Ahora intentemos sacar más partido de este hecho. Una única partícula se encuentra localizada en un espacio 3-dimensional, que es como vemos el mundo que nos rodea, y podemos definir su posición si conocemos sus coordenadas generalizadas. Esto es así independientemente de cuáles sean las coordenadas generalizadas, ya que no importa si son sus coordenadas cartesianas con respecto a un eje situado en algún lugar o se trata de cualesquiera otras; las coordenadas generalizadas siempre colocarán nuestra partícula en una posición del espacio. Sin embargo, aun estando en la misma posición en un tiempo fijo, una partícula puede estar moviéndose en muchas direcciones sin que esto la ligue de ninguna manera con la posición en la que se encuentra. Por ello, además de especificar su posición en el espacio "espacial", necesitamos especificar adicionalmente sus momentos conjugados pasa saber qué está haciendo esa partícula.

Veamos ahora a la partícula con otros ojos; dado que la partícula se encuentra definida por seis valores, podemos decir que la partícula vive en o pertenece a un espacio de 6 dimensiones, donde se especifica su posición en dicho espacio con las coordenadas generalizadas más los tres momentos. Es pues, una generalización del espacio ordinario, pero es un espacio mucho más interesante porque si sabemos en qué "sitio" se encuentra de dicho espacio, sabemos todo sobre dicha partícula. Este es el espacio de las fases.

Se ha usado la palabra "sitio" evitando usar la palabra "coordenada" que, aunque perfectamente apropiada podría crear confusión, pues estamos utilizando dicho término para "coordenada generalizada". La relación entre ambas es: las coordenadas generalizadas conforman la mitad de las coordenadas en el espacio de las fases, mientras que el resto de coordenadas son los momentos conjugados. No es una gran diferencia conceptual y, ahora que el lector está advertido, usaremos más flexiblemente la palabra coordenada, aunque para evitar confusiones habrá que fijarse en el contexto para saber a qué tipo de coordenada nos referimos.

Para un sistema de N partículas, el espacio de las fases tendrá 6N dimensiones.

Hiper-volúmenes e hiper-superficies

Podemos restringir los grados de libertad de las partículas, estableciendo ligaduras que determinen condiciones sobre la localización que deben tener unas si las otras se encuentran en determinadas posiciones. Esto hace que el conjunto total de valores que pueden tomar las variables canónicas (q,p) sea menor que antes. Incluso se puede afirmar que con ciertas ligaduras la dimensión del espacio en el que viven las partículas se reduce, aunque dicho espacio ahora no es un espacio tal como lo imaginábamos en un principio.

Hablar de hipersuperficies, hipervolúmenes y espacio de las fases.