La derivada direccional

Una forma de determinar, para una función $z=f(x,y)$ , el aumento en la dirección de un cierto vector $u=(u_{1},u_{2})$ a partir del punto genérico $(x,y)$ es a través de la recta

$L(h)=(x,y)+h(u_{1},u_{2})=(x+hu_{1},y+hu_{2})$ ,

situación que se muestra en la figura 3, de tal forma que si $u=(u_{1},u_{2})$ es unitario, es decir, $||u||=1$ , se puede establecer el cociente de diferencias de la función $z$ respecto del incremento en la dirección de $u$ .

Figura 3. Recta en dirección de $(u_{1},u_{2})$

Definición

Sea la función escalar $z=f(x)$ que depende del vector n-dimensional $x$ , se define la derivada direccional en dirección del vector $u$ como

$f'(x;u)=lim_{h\to 0}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}}$

Ejemplo 1

Sea la función $g(x,y):=3x^{2}-2xy+y^{2}$ . Determine la derivada direccional en dirección del vector $u=(u_{1},u_{2})$ y evalúela en los puntos P1 = (1, - 1) y P2 = (2,1).

Solución

Se debe hallar explícitamente $g(\mathbf {x} +hu)$ , donde $\mathbf {x} =(x,y)$ . Así

${\begin{aligned}g(\mathbf {x} +hu)&=g((x,y)+h(u_{1},u_{2}))\\&=g(x+hu_{1},y+hu_{2}),\end{aligned}}$

lo que nos conduce a

$g(x+hu_{1},y+hu_{2})=3(x+hu_{1})^{2}-2(x+hu_{1})(y+hu_{2})+(y+hu_{2})^{2}.$

Expandiéndolo nos queda

${\begin{aligned}g(x+hu_{1},y+hu_{2})=&3x^{2}+3h^{2}u_{1}^{2}+6hxu_{1}\\&-2xy-2hxu_{2}-2hyu_{1}-2h^{2}u_{1}u_{2}\\&+y^{2}+h^{2}u_{2}^{2}+2hyu_{2}.\end{aligned}}$

Se realiza el cociente de diferencias como

${\begin{aligned}{\frac {g(\mathbf {x} +hu)-g(\mathbf {x} )}{h}}=&{\frac {3x^{2}}{h}}+3hu_{1}^{2}+6xu_{1}\\&-{\frac {2xy}{h}}-2xu_{2}-2yu_{1}-2hu_{1}u_{2}\\&+{\frac {y^{2}}{h}}+hu_{2}^{2}+2yu_{2}.\\&-{\frac {3x^{2}}{h}}+{\frac {2xy}{h}}-{\frac {y^{2}}{h}}\end{aligned}}$

Vemos que todos los términos que dividen por $h$ se anulan. Ahora, tomamos el límite cuando $h$ tiende a cero para obtener la derivada direccional.

${\begin{aligned}g'(x,y;u)&=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+hu_{1},y+hu_{2})-g(x,y)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}3hu_{1}^{2}+6xu_{1}-2xu_{2}-2yu_{1}-2hu_{1}u_{2}+hu_{2}^{2}+2yu_{2}\\&=6xu_{1}-2xu_{2}-2yu_{1}+2yu_{2}\\&=(6x-2y,2y-2x)\cdot (u_{1},u_{2}).\end{aligned}}$

Ahora evaluamos en el punto (1, - 1)

$g'(1,-1;u)=(8,-4)\cdot (u_{1},u_{2})=8u_{1}-4u_{2}$

y en el punto (2,1)

$g'(2,1;u)=(10,-2)\cdot (u_{1},u_{2})=10u_{1}-2u_{2}$

Véase que el valor de la derivada depende de la dirección que se tome, si por ejemplo el vector unitario de dirección es (sqrt (2)2, -sqrt (2) 2) el valor de la derivada en el punto (1, - 1) es g '((1, - 1);(sqrt (2)2,- sqrt (2)2)) = 8(sqrt (2)2) - 4(sqrt (2)2) = 2.8284, cuya interpretación es que en el punto (1, - 1), en la dirección (sqrt (2)2, -sqrt (2)2), la función tiene un incremento de 2.83 unidades por cada unidad de incremento; pero si se elige, por ejemplo, la dirección (1sqrt (5),2sqrt (5)) queda g '((1, - 1);(1 sqrt (5),2sqrt (5))) = 8(1sqrt (5)) - 4(2sqrt (5)) = 0 lo que significa que en esta dirección en el punto (1, - 1) la función g no tiene algún tipo incremento. A continuación un par de gráficas que se espera clarifiquen más lo expuesto en este ejemplo.

Figura 4. Superficie g(x,y): = 3 x^2 - 2 x y + y^2 Figura 5. Curva de nivel de g(x,y) que pasa por (1, - 1)

En la gráfica 4 se ve la función con sus curvas de nivel, en la gráfica 5 se ha dibujado la curva de nivel que pasa por el punto (1, - 1) y los vectores dirección a partir de este punto, nótese que el vector dirección ( 1 sqrt (5) , 2 sqrt (5) ) es tangente a la curva de nivel, es decir que caminando en esa dirección en ese punto no hay incremento ni decremento en la altura z , cosa que no sucede cuando nos dirigimos en la dirección ( sqrt (2) 2 , - sqrt (2) 2 ).

Ejercicios

Aplicando la definición de derivada direccional, haga el cálculo para las siguientes funciones escalares:

Ejercicio 1

f(x) = x⋅x siendo x = (x,y) en el punto (1,1) en la dirección del vector

( - 1,1)

Ejercicio 2

f(x,y,z) = 3 x^2 - 2 x y + y^2 + z2 en el punto ( - 1,0,0) y en la dirección del vector (2,1,2)

Derivadas parciales

Hablar de las derivadas parciales es hablar de un caso particular de las derivadas direccionales puesto que las direcciones generalmente son paralelas al eje z pero también a cualquiera de los ejes de las variables involucradas, es decir, si ei = (01,02,⋯,1i, 0n - 1,⋯,0n) el vector unitario en la dirección del eje de la variable i-ésima se tiene que la definición de la derivada parcial es entonces:

Definición

Se dice que una función $f'_{i}(x)$ es la derivada parcial de una función multivaluada escalar $f(x)$ si queda definida como

$f_{i}'(x)=f'(x;e_{i})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+he_{i})-f(x)}{h}}$

otras formas de escribirla son ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ , $D_{x_{i}}f$ , $D_{i}f$ y $fxi$ .

Nótese que

$x+he_{i}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{i}+h,\cdots ,x_{n})$

y véase además que el vector dirección no es otra cosa que el vector unitario en dirección del eje de la variable $x_{i}$ , así la derivada parcial mantiene todas las variables fijas a excepción de la variable con respecto de la cual se está derivando.

Ejemplo

Determine la derivada parcial respecto de las variables x e y para la función f(x,y)≔x^2 + 3 x y + y4

Al utilizar la definición se tiene: fx(x,y) = limh→0 f(x + h,y) - f(x,y) h = limh→0 y4 + 3 (x + h) y + (x + h)2 - (y4 + 3 x y + x^2) h = limh→0 3 h y + 2 h x + h2 h = 3y + 2x

Nótese que fx mantiene como fija la variable y, la cual es considerada como constante, y se deriva con respecto a la variable x.

Por otro lado hallamos ∂f ∂y ( x , y ): ∂f ∂y = limh→0 f(x,y + h) - f(x,y) h = limh→0 y4 + 4 h y3 + 6 h2 y^2 + 3 x y + 4 h3 y + x^2 + 3 h x + h4 - (y4 + 3 x y + x^2) h = limh→04 y3 + 6 h y^2 + 4 h2 y + 3 x + h3 = 4 y3 + 3 x

Esta vez la variable x se considera como una constante junto con las demás constantes numéricas y se deriva la variable y.

Estrategia

Para determinar la derivada parcial de una función multivaluada escalar respecto de una de las variables, se debe considerar a todas las demás como constantes, y la derivada se halla con las reglas de derivación de la derivada corriente.

Según la regla anterior aplicada a f ( x , y ) ≔ x 2 + 3 x y + y 4 , derivando respecto de x , se ve que y es considerada como constante y se deriva como una ordinaria, así resulta que ∂f ∂x = 2 x + 3 y + 0, la derivada de ( x 2 )' = 2 x , la derivada de (3 x y )' = 3 y puesto que se considera y como una constante y finalmente ( y 4 )' = 0 por la misma razón. En consecuencia ∂f ∂x = 2 x + 3 y .

Vector gradiente

El vector gradiente es un vector que se construye con las derivadas parciales de una función.

== Definición ==.

El vector gradiente escrito como ∇f(x) se define como

∇f(x) = ( ∂f(x) ∂x1 , ∂f(x) ∂x^2 ,⋯, ∂f(x) ∂xn ) (3)

Ejemplo

Determine el gradiente de la función escalar h(x,y,z): = 2 x y z + x^2 + ( - x) y + y^2 - z2.

Solución

Determinamos las derivadas parciales hx = 2 y z - y + 2 x, hy = 2 x z + 2 y - x y finalmente hz = 2 x y - 2 z, de modo que el vector gradiente es pues ∇f(x,y,z) = (2 y z - y + 2 x,2 x z + 2 y - x,2 x y - 2 z)