Matemáticas/Geometría/Ángulos/Amplitud

Amplitud de un ángulo

Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.

Unidades de amplitud

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

$1{\text{ vuelta}}=2\pi \;\mathrm {rad}$

• Grado sexagesimal

$1{\text{ vuelta}}=360^{\circ }$

• Grado centesimal

$1{\text{ vuelta}}=400^{\rm {g}}$

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Equivalencias

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto

1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y

1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.

• La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Radianes

0

π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π

7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

• El radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s), que corresponde a la magnitud [[velocidad angular. Esta unidad tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente haciendo la siguiente relación:

${\rm {rpm={\frac {rev}{min}}={\frac {2\pi \ rad}{60\ s}}}}$, que simplificada es: ${\rm {rpm={\frac {\pi }{30}}{\frac {rad}{s}}}}$, o bien: ${\rm {{\frac {rad}{s}}={\frac {30}{\pi }}\ rpm}}$.

Es decir que, para pasar una cantidad x de rpm a rad/s tenemos que multiplicarla por π/30:

$x{\rm {\ rpm\cdot {\frac {{\frac {\pi }{30}}\ rad/s}{rpm}}=}}$$\;x\cdot {\frac {\pi }{30}}{\rm {\ rad/s=}}$$\;x'{\rm {\ rad/s}}$

Análogamente, para pasar una cantidad y de rad/s a rpm tenemos que multiplicarla por 30/π:

$y{\rm {\ rad/s\cdot {\frac {{\frac {30}{\pi }}\ rpm}{rad/s}}=}}$$\;y\cdot {\frac {30}{\pi }}{\rm {\ rpm=}}$$\;y'{\rm {\ rpm}}$

Relación entre radianes y grados sexagesimales

Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene $2\pi$ radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

${\rm {{360}\;{grados}={2\pi }\;{radianes}}}$

${\rm {{180}\;{grados}={\pi }\;{radianes}}}$

Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:

${\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {\frac {radianes}{grados}}}$

Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:

$X=x\cdot {\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {\frac {radianes}{grados}}}$

y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en grados es):

$x=X\cdot {\frac {180}{\pi }}\cdot {\rm {\frac {grados}{radianes}}}$

Conversión de ángulos comunes

Unidades	Valores
Revolución	0	${\tfrac {\tau }{12}}$	${\tfrac {\tau }{8}}$	${\tfrac {\tau }{6}}$	${\tfrac {\tau }{4}}$	${\tfrac {\tau }{2}}$	${\tfrac {3}{4}}\tau$	$1\tau \,$
Grados sexagesimales	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	${\tfrac {\pi }{6}}$	${\tfrac {\pi }{4}}$	${\tfrac {\pi }{3}}$	${\tfrac {\pi }{2}}$	$\pi \,$	${\tfrac {3\pi }{2}}$	$2\pi \,$
Grados centesimales	0g	${\tfrac {100^{\rm {g}}}{3}}$	50g	${\tfrac {200^{\rm {g}}}{3}}$	100g	200g	300g	400g