Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Aritmética

Números

Números Racionales

Se dan por conocidos los números naturales $\{1,2,3,4,...,10,11,...\}$ . El conjunto de todos ellos se representa con la letra $\mathbb {N}$.

Los enteros ($\mathbb {Z}$) son los naturales y sus opuestos ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

La definición de números racionales es: $x\in \mathbb {Q} \iff a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0$ tales que $x={\frac {a}{b}}$

Es decir, se dice que un número es racional si se puede escribir como la fracción de dos números enteros.

Los números racionales también se pueden detectar por su forma decimal ya que todos tienen una expresión finita o periódica.

$\mathrm {-3} \qquad {\frac {57}{25}}=2,28\qquad {\frac {22}{6}}=3,6666666...=3,{\widehat {6}}$ son todos números racionales.

Aproximación decimal de un número real

Podemos encontrarnos con números reales que tienen infinitas cifras decimales. ¿Cómo trabajamos con este tipo de números? Para esto hacemos una aproximación al orden de unidad que más nos interese. Existen distintos métodos tales como redondeo o truncamiento.

Intervalos y semirectas

Se intentará explicar aquí la nomenclatura que existe para designar algunos tramos de la recta real:

NOMBRE	SIMBOLO	SIGNIFICADO	REPRESENTACIÓN
Intervalo abierto	$(a,b)\,\!$	$\left\{x\ /a<x<b\right\}$ Números comprendidos entre a y b.
Intervalo cerrado	$[a,b]\,\!$	$\left\{x\ /a\leq x\leq b\right\}$ Números comprendidos entre a y b, ambos incluidos.
Intervalo semiabierto	$(a,b]\,\!$	$\left\{x\ /a<x\leq b\right\}$ Números comprendidos entre a y b, b incluido.
	$[a,b)\,\!$	$\left\{x\ /a\leq x<b\right\}$ Números comprendidos entre a y b, a incluido.
Semirecta	$(-\infty ,a)\,\!$	$\left\{x\ /x<a\right\}$ Números menores que a.
	$(-\infty ,a]\,\!$	$\left\{x\ /x\leq a\right\}$ Números menores o iguales que a.
	$(a,\infty )\,\!$	$\left\{x\ /a<x\right\}$ Números mayores que a.
	$[a,\infty )\,\!$	$\left\{x\ /a\leq x\right\}$ Números mayores o iguales que a.

Expresión decimal aproximada. Errores

La motivación de este apartado no es otro que mostrar lo absurdo que puede ser tener muchas cifras significativas si podemos cometer errores de medida.

Por ejemplo la altura de una montaña no tiene sentido decir que es 1245,782m (7 cifras significativas) si hay un escarabajo paseandose por ahí o bien se produce erosión en la cima esa medida no sirve para nada, mejor sería decir que la montaña mide 1250m (3 cifras significativas) o 1245m (4 cifras significativas) si hay que ser preciso. Los dos últimos serían medidas aproximadas.

Cuando damos una medida aproximada el valor que damos no coincidirá en general con el valor exacto (que desconocemos y que normalmente ni siquiera es constante) esta diferencia entre lo real y el valor que damos es el error absoluto.

El error absoluto es desconocido porque el valor real también lo es, pero podemos acotarlo, esto es asegurar que por debajo de cierto valor seguro que no estará y que por encima de otro tampoco. Por ejemplo yo puedo decir que la montaña mide entre 1250 y 1240 metros esto quiere decir que el error que yo cometería sería inferior a 5 metros.

El problema del error absoluto es que engaña, no es lo mismo si digo que el error de medición de un bonsai que mide 0,4m es de 0,2 metros que si digo que el error de medición de una secuoya (de 20m) es de 0,2m. En el segundo caso casi ni se nota en el primero si. Para eso se tiene el error relativo que es la relación entre error absoluto y el valor real.

Notación científica

La notación científica es muy útil para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Tiene tres partes:

• Una parte entera de una sola cifra
• Las otras cifras significativas como la parte decimal
• Una potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra

Ejemplo: $\mathrm {3,287} \cdot \mathrm {10^{12}} =3\,287\,000\,000\,000$

Operaciones con números en notación científica

Productos

$\mathrm {2,34\cdot 10^{-4}} \cdot \mathrm {3,45\cdot 10^{8}} =(2,34\cdot 3,45)\cdot 10^{-4+8}=8,073\cdot 10^{4}$

$\mathrm {7,04\cdot 10^{3}} \cdot \mathrm {5,35\cdot 10^{8}} =37,664\cdot 10^{11}=3,7664\cdot 10^{12}$

Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa siempre con los productos, sin embargo habría que prestar atención al segundo ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda y aumentar el exponencial para que la notación siga siendo científica.

Cocientes

${\frac {2,34\cdot 10^{-4}}{1,45\cdot 10^{8}}}={\bigg (}{\frac {2,34}{1,45}}{\bigg )}\cdot 10^{-4-8}=1,614\cdot 10^{-12}$

${\frac {5,35\cdot 10^{8}}{7,04\cdot 10^{3}}}=0,7599\cdot 10^{5}=7,599\cdot 10^{4}$

Sumas y restas

$4,3\cdot 10^{9}+3,67\cdot 10^{13}-5,324\cdot 10^{10}=$

$=4,3\cdot 10^{9}+36700\cdot 10^{9}-53,24\cdot 10^{9}=(4,3+36700-53,24)\cdot 10^{9}=$

$=36651,06\cdot 10^{9}=3,665106\cdot 10^{13}$

Fijémonos en el método seguido: primero hemos puesto todas los números con un exponente común, y luego cuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en notación científica otra vez.