Matemáticas/Bachillerato LOGSE/Vectores

Conceptos básicos

Es necesario conocer algunos conceptos: definición de vector fijo. Un vector fijo es un segmento orientado. Es decir, un par ordenado de puntos. El primero se denomina origen y el segundo extremo del vector. Cuando ambos puntos coinciden se denomina vector nulo.

Para describir un vector fijo se nombran su origen y su extremo con una flecha por encima: ${\overrightarrow {AB}}$

Propiedades de un vector fijo:

MÓDULO: es la distancia entre su origen y su extremo. Se representa $|{\overrightarrow {AB}}|$

DIRECCIÓN: es la clase formada por todas las rectas paralelas al vector. Dos vectores tienen la misma dirección cuando son paralelos y diferente cuando no lo son. Un vector nulo no tiene dirección.

SENTIDO: Entre dos vectores fijos con la misma dirección, la recta que une sus dos orígenes divide al plano en dos semiplanos. Si los extremos de ambos vectores están en el mismo semiplano, entonces se dice que los vectores tienen el mismo sentido, mientras que si están en diferente el semiplano tienen sentidos opuestos.

equipolencia Dos vectores fijos se dice que son equipolentes cuando tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido. Dicho de otra forma, dos vectores equipolentes se diferencian sólo en sus puntos de origen y extremo. La equipolencia establece una relación de equivalencia en el conjunto de todos los vectores fijo.

definición de vector libre Un vector libre es cada una de las clases de equivalencia establecidas en el conjunto de los vectores fijo por la anterior relación de equivalencia. Los vectores que forman parte de una misma clase de equivalencia tienen el mismo módulo, dirección y sentido, por lo que un vector libre se puede considerar como un vector sin origen ni extremo. Así pues, mientras que un vector fijo representa un desplazamiento concreto desde un punto del plano a otro, un vector libre representa un desplazamiento genérico en el plano, sin considerar el punto de partida. Por ejemplo: Mientras que un vector fijo sería el desplazamiento de Pamplona a Logroño, el correspondiente vector libre sería un desplazamiento de 85 km en dirección suroeste. Dos segmentos de recta dirigidos (flechas) con longitudes no nulas representan el mismo vector si y sólo si tienen la misma longitud y la misma dirección. Para denotar los vectores libres usaremos letras latinas con una barra encima. Si el punto inicial y terminal del vector son los puntos A y B respectivamente, también podemos escribir

Nombrar vectores y coordenadas de un vector

Un vector puebe nombrarse con una sola letra, que lo designa que se coloca junto a la flecha que indica el sentido.

Las proyecciones del vector sobre los ejes son las coordenadas del vector, respecto a ese sistema de coordenadas.

En el caso de dos dimensiones, en el plano x-y, las coordenadas del vector ${\vec {v}}$ son: $v_{x}\;,\;v_{y}$ que se representa: ${\vec {v}}=(v_{v},v_{y})$

En un sistema de tres dimensiones de ejes x-y-z las cooredenadas del vector ${\vec {v}}$ seran ${\vec {v}}=(v_{v},v_{y},v_{z})$

¿Cómo hallar el módulo de un vector?

Bien. Ahora, regresemos al pasado y recordemos la fórmula del teorema de Pitágoras.

$C_{1}^{2}+C_{2}^{2}=H^{2}$ , para averiguar el modulo del vector vamos a aplicar la misma fórmula. Nos imaginamos que el modulo del vector es la hipotenusa de un triángulo rectangulo:

$|{\overrightarrow {v}}|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}\to$ para este vector ${\overrightarrow {v}}=(5,2)\to |{\overrightarrow {v}}|={\sqrt {29}}$

Operaciones con vectores

1. PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO.

Hacer esta operación no entraña ninguna dificultad, pero tienes que saber algunas cosas del vector resultante. Si K es un número real y ${\overrightarrow {v}}$ un vector no nulo, el producto $K\cdot {\overrightarrow {v}}$ será otro vector con las siguientes características:

Su módulo es igual al módulo de ${\overrightarrow {v}}$ multiplicado por el valor absoluto de K.
Su dirección es la misma que la de ${\overrightarrow {v}}$ .
Su sentido es el mismo de ${\overrightarrow {v}}$ si K es positivo o el contrario si K es negativo.
Cuando ${\overrightarrow {v}}$ es el vector nulo, o K=0, el resultado es el vector nulo:

0\cdot {\overrightarrow {v}}=K\cdot {\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {0}}

2. SUMAS Y RESTAS DE VECTORES.

Gráficamente pueden sumarse mediante el teorema del paralelogramo. Matemáticamente, se emplea la forma:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

3. COMBINACION LINEAL DE VECTORES.

Definicion: dados dos vectores, X¯ e Y¯ y dos números A y B, el vector AX¯+BY¯ se dice que es una COMBINACION LINEAL de X¯ e Y¯.

Entonces tu lo haces gráficamente.... dibujas los vectores X¯ e Y¯ y el vector V¯ lo dibujas como si fuera el módulo de los anteriores... pero claro este será más grande que el módulo real de X¯ e Y¯ entonces tendrás que multiplicar los vectores X¯ e Y¯ por dos números hasta que el vector V coincida con el módulo de los nuevos vectores dibujados.

        · DE ESTO SE SACA QUE: cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de otros dos. 
        · Y que esta combinación de números (A y B) es única, es decir: no hay otra.

Coordenadas de un vector

1. BASE

Este es un concepto muy importante que te servira bastante de aqui en adelante.

     · DEFINICIÓN: forman base dos vectores con distinta dirección, porque cualquier vector del    
      ·plano se puede poner como combinacion lineal entre ellos.

TIPOS DE BASES:

B. ORTOGONAL. si los vectores que la forman son perpendiculares entre sí.

B. ORTONORMAL: es una base ortogonal cuyos vectores son además unitarios.

Aclaracion: un vector es unitario si su módulo es = 1

B. CANÓNICA: La base canónica es la más común de todas las bases y la que se usará a este nivel. Se caracteriza por estar formada por vectores unitarios que tienen todas las componentes nulas (iguales a 0) excepto una. Por ejemplo, la base canónica en el espacio es {(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)} y en el plano {(1,0);(0,1)}.

B. GENÉRICA: Los vectores que la forman no tienen por que ser ortogonales ni unitarios. Cambian algunas expresiones como la del producto escalar. No se usarán en este curso pero existen.