Matemáticas Universitarias/Espacios Métricos/Preliminares

Indicar los principales convenios y propiedades necesarias para el resto del texto.

Los Reales

Los matemátemáticos definen a los Reales como un cuerpo ordenado completo. "Cuerpo"significa que están definidas las cuatro operaciones aritméticas con las propiedades usuales.

"Cuerpo Ordenado" agrega la existencia de un orden y de números positivos y negativos. En el orden es muy importante la tricotomía que establece que

dados números reales a, b una y solo una de las alternativas siguientes es válida

a < b o a = b o a > b.

Supondremos familiaridad con las propeidades de las operaciones y el orden Más adelante explicaremos el significado de completo.

---

Subconjuntos

Hay cuatro subconjuntos importantes de los Reales:

• Los Naturales, simbolizados por $\scriptstyle \mathbb {N}$ o N. $\scriptstyle \mathbb {N} ={0,1,2\dots }.$

  La propiedad más importante para nosotros es la caracterización por inducción.

  ---

  Propiedad de Inducción.
  Sea S un subconjunto de los Naturales tal que

  (i) 0 está en S; y

  (ii) k ∈ S ==> k+1 ∈ S.

  Entonces, S= $\scriptstyle \mathbb {N}$.

  ---

  Dicha propiedad es la base teórica de las demostraciones por inducción.

• Los Enteros simbolizados por $\scriptstyle \mathbb {Z}$ o Z</nb> está formado por todos los naturales y los opuestos aditivos de los naturales.
• Los Racionales que son los números iguales a fracciones de enteros. Se verifica que los Racionales también son un cuerpo ordenado.
• Los Irracionales que son los reales que no son racionales.

Valor Absoluto

Asociado al orden tenemos el valor absoluto que tendrá mucha improtancia en este texto, por lo que recordaremos su definición y las principales propiedades.

|x| = x cuando x &gt 0, }x}= 0, caundo x = 0; y , |x| = -x, cuando x < 0.

Propiedades del Valor Absoluto. Para todo a, b en R se cumple que

1. |x| ≥ 0.
2. |x|=0 <==> x =0.
3. |-x| = |x|.
4. |x+y| ≤ |x|=|y|.
5. |xy| = |x| }y}.

La completitud de los Reales

Como observáramos más arriba los Racionales también determinan un cuerpo ordenado, lo que implica que los axiomas de cuerpo ordenado no sirven para probar la existencia de números irraciones, tales como &sqrt;(2). Se ha probado que basta un axioma adicional para poder generar todos los números reales. Tal axioma se llama el axioma de completitud. Hay varias versiones de ese axioma, aparentemente diferentes entre ellas, pero que son equivalentes lógicamente. Aquí presentaremos como base al axioma del supremo. Lo que significa supremo y el axioma del mismo será discutido a continuación.

Conjuntos Acotados, Supremos e Infimos

• Decimos que un subconjunto A de los reales está acotado superiormente, ssi, hay un número real M tal que para todo número real x se cumple que x ∈ A ==> x ≤ M.

  El número M se dice que es una cota superior de A.
  Decimos que un subconjunto A de los reales está acotado inferiormente, ssi, hay un número real m tal que para todo número real x se cumple que

  x ∈ A ==> m ≤ a.

  El número m se dice que es una cota inferior de A.

  
  

  Los intervalos ]a,b[ o [a,b] son acotados. Notemos que b es una cota superior de esos conjuntos, por lo que las cotas (superiores o inferiores) puedewn o no pertenecer al conjunto. El conjunto de los reales positivos está acotado inferiormente, pero no superiormente.

  Notemos que cuando un número K es cota superior de un conjunto cualquier número mayor que K es también cota superior. Análoga observación para cotas inferiores.

  
  Supremo de un conjunto Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos supremo de A y lo simbolizamos por sup(A) a un número que es cota superior de A y que al mismo tiempo es menor o igual que cualquier otra cota superior de A. Es decir que el supremos de un conjunto es la menor cota superior del conjunto A.

  Dualmente ternemos la noción de Ínfimo de un conjunto Sea A un subconjunto de los Reales. Llamamos infimo de A y simbolizamos por inf(A) a un número que sea cota inferior de A y que al mismo tiempo es mayor o igual que cualquier otra cota inferior de A. Es decir que el ínfimo de un conjunto es la mayor cota inferior del conjunto A.

  • Intuitivamente tenemos que sup(]a,b[) = b = sup(]a,b]).

  Axioma del Supremo

  Antes de enunciar el teorema del supremo, recordaremos algunas propiedades de los numerales decimales.

  • Llamamos numeral decimal a una expresion de la forma N.a_1a_2a_3 .... en el uso anglo sajón o N,a_1a-2a_3... en el uso español.
  • Cada número real tiene una representación como numeral decimal e intuitivamente pensamos que cada numeral decimal es la representación de un número decimal.

  Una forma del axioma de completitud es afirmar que lo último es válido, es decir que cada numeral decimal representa a un número real. Aunque intuitivamente clara, dicha versión el axioma de completitud es bastante complicada de manejar.

  Sea α el numeral decimal indicado arriba, asociaremos a dicho numeral la sucesión númerica:

  x_0 = N,

  x_1 = N+a_1/10,

  x_2 = N+ a_1/10 + a_2/100

  x_3 = N+ a_1/10 + a_2/100 +a_3/1000

  etc.

  Dicha sucesión tiene la propiedad de que

  x_0 ≤ x_1 ≤ x_2 ≤ ....

  y que para todo n, x_n < N+1. Es decir que el conjunto de números x_n está acotado superiormente. Queremos que esos conjuntos de números siempre correspondan a un números real, ¿cuál? su supremo. Por lo tanto, introduciremos el siguiente axioma.

  Axioma del Supremo

  Todo subconjunto de los Reales no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

  
  

  Sigue en forma inmediata del axioma del suporemos que la sucesión de expansiones decimales parciales introducida arriba define un número real, el suprfemos de sus términos.

  
  Propiedades Adicionales

  
  Proposición. <> Los Naturales forman un conjunto que no está acotado superiormente.

  Proof. Supongamos que N fuera acotado superiormentge. Como no es vacío, por el axioma del supremo tendría un supremo, digamso que S = sup(N). Como S es la menor cota superior, S-1 no puede ser una cota superior de los Naturales. Por lo tanto, debe haber al menos un número natual n tal que S-1 <n. Sumando 1 en ambos lados de la desigualda obtenemos que S < n+1. Por la propiedad de inducción, n +1 es un natural que por la desigualdad sería mayor que una cota superior, lo que es absurdo. Luego, no es posible la existencia de un supfremos de los Naturales.

  Enunciafemos a continuación dos corlarios de la proposición anterior a los que denominaremos para referencias posteriores propiedad arquimedeana de los Reales.

  Propiedad Arquimedeana de los Reales

  1. Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que n>a.
  2. Para todo número real positivo a, hay un número natural n tal que 1/n < a.

  Proof.

  1. Si no hubiera tal n, a sería una cota superior de los Naturales.
  2. Si no hubiera tal n, tendríamos que para todo n positivo, 1/n ≥ a; lo que implica que n ≤ 1/a. Lo que contradice la parte a).

  Espacios Vectoriales

  Definiciones y Ejemplos

  Recordemos que llamamos espacio vectorial real a un trío <E,+,$\cdot$> donde

  • E es un conjunto cuyos elementos se llaman vectores;
  • + es una operación (interna) en E que asocia a cada par de vectores x, y, una suma x+y. La suma es asociativa, conmutativa, con neutro 0 y opuestos aditivos -x para cada vector x.
  • $\cdot$ es una función $\mathbb {R} \times E\rightarrow E$, llamada multiplicación por escalares que asocia a cada par (a,x) el vector denotado $a\cdot x$ o simplemente ax, que tiene las siguientes propiedades:
    1. (a+b)x = ax + bx;
    2. (ab)x = a(bx);
    3. 1x = x ;
    4. a(x+y) = ax + ay.

  Los escalares son simplemente los números reales, la nomenclatura es tradicional.

  En lugar de los Reales, podemos usar como escalares a los Complejos (espacios vectoriales complejos) o inclusive un cuerpo cualquiera. Si no se hace una mención especial, siempre supondremos que los Reales son nuestros escalares. Referimos a textos básicos de Álgebra Lineal para propiedades adicionales de los espacios vectoriales.

  Un subespacio vectorial H de un espacio vecorial E es un subconjunto de E que con las operaciones restringidas es un espacio vectorial. Se verifica que H es un subespacio vectorial, ssi,

  (i) H no es vacío;

  (ii) H es cerrado respecto a la suma y la multiplicación por escalares.

  ---

  Ejemplos

  • El ejemplo prototipo es $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ cuyos elementos son n-uplas de números reales. Si x= (x_i) = (x_1, ..., x_n) es una n--upla, cada x_i es una coordenada. Las operaciones se realizan por coordenadas. es decir que

    $(x_{i})+(y_{i}):=(x_{i}+y_{i})$ $a(x_{i}):=(ax_{i})$

    
    

  • Una segunda clase de espacios vectoriales interesante para nuestros propósitos son espacios de funciones. Sea X un conjunto cualquiera no vacío, denotamos por F(X,R) al conjunto formado por todas las funciones de X en \R. Si f y g son funciones de X en \R, su suma f+g es tal que (f+g)(x) = f(x)+g(x), y af es la función tal que (af)(x) = af(x). Es fácil verificar que con esos datos se provee de una estructura de espacio vectorial a F(X,\\R).
    Un subconjunto importante de F(X,\\R) es B(X,\\R) formado por todas las funciones acotadas (B es por "bounded", inglés para acotadas). Una función f de X en \\R es acotada si hay un número real M (llamaso cota) tal que para todo x en X se cumple que |f(x)| <= M. Trivialmente, funciones constantes son acotadas. Además si f y g son acotadas con cotas M_f y M_g, se tiene que para todo x en X, ${\begin{array}{rcl}|f(x)+g(x)|&\leq &|f(x)|+|g(x)+\leq M_{f}+M_{g},{\text{ y}}\\|af(x)|&=&|a|\,|f(x)|\leq |a|M_{f}.\end{array}}$

    Lo que prueba que la suma y el producto por escalr de funciones acotadas son funciones acotadas, es decir que B(X<\\R) es un subespacio vectorial de F(X,\\R).

    Espacios Euclídeos

    Llamamos espacio euclideo a un espacio vectorial provisto de un producto interior. Donde por producto interior, entendemos una función que asigna a cada par (x,y) de vectores de E un número real denotado por <x|y> tal que:

    1. <x+y|z> = <x|z>+<y|z>;
    2. <ax|z> = a<x|z>;
    3. <y|x> = <x|y>; y
    4. Si x ≠ y entonces <x|x> =1.

    Las condiciones 1 y 2 establecen que el producto interior es lineal en el primer argumento. La condición 3 (simetría) dice que lo mismo pasa con el segundo argumento. Las condiciones se recuerdan diciendo que un producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido.

    
    Ejemplo.
    

    En \Rn definimos un producto interior por

    $x\cdot y:=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

    
    

    • Se verifica que la definición anterior produce un producto interior. que llamamos producto interior canónico de \Rn.
    • Se prueba que respecto a una base adecuada del espacio, cualquier producto interior puede tomar la forma indicada arriba.

    ---

    En el resto de la sección escribiremos x² para indicar x $\cdot$ x.

    Proposición (Teorema del Binomio Sea E un espacio euclídeo. Para todo x, y de E se cumple que

    $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2x\cdot y.$

    
    Proof. ${\begin{array}{rcl}(x+y)^{2}&=&(x+y)\cdot (x+y)=x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)\\&=&x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y\\&=&x^{2}+y^{2}+2x\cdot y.\end{array}}$

    ---

    Decimos que dos vectores son ortogonales so perpendiculares cuando su producto interior es nulo. Usando esta nomenclatura y el teoremo del binomio tenemos q la siguiente proposición.

    Proposición (Teorema de Pitágoras) Si x y y son ortogonales,

    $||x+y||^{2}=||x||^{2}+||y^{2}||.$

    
    

    ---

    Largo de un vector. Llamamos largo (euclídeo) de un vector x al número real denotado por $||x||$ y definido como

    $||x||:={\sqrt[{2}]{x\cdot x}}=\sum _{i=1}^{2}x_{i}^{2}.$

    
    

    Las siguientes propiedades del largo de un vector que siguen de forma inmediata de la definición. Sea x =(x_i)

    1. $||x||\geq 0.$ (radicales cuadráticos nunca son negativos).
    2. $||x||=0,\iff x=0.$
    3. $||-x||=||x||.$
    4. $|x_{i}|\leq ||x||.$

    Probaremos a continuación algunos resultados importantes acerca del largo y su relación con el producto interior.

    Sean x, y vectores cualesquiera y t un número real. Entonces,

    ${\begin{array}{lrcl}&(tx+y)\cdot (tx+y)\geq 0\\\implies &t^{2}x^{2}+2tx\cdot y+y^{2}\geq 0&&(*)\end{array}}$

    La expresión algebraica es una expresión cuadrática en t que nunca es negativa. Esto sucede, ssi, el discriminate de esa expresión nunca es positivo, es decir,ssi,

    $4(x\cdot y)^{2}-4x^{2}y^{2}\leq 0.$

    
    Por lo que

    $4(x\cdot y)^{2}\leq 4x^{2}y^{2},$ lo que implica que $(x\cdot y)^{2}\leq x^{2}y^{2}.$

    
    

    Tomando raíz cuadrada, se obtiene el siguiente resultado.

    Proposición (Desigualdad de Cauchy--Schwartz) Para todo x, y de un espacio euclídeo, se cumple que

    $|x\cdot y|\leq ||x||\,||y||.$

    
    

    Usaremos la desigualdad anterior para probar la importante desigualdad siguiente.

    Proposición (Desigualdad de Minkowski). Para todo x, y de un espacio euclídeo se cumple que

    $||x+y||\leq ||x||+||y||.$

    
    Proof.

    ${\begin{array}{rclcl}||x+y||^{2}&=&||x||^{2}+||y||^{2}+2x\cdot y&&{\text{(Teorema del Binomio)}}\\&\leq &||x||^{2}+||y^{2}||+2||x||\,||y||&&{\text{(Cauchy--Schwartz)}}\\&=&(||x||+||y||)^{2}.\end{array}}$

    Tomando raíz cuadrada en los extremos, se obtiene el resultado deseado.

    ---

    Espacios Vectoriales Normados

    Definición. (Norma, Espacio Normado) Sea E un espacio vectorial. Llamamos norma a una función de E en los Reales que asigna a cada x de $E$ un número real denotado por ||x|| y tal que para todo x, y en E se cumple que:}}

    1. $||x||\geq 0$.
    2. $||x||=0$, ssi, x=0.
    3. $||-x||=||x||$.
    4. $||x+y||<=||x||+||y||$. (desigualdad triangular)

    Un espacio normado es un espacio vectorial provisto de una norma. }}

    También llamamos largo del vector x a la norma de x.

    Notemos que la norma es la generalización a los espacios vectoriales del valor absoluto de los Reales.

    Ejemplos.
    

    1. Sea E = \Rn y sea p un número entero positivo, se define una función N: E --> R por

       $N_{1}(x):={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots |x_{n}|^{p}}}$

       
       Se puede verificar que cada N_p es una norma de \Rn. (Ver por ejemplo )

       Nosotros consideraremos solamente los casos p=1, 2 que discutiremos detalladamente más adelante.

    2. Sea B=B(X,\R\\) el espacio vectorial de todas las funciones de X en \R\\ acotadas. Por definción de función acotada para cada f en B el sunbconjunto de |R\\

       $\{|f(x)|:x\in X\}$

       
       es acotado superiormente, por lo que esta definido su supremo. Definiremos una norma, llamada norma--supremo de B, por

       $||f||:=\sup\{|f(x)|:x\in X\}.$

       
       

       Claramente, se cumplen las propiedades 1-3 de la definición de norma. Para todo x en X, se tiene que

       $|f(x)+g(x)|\leq |f(x)|+|g(x)|\leq ||f||+||g||.$

       
       De donde,

       $||f+g||=\sup _{x\in X}(|f(x)|+|g(x)|)\leq ||f||+||g||.$

       
       Luego, se tiene una norma.

       ---

       
       

       Convenio notacional. Denotaremos a un cuerpo finito con $q$ elementos por $\mathbb {F} _{q}.$ Si $p$ es primo, $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} _{p}.$

       
       

       La Norma Euclidea

       La norma N_2 definida arriba se lllama la norma euclídea.Definamos para cada vector x = (x_i) de \Rn,

       $||x||:={\sqrt {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}.$

       
       Probaremos que se trata de una norma. Las propiedades 1 al 3 de norma son evidentes. La demostración de la desigualdad de Minkowski es más elaborada y una manera relativamente simple es recurrir al producto interior de vectoreds

       $(x_{i})\cdot (y_{i})=x_{1}y_{1}+\dots +x_{n}y_{n}.$

       
       El producto interior es bilineal, simétrico y positivamente definido. (Buscar en el texto del Álgebra Lineal.