Tablas estadísticas/Distribución normal

La distribución normal tipificada tiene por función de densidad:

$f(x)={\cfrac {e^{-{\frac {1}{2}}({x})^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}$

La función de distribución para $Z<x\,$, seria:

$P(Z<x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,du$

donde:

$\int _{-\infty }^{x}f(u)\,du=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{-u^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\,du$

La tabla distribución normal tipificada, presenta las soluciones a esta integral para distintos valores de x, hay varios modelos de tablas de este tipo, así como algoritmos para su cálculo por ordenador, podemos ver un ejemplo de este tipo de tablas.

Convenio de denominación

La distribución normal tiene por función de densidad:

$f(x)={\frac {e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$

que depende de dos parámetros: $\mu ,\,\sigma$, lo que también se puede expresar:

$f_{(\mu ,\sigma )}(x)={\frac {e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$

Como esta distribución se denomina Normal, suele emplearse la letra N(ene mayúscula) para representarla:

$N_{(\mu ,\sigma )}(x)={\frac {e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$

y también Campana de Gauss:

$G_{(\mu ,\sigma )}(x)={\frac {e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$

estas denominaciones suelen depender de los distintos autores, y pueden consultarse publicaciones que las emplean. Aquí emplearemos $N_{(\mu ,\sigma )}(x)\,$ al considerarla la más extendida.

Cuando los valores de $\mu =0,\,\sigma =1$, se denomina distribución normal tipificada.

La función de distribución $P(Z<x)\,$, se representa:

$P(Z_{(\mu ,\sigma )}<x)=\int _{-\infty }^{x}N_{(\mu ,\sigma )}(x)\,dx$

En la distribución normal tipificada se suele emplear como variable la letra Z, y en las no tipificadas la X, para la función de distribución en mayúscula.

Esta integral no tiene solución conocida, y por tanto solo se pueden obtener resultados por cálculo numérico, tradicionalmente se han desarrollado tablas con los resultados de esta integral, como la siguiente.

La tabla

Esta tabla de doble entrada, presenta la probabilidad para Z < x, de la distribución normal acumulada, para valores de x iguales o mayores que cero, en la fila superior esta la parte entera de x, y en la columna de la izquierda los dos primeros decimales, en la casilla donde se cruzan la fila y la columna correspondientes, figura el valor de la probabilidad de que Z < x, con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco para facilitar la lectura.

Tabla distribución normal acumulada

Ejemplo: buscar la probabilidad normal acumulada de que Z < 2,04.

En la columna del 2 y la fila del 0,04, esta el valor 0,979324, esto es: P(Z_{(0, 1)} < 2,04) = 0,979324 ó 97.93% de probabilidad.

Para otros valores

En la tabla anterior se pueden buscar los valores de la probabilidad normal tipificada:

$P(Z_{(0,1)}<x)\,$

para valores de x mayores o iguales a cero, como el ejemplo anterior, hay más casos, que con los datos de la tabla se pueden resolver.

Para x < 0

$P(Z_{(0,1)}<-x)\,$

Para hacer este cálculo hay que tener en cuenta lo siguiente:

sabiendo que la suma de la probabilidad de que Z sea menor que un valor, más la probabilidad de que sea mayor que ese valor es uno:

$P(Z_{(0,1)}<x)+P(Z_{(0,1)}>x)=1\,$

despejando:

$P(Z_{(0,1)}>x)=1-P(Z_{(0,1)}<x)\,$

Y sabiendo que la función normal tipificada es simétrica respecto al eje x = 0:

$P(Z_{(0,1)}<-x)=P(Z_{(0,1)}>x)\,$

y sustituyendo, tenemos que:

$P(Z_{(0,1)}<-x)=1-P(Z_{(0,1)}<x)\,$

Donde el valor:

$P(Z_{(0,1)}<x)\,$

se busca en la tabla.

ejemplo

Cual es la probabilidad: $P(Z_{(0,1)}<-1,32)$

los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo anterior:

$P(Z_{(0,1)}<-1,32)=1-P(Z_{(0,1)}<1,32)\,$

según la tabla:

$P(Z_{(0,1)}<1,32)=0,906582\,$

por tanto:

$P(Z_{(0,1)}<-1,32)=1-0,906582\,$

que resulta:

$P(Z_{(0,1)}<-1,32)=0,093417\,$

Probabilidad de Z > x y x > 0

$P(Z_{(0,1)}>x)\;y\;x>0$

Como en el caso anterior partimos de:

$P(Z_{(0,1)}<x)+P(Z_{(0,1)}>x)=1\,$

despejando:

$P(Z_{(0,1)}>x)=1-P(Z_{(0,1)}<x)\,$

y el valor:

$P(Z_{(0,1)}<x)\,$

se busca en la tabla.

ejemplo

Cual es la probabilidad: $P(Z_{(0,1)}>2,11)$

según el cálculo anterior:

$P(Z_{(0,1)}>2,11)=1-P(Z_{(0,1)}<2,11)\,$

de la tabla tenemos:

$P(Z_{(0,1)}<2,11)=0,982570\,$

lo que resulta:

$P(Z_{(0,1)}>2,11)=1-0,982570\,$

que resulta:

$P(Z_{(0,1)}>2,11)=0,017430\,$

Probabilidad de Z > x y x < 0

Para calcular:

$P(Z_{(0,1)}>-x)\,$

Partimos de la simetría de la función normal tipificada:

$P(Z_{(0,1)}<-x)=P(Z_{(0,1)}>x)\,$

y sustituyendo:

$x=-y\,$

resulta:

$P(Z_{(0,1)}<y)=P(Z_{(0,1)}>-y)\,$

ordenando

$P(Z_{(0,1)}>-y)=P(Z_{(0,1)}<y)\,$

ejemplo

Cual es la probabilidad: $P(Z_{(0,1)}>-2,02)$

Según lo anterior:

$P(Z_{(0,1)}>-2,02)=P(Z_{(0,1)}<2,02)\,$

buscando el valor en la tabla, tenemos que:

$P(Z_{(0,1)}>-2,02)=P(Z_{(0,1)}<2,02)=0,978308\,$

Probabilidad de x₁ < Z < x₂

Para calcular la probabilidad de que la variable se encuentre entre dos valores x1 y x2, siendo x1 < x2 se tiene en cuenta que:

$P(x_{1}<Z_{(0,1)}<x_{2})=P(Z_{(0,1)}<x_{2})-P(Z_{(0,1)}<x_{1})\,$

los valores de cada una de estas probabilidades se buscan en la tabla por separado, o se calculan según el caso, por los métodos anteriores.

ejemplo

Cual es la probabilidad: $P(1,50<Z_{(0,1)}<2,00)$

se buscan en la tabla las probabilidades:

$P(Z_{(0,1)}<1,50)=0,933192\,$

$P(Z_{(0,1)}<2,00)=0,977249\,$

Luego, según lo anterior:

$P(1,50<Z_{(0,1)}<2,00)=P(Z_{(0,1)}<2.00)-P(Z_{(0,1)}<1,50)\,$

esto es:

$P(1,50<Z_{(0,1)}<2,00)=0,977249-0,933192\,$

Realizando la operación:

$P(1,50<Z_{(0,1)}<2,00)=0,044057\,$

Interpolación lineal

Cuando el valor de x es de mayor precisión que los contenidos en la tabla, en este caso cuando tenga mas de dos cifras decimales, el método de calcular la probabilidad es empleando interpolación lineal.

La expresión:

$y={\frac {(x-x1)}{(x2-x1)}}\;(y2-y1)+y1$

nos permite calcular la probabilidad para los valores no contenidos en la tabla. Esta expresión siempre añade un cierto error, al sustituir la función y =f(x) por la recta que pasa por dos puntos conocidos y = r(x), por eso es conveniente que los puntos x1 y x2 estén lo mas próximos posible.

ejemplo

Calcular la probabilidad normal tipificada de que Zp < 2,2345

el valor 2,2345 no viene en la tabla, pero los valores 2,23 y 2,24 si:

$P(Z_{(0,1)}<2,23)=0,987126\,$

$P(Z_{(0,1)}<2,24)=0,987454\,$

Según la expresión:

$y={\frac {(x-x1)}{(x2-x1)}}\;(y2-y1)+y1$

tenemos:

$y={\frac {(2,2345-2,23)}{(2,24-2,23)}}\;(0,987454-0,987126)+0,987126$

operando:

$y={\frac {(0,0045)}{(0,01)}}\;(0,000328)+0,987126$

esto es:

$y=0,000147+0,987126\,$

que da como resultado:

$y=0,987274\,$

Que es la solución al problema

$P(Z_{(0,1)}<2,2345)=0,987274\,$

Tipificación

Hasta ahora solo hemos visto probabilidades de distribución normal tipificada, con $\mu =0,\,\sigma =1$, pero $\mu \,$, puede tomar cualquier valor real y $\sigma \,$ puede ser cualquier valor real estrictamente positivo, $\sigma >0\,$, esto daría lugar a que seria necesaria una tabla para cada par de valores de $\mu ,\,\sigma$, afortunadamente esto no es necesario.

Dado que si a una función normal $P(Z_{(\mu ,\sigma )}<x)\,$ se le resta su media ($\mu \,$) y se divide por la desviación típica ($\sigma \,$) , se obtiene su equivalente en distribución normal tipificada:

$P(Z_{(\mu ,\sigma )}<x)=P{\bigg (}Z_{(0,1)}<{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\bigg )}$

Esto nos permite emplear una sola tabla en todos los casos, primero tipificando la variable y luego calcular su valor en la tabla distribución normal tipificada, como en los casos ya vistos.

ejemplo

Calcular la probabilidad de que x < 3,14 para una distribución normal de media 0,19 y desviación típica 1,25.

La pregunta es:

$P(Z_{(0,19,\;1,25)}<3,14)\,$

Tipificando:

$P(Z_{(0,19,\;1,25)}<3,14)=P{\bigg (}{\frac {Z_{(0,19,\;1,25)}-0,19}{1,25}}<{\frac {3,14-0,19}{1,25}}{\bigg )}$

Lo que resulta:

$P(Z_{(0,19,\;1,25)}<3,14)=P{\bigg (}Z_{(0,1)}<{\frac {3,14-0,19}{1,25}}{\bigg )}$

operando:

$P(Z_{(0,19,\;1,25)}<3,14)=P(Z_{(0,1)}<2,36)$

Buscando 2,36 en la tabla, tenemos:

$P(Z_{(0,19,\;1,25)}<3,14)=P(Z_{(0,1)}<2,36)=0,990862$

Tabla inversa de distribución normal tipificada

La tabla inversa en contra de lo visto hasta ahora, parte de la probabilidad y determina la abscisa que deja a su izquierda esa probabilidad. Respondiendo a la pregunta: cual es el valor de x que deja a su izquierda una probabilidad p conocida.

A continuación podemos ver una tabla de distribución normal tipificada inversa, en la fila superior tenemos la primera cifra de la probabilidad y en la columna de la izquierda las dos segundas, donde se cruzan la fila y la columna tenemos el valor de x para esa probabilidad, representado con seis cifras decimales separadas de tres en tres con un espacio en blanco para facilitar la lectura.

Tabla distribución normal tipificada, inversa.

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

0,000	0, 000 000	0, 253 347	0, 524 401	0, 841 621	1, 281 551
0,001	0, 002 507	0, 255 936	0, 527 280	0, 845 198	1, 287 272
0,002	0, 005 014	0, 258 527	0, 530 162	0, 848 786	1, 293 033
0,003	0, 007 519	0, 261 120	0, 533 048	0, 852 385	1, 298 836
0,004	0, 010 027	0, 263 715	0, 535 940	0, 855 996	1, 304 686
0,005	0, 012 533	0, 266 311	0, 538 836	0, 859 618	1, 310 580
0,006	0, 015 041	0, 268 908	0, 541 736	0, 863 249	1, 316 521
0,007	0, 017 548	0, 271 509	0, 544 642	0, 866 894	1, 322 505
0,008	0, 020 054	0, 274 110	0, 547 551	0, 870 550	1, 328 540
0,009	0, 022 561	0, 276 714	0, 550 465	0, 874 218	1, 334 624
0,010	0, 025 069	0, 279 319	0, 553 384	0, 877 897	1, 340 754
0,011	0, 027 576	0, 281 926	0, 556 308	0, 881 587	1, 346 939
0,012	0, 030 084	0, 284 535	0, 559 237	0, 885 291	1, 353 174
0,013	0, 032 592	0, 287 147	0, 562 170	0, 889 006	1, 359 463
0,014	0, 035 100	0, 289 760	0, 565 108	0, 892 733	1, 365 806
0,015	0, 037 608	0, 292 375	0, 568 052	0, 896 473	1, 372 205
0,016	0, 040 117	0, 294 992	0, 570 999	0, 900 227	1, 378 658
0,017	0, 042 626	0, 297 612	0, 573 953	0, 903 992	1, 385 172
0,018	0, 045 135	0, 300 232	0, 576 911	0, 907 769	1, 391 745
0,019	0, 047 644	0, 302 855	0, 579 873	0, 911 562	1, 398 375
0,020	0, 050 154	0, 305 481	0, 582 841	0, 915 365	1, 405 074
0,021	0, 052 663	0, 308 108	0, 585 815	0, 919 183	1, 411 831
0,022	0, 055 173	0, 310 738	0, 588 793	0, 923 014	1, 418 653
0,023	0, 057 685	0, 313 370	0, 591 776	0, 926 859	1, 425 544
0,024	0, 060 195	0, 316 004	0, 594 766	0, 930 718	1, 432 504
0,025	0, 062 706	0, 318 639	0, 597 761	0, 934 590	1, 439 530
0,026	0, 065 219	0, 321 278	0, 600 760	0, 938 476	1, 446 633
0,027	0, 067 730	0, 323 919	0, 603 765	0, 942 375	1, 453 805
0,028	0, 070 243	0, 326 561	0, 606 775	0, 946 291	1, 461 058
0,029	0, 072 756	0, 329 206	0, 609 791	0, 950 222	1, 468 384
0,030	0, 075 270	0, 331 854	0, 612 813	0, 954 165	1, 475 792
0,031	0, 077 783	0, 334 503	0, 615 839	0, 958 125	1, 483 281
0,032	0, 080 298	0, 337 155	0, 618 872	0, 962 100	1, 490 853
0,033	0, 082 813	0, 339 810	0, 621 911	0, 966 088	1, 498 515
0,034	0, 085 329	0, 342 466	0, 624 956	0, 970 094	1, 506 260
0,035	0, 087 845	0, 345 126	0, 628 006	0, 974 114	1, 514 104
0,036	0, 090 361	0, 347 787	0, 631 062	0, 978 150	1, 522 035
0,037	0, 092 879	0, 350 451	0, 634 124	0, 982 202	1, 530 066
0,038	0, 095 397	0, 353 118	0, 637 192	0, 986 272	1, 538 201
0,039	0, 097 914	0, 355 788	0, 640 266	0, 990 356	1, 546 432
0,040	0, 100 433	0, 358 459	0, 643 345	0, 994 457	1, 554 772
0,041	0, 102 953	0, 361 133	0, 646 431	0, 998 575	1, 563 221
0,042	0, 105 474	0, 363 809	0, 649 522	1, 002 711	1, 571 789
0,043	0, 107 995	0, 366 490	0, 652 622	1, 006 865	1, 580 465
0,044	0, 110 516	0, 369 171	0, 655 726	1, 011 035	1, 589 269
0,045	0, 113 039	0, 371 856	0, 658 838	1, 015 221	1, 598 191
0,046	0, 115 562	0, 374 544	0, 661 955	1, 019 428	1, 607 250
0,047	0, 118 085	0, 377 233	0, 665 079	1, 023 652	1, 616 436
0,048	0, 120 610	0, 379 927	0, 668 209	1, 027 893	1, 625 763
0,049	0, 123 135	0, 382 622	0, 671 346	1, 032 154	1, 635 235
0,050	0, 125 661	0, 385 321	0, 674 490	1, 036 433	1, 644 853
0,051	0, 128 189	0, 388 022	0, 677 639	1, 040 733	1, 654 626
0,052	0, 130 716	0, 390 726	0, 680 797	1, 045 050	1, 664 562
0,053	0, 133 244	0, 393 433	0, 683 960	1, 049 386	1, 674 662
0,054	0, 135 774	0, 396 142	0, 687 131	1, 053 745	1, 684 939
0,055	0, 138 305	0, 398 855	0, 690 309	1, 058 122	1, 695 398
0,056	0, 140 835	0, 401 571	0, 693 493	1, 062 519	1, 706 044
0,057	0, 143 367	0, 404 290	0, 696 684	1, 066 937	1, 716 885
0,058	0, 145 900	0, 407 010	0, 699 883	1, 071 378	1, 727 931
0,059	0, 148 434	0, 409 735	0, 703 089	1, 075 837	1, 739 199
0,060	0, 150 969	0, 412 463	0, 706 302	1, 080 321	1, 750 686
0,061	0, 153 505	0, 415 193	0, 709 522	1, 084 823	1, 762 410
0,062	0, 156 042	0, 417 928	0, 712 751	1, 089 350	1, 774 379
0,063	0, 158 579	0, 420 664	0, 715 986	1, 093 897	1, 786 611
0,064	0, 161 119	0, 423 405	0, 719 228	1, 098 470	1, 799 117
0,065	0, 163 659	0, 426 148	0, 722 479	1, 103 062	1, 811 914
0,066	0, 166 199	0, 428 895	0, 725 736	1, 107 680	1, 825 006
0,067	0, 168 741	0, 431 644	0, 729 003	1, 112 321	1, 838 425
0,068	0, 171 285	0, 434 397	0, 732 275	1, 116 987	1, 852 177
0,069	0, 173 829	0, 437 153	0, 735 557	1, 121 678	1, 866 292
0,070	0, 176 374	0, 439 913	0, 738 846	1, 126 391	1, 880 790
0,071	0, 178 920	0, 442 676	0, 742 143	1, 131 132	1, 895 696
0,072	0, 181 468	0, 445 443	0, 745 449	1, 135 895	1, 911 030
0,073	0, 184 017	0, 448 213	0, 748 762	1, 140 688	1, 926 837
0,074	0, 186 567	0, 450 985	0, 752 084	1, 145 504	1, 943 135
0,075	0, 189 118	0, 453 763	0, 755 415	1, 150 349	1, 959 961
0,076	0, 191 671	0, 456 542	0, 758 753	1, 155 222	1, 977 369
0,077	0, 194 225	0, 459 327	0, 762 100	1, 160 120	1, 995 395
0,078	0, 196 779	0, 462 114	0, 765 456	1, 165 047	2, 014 094
0,079	0, 199 336	0, 464 904	0, 768 821	1, 170 001	2, 033 521
0,080	0, 201 894	0, 467 699	0, 772 193	1, 174 988	2, 053 748
0,081	0, 204 452	0, 470 498	0, 775 574	1, 180 001	2, 074 848
0,082	0, 207 012	0, 473 299	0, 778 966	1, 185 044	2, 096 931
0,083	0, 209 575	0, 476 105	0, 782 366	1, 190 119	2, 120 069
0,084	0, 212 137	0, 478 914	0, 785 774	1, 195 222	2, 144 407
0,085	0, 214 702	0, 481 728	0, 789 191	1, 200 360	2, 170 091
0,086	0, 217 267	0, 484 544	0, 792 618	1, 205 526	2, 197 285
0,087	0, 219 834	0, 487 364	0, 796 056	1, 210 728	2, 226 207
0,088	0, 222 403	0, 490 189	0, 799 500	1, 215 960	2, 257 129
0,089	0, 224 974	0, 493 018	0, 802 956	1, 221 229	2, 290 362
0,090	0, 227 545	0, 495 850	0, 806 422	1, 226 529	2, 326 342
0,091	0, 230 118	0, 498 687	0, 809 896	1, 231 865	2, 365 614
0,092	0, 232 693	0, 501 527	0, 813 379	1, 237 236	2, 408 924
0,093	0, 235 269	0, 504 372	0, 816 874	1, 242 643	2, 457 273
0,094	0, 237 847	0, 507 221	0, 820 379	1, 248 086	2, 512 134
0,095	0, 240 426	0, 510 074	0, 823 893	1, 253 566	2, 575 835
0,096	0, 243 007	0, 512 930	0, 827 417	1, 259 084	2, 652 087
0,097	0, 245 590	0, 515 791	0, 830 953	1, 264 641	2, 747 765
0,098	0, 248 174	0, 518 658	0, 834 498	1, 270 237	2, 878 151
0,099	0, 250 759	0, 521 527	0, 838 054	1, 275 876	3, 090 245

Ejemplo: Cual es el valor de x que en una distribución normal tipificada, deja a su izquierda una probabilidad del 70,5%, esto es:

$P(Z_{(0,1)}<x)=0,705\,$

buscando en la columna del 0,7 y la fila del 0,005, tenemos que:

$x=0,538836\,$

esto es:

$P(Z_{(0,1)}<0,538836)=0,705\,$

Bibliografía

• Calot, Gérard; Curso de estadística descriptiva (1988); Thomson Paraninfo,S.A.; ISBN 84-283-0563-3
• Muro Sáenz, Fernando; Estadística práctica. (1988); Muro Sáenz, Fernando ; ISBN 84-404-1560-5
• Pérez Díez de los Ríos, José Luis; Modelos probabilísticos y tablas estadísticas (1993); AUTOR-EDITOR 9; ISBN 84-604-5056-2
• Pérez Díez de los Ríos, José Luis; Modelos probabilísticos y tablas estadísticas (2000); Mergablum. Edición y Comunicación, S. L.; ISBN 84-95118-14-9
• Visauta Vinacua, Bienvenido ; Batallé Descals, Pere; Tablas estadísticas (1986); PPU, S.A.; ISBN 84-7665-057-4