Tableta proto-cuneiforme: relato administrativo de la distribución de cebada con impresión de sello cilíndrico de una figura masculina, perros de caza y jabalíes. Probablemente de la ciudad de Uruk. Período Jemdet-Nasr circa 3100-2900 BCE. El carácter SANGA aparece abajo en el centro-izquierda
Cuando los humanos se reunieron en grupos lo suficientemente grandes para que las operaciones de trueque o comercio adquirieran cierta importancia, surgió la necesidad de una contabilidad básica que a su vez requería poder contar hasta números altos, realizar operaciones aritméticas básicas y mantener un registro permanente de las transacciones. Así, tanto la aritmética como la escritura parecen tener un origen común en esta necesidad.
En cuanto a las operaciones aritméticas básicas, “parecen haber sido realizadas universalmente utilizando algún tipo de ábaco”[1] y quizás el primer testimonio histórico de su uso se encuentra en el carácter proto-cuneiforme: SANGA , que apareció como parte de la firma de los escribas sumerios en tablillas de arcilla hace unos 5000 años y que los asiriólogos identifican con tal dispositivo[1].
Un ábaco es una herramienta o instrumento en el que los números se representan físicamente de una manera que permite manipularlos para simular mecánicamente operaciones aritméticas.
En un ábaco, los números están representados por "contadores" o "fichas" (guijarros, semillas, conchas, monedas y similares, varillas, etc.) a los que se les asigna un valor numérico. Los contadores no tienen que ser todos idénticos o tener el mismo valor asignado. Para representar un número simplemente colocamos juntos, sobre una mesa o cualquier superficie adecuada, los contadores necesarios de forma similar a como tomaríamos una serie de monedas y billetes para llegar a una determinada cantidad de dinero; en realidad es el mismo proceso.
La suma se simula reuniendo los conjuntos de contadores que representan los dos sumandos, mientras que la resta se simula eliminando del conjunto de contadores que representan el minuendo un conjunto de contadores que representan el sustraendo. Consideremos el caso más simple en el que solo usamos contadores idénticos con un valor asignado de uno.
En la imagen de arriba hemos dispuesto cuatro contadores de valor uno para representar el número 4 (izquierda-a), después de adjuntar otros tres contadores (izquierda-b) que representan el número 3 tenemos una representación del número 7 (izquierda-c) ; es decir, la suma 4+3. De manera similar, si partimos de la representación del número 7 (derecha-a) y eliminamos un conjunto de fichas que representan el número 4 (derecha-b), lo que queda en la mesa es 3 o el resultado de la resta 7-4 (derecha-c).
Para realizar las operaciones anteriores no es necesario saber nada sobre las tablas de sumar o restar, en particular no se necesita saber que 4+3 = 7 o 7-4 = 3, solo se necesita saber cómo manipular los contadores. En realidad, es el ábaco el que permite "descubrir" que el resultado de 4+3 es 7 y el de 7-4 es 3. Este es un punto esencial sobre el uso de los ábacos al que volveremos en el capítulo dedicado a la suma y la resta.
Se considera comúnmente que en Aritmética hay cuatro operaciones fundamentales: Suma, Resta, Multiplicación y División, y que cualquier otro cálculo (por ejemplo, obtener una raíz cuadrada) de un modo u otro se reduce a una secuencia de estas cuatro operaciones fundamentales. Pero también se puede considerar la multiplicación como una suma repetida y la división como una resta repetida, de modo que cualquier cálculo aritmético, en realidad, se reduce en última instancia a una secuencia de sumas y restas. Por lo tanto, con un ábaco como el del ejemplo que permita sumar y restar se puede realizar en principio cualquier cálculo aritmético, aunque esto podría ser extremadamente difícil, o quizás imposible, sin algunos refinamientos que tenemos que introducir.
Con el ábaco utilizado en el ejemplo anterior (sólo contadores idénticos con valor asignado uno), es evidente que si comenzamos a trabajar con números progresivamente más grandes, nuestra mesa (ábaco) acabará abarrotada de contadores haciendo impracticable su uso e interpretación. Necesitamos una forma de reducir el número de objetos físicos (contadores) a manipular y mantenerlo dentro de unos límites que nos resulten cómodos. Para esto hay un par de soluciones:
Utilizar contadores físicamente diferentes con diferentes valores asignados. Este es el sistema más primitivo, utilizado por los sumerios hace más de 5000 años y todavía vigente, ya que el uso de monedas y billetes de diferentes valores nominales en cualquier sistema monetario actual se corresponde perfectamente con esta idea.
Definir regiones espaciales en nuestra mesa (ábaco) para que un mismo contador represente un valor u otro según la región que ocupe.
Veamos un ejemplo: En la figura anterior hemos sumado 7+7 (a y b) con nuestro ábaco primitivo, y vemos que 14, el resultado, se muestra como una mesa repleta de contadores (c). Podemos reemplazar algunos de estos contadores con uno físicamente diferente que tenga asignado un valor más alto, por ejemplo 10 (el valor de reemplazo). Con esto, el estado de nuestro ábaco (d) se hace más fácil de interpretar; se ha simplificado ya que se han sustituido 10 contadores de valor 1 por un solo contador de valor 10. Esta sería la primera de las soluciones apuntadas arriba.
Alternativamente, podemos considerar el ábaco dividido en dos regiones espaciales y utilizar contadores idénticos a los que asociaremos un valor u otro según la región en la que lo ubiquemos. En (e) en la figura anterior, el ábaco se ha dividido en dos regiones, izquierda y derecha, separadas por una línea vertical doble. Si asignamos un valor de uno a los contadores ubicados a la derecha y 10 a los ubicados a la izquierda, el número 14 estaría representado como se ilustra. Esta forma de proceder es preferible a la anterior ya que podemos repetir el proceso, definiendo tantas regiones como necesitemos con los valores de reemplazo que nos convengan, permitiéndonos representar números arbitrariamente grandes con contadores de un solo tipo; por ejemplo, en (f) hemos representado 114 con tan sólo 6 contadores usando tres regiones y dos valores de reemplazo de 10. Estamos asistiendo aquí al nacimiento de la notación posicional!
Antes de continuar conviene indicar que existen dos tipos principales de ábacos:
Ábaco de mesa europeo. Un ábaco de contadores libres usando monedas de 0,01 € como contadores (Número representado: 1724).
Ábaco de contadores libres o ábaco de mesa: los contadores son independientes y normalmente se mantienen separados en una caja o bolsa y se colocan o quitan de la mesa según sea necesario. Es el tipo más primitivo y el que hemos considerado aquí hasta ahora.
Ábaco de cuentas fijas: Los contadores, llamados cuentas en este contexto, están siempre presentes, integrados en un marco y pueden deslizarse desde una posición inactiva a una activa a lo largo de ranuras, rieles, cuerdas, alambres o varillas. Este es el tipo más sofisticado de ábaco, portátil, compacto, y que permite un cálculo más rápido. Como veremos, el ábaco oriental, al que está dedicado este libro, es de este tipo.
Ábaco ruso schotyÁbaco escolar
Ahora podemos mencionar al ábaco ruso (Schoty) , al ábaco iraní (chortkeh) y al ábaco escolar como ejemplos de ábacos de cuentas fijas que se ajustan a lo que hemos explicado hasta ahora. Los tres consisten en un marco de madera con alambres dispuestos horizontalmente a lo largo del cual se ensartan diez cuentas en el caso del ábaco ruso y el escolar y nueve en el ábaco iraní. Las cuentas pueden deslizarse desde una posición inactiva (derecha) a una posición activada (izquierda) y cada alambre o varilla representa una de las regiones mencionadas anteriormente, con un valor de reemplazo de 10; de modo que una cuenta en cada uno de los alambres tiene un valor asociado diez veces más alto que el de las cuentas en el alambre inmediatamente inferior.
Estos ábacos tienen todo lo necesario para permitir operaciones aritméticas con números expresados en notación decimal: varias varillas para representar potencias sucesivas de diez y 9 cuentas para representar los dígitos del 0 al 9 (por conveniencia, el ábaco ruso y el escolar tienen una cuenta más de lo estrictamente necesario). Si lo desea, puede probar un simulador de ábaco ruso en este enlace.
Pero todavía necesitamos un último refinamiento para comprender completamente el ábaco de Asia oriental.
Subitización: A medida que aumenta el número de objetos, se vuelve más difícil para un observador apreciar instantáneamente cuántos están presentes sin contar.
Subitización es un término de origen inglés (Subitizing) que representa la apreciación rápida, precisa y segura que podemos hacer del número de una pequeña cantidad de objetos. Podemos hacer tal apreciación si el número de objetos a contar es 4 o 5 como máximo; a partir de ahí, tendremos que invertir tiempo en contar. En los ábacos de Rusia e Irán y en el escolar tenemos 9 o 10 cuentas por varilla, por lo que la lectura del número representado puede estar más allá de este límite de subitización de 4 o 5. Esto se alivia utilizando cuentas de dos colores diferentes como se ilustra en las imágenes anteriores, pero también hay un par de técnicas adicionales que no solo nos permiten permanecer dentro de los límites de la subitización, sino que también reducen la cantidad de cuentas necesarias en el ábaco.
En la imagen superior (a) tenemos el número 18 representado en dos regiones (barras, columnas, alambres...); una de ellas contiene 8 contadores que están por encima del límite de subitización. Para simplificar la lectura del ábaco podemos:
Utilizar un tipo diferente de contador con un valor de reemplazo de, por ejemplo, cinco (b).
Subdividir las regiones o barras en dos zonas: una en la que un contador toma el valor uno y la otra en la que toma el valor cinco (c, d).
En cualquier caso, no necesitamos tener más de cuatro contadores idénticos por región para poder representar números en notación decimal, por lo que tenemos garantizada la lectura rápida del ábaco. Cuando usamos 5 como el segundo valor de reemplazo, estamos usando una notación decimal biquinaria para los números. Ejemplos de ambas soluciones son las varillas de cálculo y el ábaco oriental.
Sangi (算木): Varillas de cálculo estilo japonés sobre un tablero. Cada casilla puede albergar un dígito.
Las varillas de cálculo son un ábaco tipo mesa, o ábaco de contadores libres, en los que los contadores son pequeñas varillas de madera, bambú, hueso, etc. que se disponen sobre una superficie plana, utilizando o no un tablero con casillas o escaques. Este ábaco que dominó las matemáticas chinas durante al menos 14 siglos y las matemáticas japonesas hasta la Restauración Meiji (a mediados del siglo XIX), es probablemente el más versátil que ha existido alguna vez, ya que nos permite distribuir dígitos en dos dimensiones, aunque desafortunadamente también es muy lento de manipular.
En la figura anterior (a) usamos barras dispuestas verticalmente (𝍩) como contadores de valor uno para representar el número 18. En (b) usamos una barra dispuesta horizontalmente (𝍠) como contador de valor cinco y en (c) usamos una disposición más compacta con alternancia de orientación, o no, dependiendo de si usamos una mesa lisa o un tablero con casillas. Los dígitos del 1 al 9 se representan como:
El cero estaba representado por una celda vacía en el tablero o por un espacio u otro objeto (por ejemplo, una ficha de Go) en la mesa. Adicionalmente, se solían utilizar varillas de dos colores diferentes para distinguir números positivos y negativos.
Es interesante mencionar que este es el único ábaco que se conoce que usa la orientación de los contadores para asignarles un valor u otro; pero encontramos un paralelo a este concepto, si no un precedente, muchos siglos antes de la aparición de las varillas de cálculo en los numerales babilónicos utilizados para escribir números en notación sexagesimal. Cada dígito babilónico estaba constituido por una serie de impresiones del borde de un estilo de caña sobre arcilla fresca con valor unitario si la impresión era vertical. (, , , , ..., ), y con valor diez si las impresiones se realizaban girando el estilo 45 grados o más en sentido antihorario (, , , , ). El número decimal 1547 se expresa en sexagesimal en la forma 25:47, donde "25" y "47" son dos dígitos sexagesimales escritos como: and
La misma apariencia de estos dígitos sugiere su representación inmediata en un ábaco de mesa usando varillas de cálculo.
Reconstrucción de un ábaco romano. El original, de bronce, se encuentra en la Biblioteca Nacional de Francia.
La segunda de las soluciones mencionadas es la adoptada tanto por el ábaco romano como por los ábacos aparecidos en China.
Si bien se conocen algunos ejemplos de ábaco romano como el de la figura, donde las cuentas se deslizan a lo largo de ranuras, no se sabe nada con certeza sobre el origen del ábaco oriental y si éste podría estar inspirado en aquel. Una frase confusa del Shushu Jiyi (術數紀遺) de Xu Yue (徐岳), que quizás data del siglo II, a menudo se cita como la descripción de un dispositivo de cálculo que podríamos identificar con un ábaco y que se ha interpretado de diferentes maneras[2]; por ejemplo, como en la figura (a) anterior. En esta interpretación de un primer ábaco chino como ábaco de mesa, la parte central se divide en una serie de columnas de dos partes; la superior asignaría un valor de 5 a cada cuenta y la inferior un valor de 1, mientras que las cuentas inactivas (sin usar) esperan dispersas por encima y por debajo de la parte central[3].
Ábaco chino tradicional (suanpan) 5+2 ilustrando el uso de la cuenta suspendidaÁbacos tipo 5+1 y 5+3, Museo Ridai de Ciencia Moderna, Tokio (Japón)Ábaco moderno 4+1 estilo japonés (soroban)
Se desconoce cuándo apareció el ábaco de cuentas ensartadas a lo largo de varillas, pero cuando este ábaco sustituyó en China a las varillas de cálculo a lo largo del siglo XVI, no tenía cuatro cuentas inferiores y una superior como el ábaco romano (nos referiremos a esta disposición como un ábaco tipo 4+1) sino cinco en la parte inferior y dos en la parte superior (ábaco tipo 5+2), separadas por una barra horizontal. Las cuentas adicionales, no necesarias para el cálculo con números decimales, se introdujeron por conveniencia para adaptar al ábaco los algoritmos que se habían desarrollado con las varillas de cálculo. Históricamente, se han utilizado los cuatro tipos de ábaco descritos en la figura siguiente:
Simbólicamente, las áreas superior e inferior del ábaco han sido designadas Cielo (天, Tiān en chino, Ten en japonés) y Tierra (地, De en chino, Chi en japonés).
En la primera sección de este libro nos centraremos en el uso del ábaco tipo 4+1 o ábaco moderno, siguiendo lo que llamaremos el método moderno. Si entiende los principios en los que se basa cualquier ábaco y aprende a usar el ábaco moderno, no tendrá dificultad en imaginar cómo puede usarse cualquier otro tipo de ábaco, al menos para operaciones elementales de suma y resta. Esto podría incluir, ¿por qué no? el siguiente ábaco para cálculos sexagesimales conjeturado por Woods[1] como el ábaco babilónico, basado en lo que sabemos sobre las matemáticas en Mesopotamia ... ¡y en los errores detectados que cometieron los escribas y sus aprendices!
↑ 1,01,11,2Woods, Christopher (2017). «The Abacus in Mesopotamia: Considerations from a Comparative Perspective». En Feliu, Lluis; Karahashi, Fumi; Rubio, Gonzalo (en Inglés). The First Ninety Years: A Sumerian Celebration in Honor of Miguel Civil. De Gruiter. ISBN9781501511738.
↑Martzloff, Jean-Claude (2006). A history of chinese mathematics. Springer. ISBN978-3-540-33782-9.
↑Kojima, Takashi (1963). Advanced Abacus: Theory and Practice. Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc.. ISBN978-0-8048-0003-7.
Ábaco chino tradicional (suanpan) de 13 varillas tipo 5+2.
El ábaco oriental consta de las siguientes partes hechas de madera, bambú, metal, plástico, etc.:
Un marco rectangular.
Un cierto número de varillas paralelas los lados más cortos del marco a lo largo de las cuales se ensartan las cuentas. El número de varillas es tradicionalmente impar, y suele estar comprendido entre 9 y 27.
Una barra o viga, paralela a los lados más largos del marco, divide el ábaco y las varillas en dos partes: una superior más estrecha, el Cielo, y una más ancha abajo, la Tierra.
Cuentas superiores, es decir, las de la región superior de las varillas, a las que se asigna un valor de 5 cuando se activan.
Cuentas inferiores, las de la región inferior de las varillas a las que se asigna un valor de 1 cuando se activan.
Algunos ábacos modernos pueden incluir un botón de reinicio para devolver las cuentas a su posición inactiva (ver más abajo).
Ábaco moderno estilo japonés (soroban) de 23 varillas con botón de reinicio y marcas unitarias sobre la barra. Los ábacos modernos también suelen presentar algún tipo de marcas unitarias cada tres varillas para facilitar la alineación de los números así como la lectura de los mismos. Son convenientes para ábacos con un número elevado de varillas (17-27), pero no son esenciales. Para algunos es una molestia.
Un soroban moderno (4+1) de 17 varillas con marcas unitarias sobre la barra central
Es conveniente señalar que los ábacos chinos suelen tener cuentas de formas redondeadas mientras que los japoneses las tiene de forma bicónica, como puede apreciarse en las imágenes anteriores.
Las cuentas se consideran inactivas mientras están separadas de la barra o viga central. El ábaco de la siguiente figura se ha restablecido o borrado y todas sus cuentas están inactivas. Se puede considerar que todas las barras contienen ceros.
Un ábaco puesto a cero
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0
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0
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0
Cuando movemos las cuentas hacia la barra central las consideramos activas y es entonces cuando adquieren el valor asignado 5 (las superiores) o 1 (las inferiores). Esto es lo que nos permite representar números. Con un ábaco moderno tipo 4+ 1 podemos formar exactamente los diez dígitos del 0 al 9 necesarios para realizar cálculos con números decimales, y estos dígitos tienen una representación única.
Representación de dígitos en un ábaco moderno 4+1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Pero con un ábaco tradicional 5+2, y usando la cuenta suspendida, podemos representar números hasta 20 en cada varilla!
Representación de dígitos en un ábaco tradicional 5+2
0
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
10
10
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15
15
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18
19
20
Observe las tres peculiaridades del ábaco tradicional:
La posibilidad de representar números de 10 a 20 en una sola varilla. Esto es importante en algunas técnicas tradicionales de multiplicación y división que son explicadas en la sección pertinente de este libro.
El uso de la cuenta suspendida para representar los números del 15 al 20. De hecho, el ábaco tradicional debería tener tres cuentas en la parte superior (ábaco tipo 5+3) para ser usado con las técnicas tradicionales de multiplicación y división, pero el uso de la tercera bola superior resulta muy esporádico y compensa prescindir de dicha tercera cuenta simulándola con la cuenta suspendida.
El hecho de que los números 5, 10 y 15se pueden representar de dos formas diferentes: usando la quinta cuenta inferior o no. Este hecho puede usarse para simplificar un poco las operaciones de suma y resta como podrá verse en el capítulo dedicado al uso de la quinta cuenta inferior.
Después de terminar un cálculo y antes de comenzar uno nuevo, será necesario restablecer el ábaco a su estado inicial (todas las cuentas inactivas).
Si su ábaco tiene un botón de reinicio, simplemente presiónelo y tendrá su ábaco listo para un nuevo uso.
Con un ábaco de estilo japonés moderno (soroban, con cuentas bicónicas) esto se consigue de una forma muy rápida y eficaz. Simplemente incline el ábaco hacia usted hasta que todas las cuentas caigan a su posición más baja y devuelva el ábaco a su posición habitual sobre la mesa. Luego, con un movimiento rápido, deslice la uña de su dedo índice derecho de izquierda a derecha, justo por encima de la viga central, para empujar las cuentas superiores hacia arriba.
Con un ábaco de estilo tradicional chino (suanpan con cuentas redondeadas) la maniobra anterior puede no funcionar correctamente; pero si el ábaco es lo suficientemente grande, hay otro procedimiento que representa un pequeño desafío de habilidad interesante en sí mismo:
Tome el ábaco con ambas manos por los lados cortos del marco e inclínelo hacia usted unos 45 grados hasta que caigan las cuentas.
Desde esa posición y sin mover los antebrazos, fuerce una rotación brusca del ábaco a la posición horizontal con un giro de sus muñecas. Si el eje de rotación definido por sus muñecas pasa por la más alta de las cuentas inferiores, la fuerza centrífuga llevará a las superiores a su posición inactiva.
Vuelva a poner el ábaco sobre la mesa.
Probablemente necesitará algo de tiempo para perfeccionar esta técnica.
Finalmente, si todo lo anterior falla, como último recurso, puede usar los dedos de su mano como una escoba para barrer las cuentas a su posición inactiva.
Hasta finales del siglo XIX en Japón, ningún autor antiguo se molestó en escribir sobre cómo se deben manipular las cuentas; pero seguramente la técnica se transmitió por vía oral.
Para empezar, digamos que los ábacos modernos son tan ligeros que es necesario sujetarlos con la mano izquierda para estabilizarlos y evitar que se muevan sobre la mesa al manipular las cuentas. Esto tendría consecuencias desastrosas si ese movimiento induce el desplazamiento de otras cuentas distintas a las que queremos mover. En comparación, otros ábacos tradicionales son tan pesados que permanecen estables por sí mismos, lo que le permite usar su mano izquierda para otros fines, como por ejemplo seguir una lista de números en un libro de contabilidad; además, podría utilizar uno de estos ábacos como pisapapeles para estabilizar una pila de facturas, etc.
Así pues, emplearemos la mano izquierda para estabilizar el ábaco sobre la mesa mientras que usaremos la mano derecha para la manipulación de las cuentas. Mencionemos sin embargo que, en algunas regiones de Asia, se enseña a mover las cuentas usando ambas manos.
Cuando la operación afecte tanto a las cuentas superiores como a las inferiores, intente seguir las reglas de la tabla siguiente. Algunos movimientos pueden realizarse simultáneamente y otros deben realizarse en rápida sucesión en el orden indicado.
Movimientos combinados de cuentas superiores e inferiores
Para mover →
y ↓
Cuenta superior hacia arriba
Cuenta superior hacia abajo
Cuenta(s) inferior(es) hacia arriba
Hágalo simultáneamente
Hágalo simultáneamente
Cuenta(s) inferior(es) hacia abajo
Primero la(s) cuenta(s) inferior(es), luego la superior
Primero la cuenta superior, luego la(s) inferior(es)
(ver detalles en Wikipedia)
, 
, 
, 
, ..., 
), y con valor diez si las impresiones se realizaban girando el estilo 45 grados o más en sentido antihorario (
, 
, 
, 
, 
). El número decimal 1547 se expresa en sexagesimal en la forma 25:47, donde "25" y "47" son dos dígitos sexagesimales escritos como: 
and 
