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Anillos

Los Anillos son estructuras algebraicas con dos operaciones.

Definición

Un anillo es una estructura algebraica consistente de un triple $<A,+,\cdot >$ donde A es un conjunto y $+,*$ son operaciones en A tales que

+ (suma o adición) es una operación asociativa, conmutativa, con neutro 0 y cada elemento a tiene un opuesto aditivo -a tal que a + (-a) = 0.
* (multiplicación o producto) es una operación asociativa tal que

 (distributividad)               $a*(b+c)=ab+ac$  y  $(b+c)*a=ba+ca$

Es decir que $<A,+>$ es un grupo abeliano (grupo aditivo del anillo) y $<A,*>$ es un semi-grupo.

Observaciones

Usualmente la multiplicación se denota por concatenación, ab en lugar de a*b.
Definición de resta. $a-b=a+(-b)$ .

Tipos de anillos

Un anillo con identidad es un anillo donde hay un neutro respecto a la multiplicación, simbolizado por 1 o I. Para evitar trivialidades, siempre supondremos que 1 no es igual a 0.

Un anillo conmutativo es un anillo donde la multiplicación es conmutativa.

Un anillo integro o dominio de integridad es un anillo conmutativo con identidad donde el producto de dos de sus elementos es cero, solamente cuando uno de los factores es cero, o equivalentemente el producto de elementos no nulos es un elemento no nulo.

Un anillo con división es un anillo con identidad tal que cada elemento no nulo tiene un inverso respecto a la multiplicación. Es decir cuando el semigrupo multiplicativo sea un grupo.

Un cuerpo es un anillo con división conmutativa.

Subanillo

Sea $A$ un anillo. Diremos que un subconjunto $B$ de A determina o es un subanillo de A, si, B con las operaciones de A restringidas a B es un anillo. En tal caso, también, diremos que A es un superanillo de B. Notación: $B<A$ .

Cuando A tenga una identidad, B será un subanillo con identidad, cuando la identidad sea un elemento de $B$ .

Sigue de la definición que un subanillo B de un anillo A determina con la suma un subgrupo del grupo aditivo de $A$ y que con la multiplicación determina un subsemigrupo de <A,*>.

Proposición [Criterio de subanillo]

Sea A un anillo. Un subconjunto no vacío B es un subanillo de A, si,

Para todo X, y en B, x-y es un elemento de B, y.
Para todo x, y en B, xy es un elemento de B.

Al igual que con las estructuras con una operación, tenemos subestructuras asociadas a cada tipo de anillo, que se denotarán colocando sub delante del nombre. Como siempre, una subestructura de una estructura de cierto tipo se refiere a un subconjunto que posee una estructura del mismo tipo con respecto a las operaciones restringidas al subconjunto.

Ejemplos de anillos y subanillos

El listado de anillos y subanillos es bastante extenso, por lo que nos limitaremos a dar algunos de los ejemplos más relevantes para nuestros propósitos.

Para todo anillo A, A mismo es un subanilo de A así como el subconjunto que solamente contiene al neutro aditivo.

Los Enteros ( $\mathbb {Z}$ ) con la suma y multiplicación usual, determinan un anillo conmutativo con identidad donde el producto de elementos no nulos siempre es un elemento no nulo, por lo que se trata de un dominio de integridad.

Los Racionales, los Reales y los Complejos son cuerpos respecto a la suma y multiplicación usual, ya que la multiplicación es conmutativa y cada elemento no nulo tiene un recíproco.

Los enteros módulo m, $Z_{m}$ forman un anillo conmutativo con identidad.

Cuando m es primo tales anillos son cuerpos.

Los Enteros son un subanillo (con identidad) de los Racionales que, a su vez, es un subcuerpo de los Reales y de los Complejos. Los Reales son un subcuerpo de los Complejos.

Las matrices 2 x 2 con entradas reales con la suma y multiplicación usual determinan un anillo no conmutativo con identidad.

Anillo Trivial. Este es un anillo excepcional que sirve a veces para enunciados generales, ya que su conjunto base contiene un solo elemnto e tal que e+e=e y e*e = e.

Proposición (Propiedades de las operaciones)

Sea A un anillo. Sean a, b y x elementos de A. Entonces se tienen las siguientes propiedades.

(Propiedad del cero) Si a+x=0 entonces x=-a.

(Propiedad de los opuestos aditivos)

    (i) a+x = 0, entonce, x = -a.
    (ii) -(-a) = a.
    (iii) -(a+b) = (-a) + (-b) = -a - b.

(Propiedad de la resta) a-b=x <==> a = b+x.

Elementos destacados en un Anillo

Sea A un anillo cualquiera con identidad 1.

Divisor de Cero .Un elemento a es un divisor de 0, ssi, hay un elemento b no nulo tal que ab=0.

Unidad Un elemento es una unidad, ssi, hay un elemento b tal que ab =1.
Cancelable Un elemento de un anillo conmutativo A es cancelable, ssi,

para todo a, y del anillo se cumple que

    $ax=ay\Rightarrow x=y.$

Observaciones

Los anillos $Z_{m}$ (Enteros módulo m) contienen divisores de cero cuando m es un número

entero compuesto.

El anillo de matrices 2 x 2 sobre los Reales, que no es un anillo conmutativo siempre contiene divisores de cero.

En un anillo con división o en un cuerpo todos sus elementos no nulos son unidades.

Las unidades de un anillo son precisamente los elementos invertibles del anillo. En particular, la identidad 1 es un unidad. Otro elemento que siempre es una unidad es -1 , ya que $(-1)(-1)=1$ . Hay anillos, por ejemplo los Enteros, donde las únicas unidades son 1 y -1 . Otros anillos, tienen elementos adicionales que son unidades.

En anillos con división, como los cuerpos, todos los elementos no nulos son unidades.

Un anillo no conmutativo puede contener unidades; por ejemplo, las matrices invertibles en

el anillo de matrices 2 x 2.

Con la noción de divisores de cero, se tiene que un anillo conmutativo con identidad es un dominio de integridad, ssi, no contiene divisores de cero, o sea, ssi, $ab=0\implies a=0$ o $b=0$ .

Proposición (Caracterización de Dominios)

Sea A un anillo conmutativo con identidad. Entonces, los elementos no nulos de A son cancelables, ssi, A es un dominio de integridad. Los cuerpos son dominios de integridad. .

El mundo finito tiene algunas simplificaciones interesantes.

Proposición (Dominios Finitos)

Un dominio de integridad finito D es un cuerpo.

Otro resultado muy interesante, debido a Joseph Wedderburn (1882--1948), que sólo mencionaremos aquí, establece que un anillo con división finito es un cuerpo, o sea que necesariamente se tiene que la multiplicación es conmutativa.

Ideales

Definición de Ideales

Sea A un anillo cualquiera. Un subconjunto no vacío I de A es un ideal izquierdo, si, es cerrado respecto a la resta y a la multiplicación por la izquierda por elementos de A. Es decir, para todo x,y en I, a e A se cumple que

 $x-y,ax$  están en I.

Un subconjunto no vacío I de A es un ideal derecho, ssi, es cerrado respecto a la resta y a la multiplicación por la derecha por elementos de A. Es decir, para todo x,y en I, a e A se cumple que $x-y,xa$ están en I.

Un subconjunto I es un ideal (bilateral) cuando es a la vez ideal izquierdo y derecho.

Los ideales (izquierdos, derechos, bilaterales) son subgrupos aditivos del anillo. Cuando el anillo es conmutativo, cualquier ideal es bilateral.

Sea I un ideal izquierdo (resp. derecho). Sigue de la definición de ideal izquierdo (resp. derecho) que I es cerrado respecto a suma de elementos de I. En particular si $a_{1},...,a_{r}$ son elementos de A y $x_{1},...,x_{r}$ son elementos de I entonces

(caso izquierdo) $a_{1}x_{1}+...+a_{r}x_{r}$ está en I.
(caso derecho) $x_{1}a_{1}+...+x_{r}a_{r}$ está en I.

Decimos que los ideales izquierdos (resp. derechos) son cerrados respecto a combinaciones lineales con coeficientes del a anillo por la izquierda (resp. derecha).

Ejemplos de Ideales

En cualquier anillo A, A es un ideal. También lo es {0} (ideal nulo). Un ideal distinto de A es un ideal propio.

En el anillo de los Enteros, todos los múltiplos de un número fijo m es un ideal denotado por <m>.

Proposición (Intersección de Ideales)

Sea $(I_{k})$ , k en K, una familia no vacía de ideales izquierdos (resp. derechos, bilaterales) que contienen a un subconjunto S de A. Entonces, la intersección I de todos esos ideales es un ideal del mismo tipo.

Demostración: (ideales izquierdos) Sean x, y en $I$ , a en A, cualesquiera. Como x, y están en la intersección de la familia están en cada $I_{k}$ . Como $I_{k}$ es un ideal, también están en $I_{k}$ , (x-y) y ax. Como eso es válido para todo k, (x-y) y ax están en I. Análogamente para ideales derechos y bilaterales.

Llamamos ideal generado por $S$ al ideal determinado por la intersección de todos los ideales que contienen a S. Simbolizamos ese ideal por $<S>$ . Si $S={a_{1},...,a_{r}}$ podemos colocar $<a_{1},a_{2},...,a_{n}>$ en lkugar de $<S>$ .

Decimos que un ideal es principal, si, esta generado por un conjunto con un elemento.

Proposición (Caracterización del Ideal Generado

Sea S un subconjunto no vacío de un anillo cualquiera A. Entonces el ideal izquierdo (resp. derecho) generado por S, consiste de todas las combinaciones izquierdas (resp. derechas) de elementos de S con coeficientes en A.

Demostración Sea I el conjunto formado por todas las combinaciones lineales izquierdas de elementos de S. Clarament, la diferencia (resta) de dos de esas combinaciones es una combinación del mismo tipo. Igualmente el producto por izquierda (resp. derecha) de una de esas combinaciones es una combinación lineal del mismo tipo. Por lo que I es un ideal izquierdo (resp. derecho). Si J es cualquier ideal izquierdo (resp. derecho) que contiene a S, contiene también a sus combinaciones lineales izquierdas (resp. derechs), luego contiene a I. Es decir, I está contenido en cualquier ideal izquierdo (resp. derecho) que contenga a S. Por lo tanto, debe ser igual a la intersección de todos esos ideales, ya que I también pertenece a la familia de ideales que contienen a S.

Anillos Cocientes

Los ideales (bilaterales) tienen para los anillos un rol semejante al que tienen los subgrupos normales en la teoría de grupos.

Sea A un anillo cualquiera y sea I un ideal (bilateral) de A.
Definimos una relación R por $xRy$ , ssi, x - y está en I. La relación R es una relación de equivalencia en A, ya que es, obviamente reflexiva ( $xRx$ y simétrica $xRy==>yRx$ . Veamos la transitividad. Supongamos que $xRy$ y que $yRz$ . Es decir que (x-y) y (y-z) están en I. Sumnaos, se tiene que (x-z) está en I, o sea que $xRz$ . Denotaremos por [x] la clase de equivalencia de x, o sea todos los elementos y en A tales que $yRx$ y por A/I el conjunto formado por todas esas clases de equivalencia.

Proposición (Anillo cociente)

Sea A un anillo, I un ideal de A. Entonces A/I con operaciones definidas por
[x} + [y] := [x+y}, [x}*[y] = [xy] ,br /> tiene un estructura de anillo tal que la función $v:A-->A/I$ tal que v(x) = [x} es un supramorfismo de anillos.

Demostración. Verifiquemos que las operaciones están bien definidas, es decir que no dependen de los resentantes escogidos para la definición. Sean x', y' tales que x'= x + s, y'= y + t. s, t en I. Entonces, x'+ y'= x+ y + s + t, como s+t está en K, x' + y' R x + y.
Además, x'y'= (x+s)(y+t) = xy + xt + sy +st. Como I es un ideal, xt + sy +st es un elemento de I. Luego, x'y' R xy. Lo que prueba que las operaciones están bien definidas. Es necesario probar que que dichas operaciones proveen a A/I con una estructura de anillo. Veamos la prueba de la asociatividad de la suma.
[x] + ([y] + [z]) =[x] +[y+z] = [x+(y+z)] = [(x+y)+z] = [x+y] + [z] = ([x] + [y]) + [z] ,br /> L clase del 0 (igual a K) es tal que [x] + [0] = [x + 0] =[x], lo que muestra que la clase del 0 es el neutro aditivo de A/I. El resto de las propiedades necesarias para calificar como anillo se prueben de manera análoga.

Se verifica facilmente que

Si A es conmutativo, A/I lo es.
Si A tiene identidad, A/I tiene como identidad a [1].
Si x es una unidad de A, [x] es una unidad en A/I.

Ejemplo: Enteros módulo

Sea $A=Z$ y sea m un entero cualquiera. Sea I = $<m>$ el ideal generado por m, o sea todos los múltiplos de m.

Homomorfismos

Definición (Homomorfismo de Anillos)

Sean A y A' anillos cualesquiera (no necesariamente conmutativos). Una función $f:A-->A'$ es un homomorfismo de anillos, ssi, para todo x , y en A se cumple que

  $f(x+y)=f(x)+f(y)$  y   $f(xy)=f(x)f(y).$

Un homomorfismo de anillos con identidad debe, además, preservar la identidad, es decir que \linebreak f(1) =1' .

Los homomorfismos de dominios, anillos con división y cuerpos son homomorfismos de anillos con identidad.

Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.
Un 'endomorfismo de un anillo A es un homomorfismo de A en si mismo.
Un automorfismo de un anillo A es un endomorfismo biyectivo.

Observemos que un homomorfismo de anillos es un homomorfismo tanto de los grupos aditivos como de los semigrupos multiplicativos de los anillos.

Ejemplos

1. Sean A , B anillos cualesquiera, sea $f:A-->B$ tal que para todo a en A , f(a) = 0 . Entonces, f es trivialmente un homomorfismo de anillos. Aunque ambos anillos tengan identidad, el anterior homomorfismo no es un homomorfismo de anillos con identidad.

2. Sea $f:C-->C$ la asignación a cada número complejo $z=a+bi$ de su conjugado $a-bi$ . Sigue de las propiedades de los conjugados que esa función es un homomorfismo. Como es un homomorfismo biyectivo se trata de un automorfismo del cuerpo $C$

3. Sea A un anillo y B un subanillo de A . Sea $i:B-->A$ tal que i(x) = x . Claramente, i es un homomorfismo inyectivo de anillos, que llamamos el monomorfismo inducido por la inclusión.

4. Sea $A=Z$ ---el anillo de los Enteros--- y $A'=\mathbb {Z} _{m}$ ---el anillo de los enteros módulo m Sea $f:Z-->Z_{m}$ tal que f(z) = [z] , donde [z] es la clase de congruencia de z módulo m , o sea $[z]=z+mZ>$ . Como se cumple que $[z+w]=[z]+[w]$ y $[zw]=[z][w]$ , tenemos que f es un homomorfismo suprayectivo (de anillos) Notemos que aunque $Z$ es un dominio de integridad, cuando m es un número compuesto, su imagen homomórfica, $Z_{m}$ , no lo es.

5. (Generalización del ejemplo anterior) Sea A un anillo, I un ideal y A/I el anillo cociente. Sea $f:A-->A/I$ tal que $f(a)=[a]$ , donde [a] es la clase de congruencia de a módulo I , o sea $[a]=a+I$ . Como se cumple que $[z+w]=[z]+[w]$ y $[zw]=[z][w]$ . tenemos que f es un homomorfismo suprayectivo (de anillos), llamado supramorfismo canónico.

Proposición (Propiedades de los Homomorfismos)

Sea $f:A\rightarrow A'$ un homomorfismo de anillos. Entonces

  (i) f(0)= 0, f(-x) = -f(x), f(x-y) = f(x) - f(y).
  (ii) Si B es un subanillo de A, la imagen de B por f, f(B), es un subanillo de A'. 
  (iii) Si B' es un subanillo de A', la imagen inversa de B',  $f^{-1}(B')$  es un subanillo de A.

Demostración. La parte (i) sigue de las propiedades de homomorfismos de grupos. Directamente, f(0)=f(0+0)= f(0) + f(0) ==> f0)=0. 0 =f(0) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) ==> f(-x) = -f(x). (ii) Sean x', y'en f(B). Entonces, hay x, y en B ales que f(x) = x', f(y) = y'. Luego,

   x'- y'= f(x) - f(y)= f(x-y) ==> x'-y'está en f(B). 

   Por su parte, x'y'= f(x)f(y) =f(xy) está en f(B).

(iii) Ejercicio.

Teorema de Homomorfismo de Anillos

Sea $f:A\rightarrow B$ un homomorfismo de anillos. Sea $K=f^{-1}(0)$ (núcleo del homomorfismo) y $v:A\rightarrow A/K$ el supramorfismo canónico. Entonces,
(i) K es un ideal (bilateral).
(ii) La función $g:A/K\rightarrow B$ tal que $g([x])=f(x)$ es un homomorfismo inyectivo de anillos, o sea que $A/K$ es isomorfo como anillo a la imagen $f(A)$ .

Demostración. Como K es la preimagen del subanillo nulo de B, es, por la proposición anterior, un subanillo de A, lo que implica cerradura respecto a la resta. Necesitamos probar que es cerrado respecto a multiplicación por elementos del anillo A. Sea x en K y a un elemento de A. Entonces, f(ax) = f(a)f(x) = f(a)*0 = 0 y f(xa) = 0*(a) = 0, lo que concluye la prueba.

(ii) Primeramente, veamos que g está bien definida, es decir que su definición no depende del representante seleccionado de la clase de equivalencia [x]. Sean y un elemento de [x], entonces y = x + u, para u en K. Luego, f(y) = f(x + u) = f(x) + f(u) = f(x). Lo que muestra que g está bien definida. Veamos ahora que g es un homomorfismo. g([x]+[y]) = g([x+y])= f(x+y) = f(x) + f(y) = g([x}) + g([y])
y g([x][y}) = g([xy]) = f(xy) = f(x)f(y g([x])g([y]).
Lo que prueba que g es un homorofimo de anillos. Si g([x]) = g([y]$ se tiene que f(x) = f(y> de donde, f(x-y) = f(x) - f(y) = 0. Luego, x-y está en K, lo que implica que [x]=[y]. lo que prueba que g es inyectivo. Como, claramente es suprayectivo sobre f(A) se tiene el resultado.

Terminología

La terminología acerca de los anillos no está totalmente estandarizada.

Dominios (de Integridad), Anillos íntegros. Tradicionalmente, los dominios se han supuesto conmutativos. Sin embargo, hay quienes no requieren conmutatividad (dominios de Malcev). Hay quienes prefieren llamar anillos íntegros a los anillos sin divisores de ceros y decir que un domino es un anillo íntegro conmutativo. Otras personas suponen que anillos íntegros y dominios (de integridad) son ambos conmutativos. Nuestros dominios son íntegros (sin divisores de cero) y conmutativos.

Cuerpos, Campos. Lo que llamamos "cuerpo" arriba fueron originalmente ``korps para los matemáticos alemanes que introdujeron la noción. La idea es que se trata de algo completo (tienen las cuatro operaciones aritméticas). En inglés se traduce ``korps por field, que al traducirse al español se ha traducido, algunas veces como "campo. N. Bourbaki llama "corps" a los anillos con división (en ingles "skew-fiëlds") y cuerpos conmutativos, a lo que hemos llamado cuerpo. Hemos evitado el uso de campos, que aunque no trae mayores problemas en Älgebra, si presenta problemas en áreas como geometría diferencial donde tenemos cuerpos (reales, complejos, cuaterniornes) y campos (vectoriales, tensoriales, etc.). Notemos que en ese contexto usualmente se habla del cuerpo de los cuaterniones aunque realmente su multiplicación es no conmutativa.