Álgebra/Álgebra de Boole/Otras formas de notación del álgebra de Boole

En Lógica binaria se suele emplear la notación $(\{0,1\},{\bar {}},+,\cdot )$, común en la tecnología digital, siendo la forma más usual y la más cómoda de representar.

Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así:

${\overline {a+b}}={\bar {a}}\cdot {\bar {b}}\,$

${\overline {a\cdot b}}={\bar {a}}+{\bar {b}}\,$

Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1}

Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan:

${\mbox{NOT }}(a{\mbox{ OR }}b)={\mbox{NOT }}a{\mbox{ AND }}{\mbox{NOT }}b\,$

${\mbox{NOT }}(a{\mbox{ AND }}b)={\mbox{NOT }}a{\mbox{ OR }}{\mbox{NOT }}b\,$

En su aplicación a la lógica se emplea la notación $\land \lor \lnot$ y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1}

Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así:

$\lnot {(a\lor b)}=\lnot {a}\land \lnot {b}\,$

$\lnot {(a\land b)}=\lnot {a}\lor \lnot {b}\,$

En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto: $({\mathcal {P}}(U),\sim ,\cup ,\cap )$

En esta notación las leyes de De Morgan serían así:

$\sim {(a\cup b)}=\;\sim {a}\;\cap \sim {b}\,$

$\sim {(a\cap b)}=\;\sim {a}\;\cup \sim {b}\,$

Otra forma en la álgebra de conjuntos del Álgebra de Boole, las leyes de De Morgan serían así:

${(A\cup B)}^{C}=\;{A}^{C}\cap {B}^{C}$

${(A\cap B)}^{C}=\;{A}^{C}\cup {B}^{C}$

Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras.

La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúsculas para las variables:

$(a+b)'=a'b'\,$

$(ab)'=a'+b'\,$

y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables:

$(A+B)'=A'B'\,$

$(AB)'=A'+B'\,$

Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación.