Álgebra/Álgebra elemental/Igualdades y ecuaciones

Cualquier expresión matemática delimitada por el símbolo = se considera una igualdad. En particular, aquellas igualdades que poseen una o más incógnitas para despejar, se denominan ecuaciones.

Por ejemplo, se quiere averiguar el valor de x en la siguiente ecuación:

$3-{\frac {1-9x}{2}}=5x+1$

Para eso se procede despejando la incógnita x teniendo en cuenta que mientras se realicen las mismas operaciones en ambos miembros, la ecuación no altera su solución, a menos que se multipliquen o dividan incógnitas, en cuyo caso es muy posible que aparezcan algunas soluciones más y se descarten otras.

Para comenzar a despejar una variable es recomendable "llevar" las x a un lado y los números al otro. En esta ecuación, se puede comenzar restando 1 en ambos miembros.

${\begin{array}{rcl}3-{\cfrac {1-9x}{2}}&=&5x+1\\3-{\cfrac {1-9x}{2}}-1&=&5x{\cancel {+1-1}}\\3{\cancel {-{\cfrac {1-9x}{2}}}}-1{\cancel {+{\cfrac {1-9x}{2}}}}&=&5x+{\cfrac {1-9x}{2}}\\2&=&{\cfrac {10x+1-9x}{2}}\\2.2&=&{\cfrac {10x-9x+1}{\bcancel {2}}}\cdot {\bcancel {2}}\\4&=&x+1\\4-1&=&x{\cancel {+1-1}}\\3&=&x\\\end{array}}$

$\therefore x=3$

En el ejemplo se puede ver que es lo mismo afirmar $3=x$ y $x=3$. Esto es una propiedad que satisfacen las igualdades, denominada simétrica.

Conjuntos y soluciones

La solución de la ecuación del ejemplo anterior puede ser representada como un conjunto S que la contiene:

$S=\{3\}$

Esta solución, si la reemplazamos en lugar de la incógnita en la ecuación del ejemplo, verifica que despejamos correctamente. Ahora bien, supongamos que queremos saber si la solución de la ecuación existe en el conjunto de los números naturales. Para eso, procederemos a reemplazar la solución en la ecuación:

${\begin{array}{rcl}3-{\cfrac {1-9x}{2}}&=&5x+1\\3-{\cfrac {1-9.3}{2}}&=&5.3+1\\3-{\cfrac {1-27}{2}}&=&15+1\\\end{array}}$

La solución 3 no comprueba el resultado para los números naturales, puesto que es imposible efectuar la resta $1-27$ en este conjunto. Por lo tanto, no existe solución para esta ecuación en el conjunto de los números naturales.

$\nexists \,x/x\in \mathbb {N}$

Ejemplo: dada la ecuación ${\frac {4x-1}{2}}-1={\frac {3x+2}{2}}$ encontrar las soluciones enteras.

${\begin{array}{rcl}{\cfrac {4x-1}{2}}-1&=&{\cfrac {3x+2}{2}}\\{\cfrac {4x-1-2}{2}}&=&{\cfrac {3x+2}{2}}\\{\cfrac {4x-3}{\bcancel {2}}}&=&{\cfrac {3x+2}{\bcancel {2}}}\\4x-3x&=&2+3\\x&=&5\end{array}}$

Sólo resta verificar que 5 sea una solución entera de la ecuación:

${\begin{array}{rcl}{\cfrac {4x-1}{2}}-1&=&{\cfrac {3x+2}{2}}\\{\cfrac {4.5-1}{2}}-1&=&{\cfrac {3.5+2}{2}}\\{\cfrac {20-1}{2}}-1&=&{\cfrac {15+2}{2}}\\{\cfrac {19}{2}}-1&=&{\cfrac {17}{2}}\end{array}}$

No se conocen, en el conjunto de los números enteros, las divisiones $19:2$ ni $17:2$. La ecuación carece de solución entera,

$\therefore \,\nexists \,x/x\in \mathbb {Z}$

En cambio, si la ecuación hubiera sido $4x-3=3x+2$, la solución sí sería $S=\{5\}$, puesto que, si se reemplaza en la ecuación queda

${\begin{array}{rcl}4.5-3&=&3.5+2\\20-3&=&15+2\end{array}}$

y en ambos miembros las operaciones son idénticas y posibles en el conjunto de los números enteros.

Ecuaciones algebraicas

Una ecuación algebraica se trata de un polinomio igualado a cero.

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\quad n\in \mathbb {N} \ \land \ a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1},a_{0}\in \mathbb {C}$

Ecuación de primer grado

Es la ecuación de la forma

$a_{1}x+a_{0}=0\quad a_{1},a_{0}\in \mathbb {C}$

me resulta

$x=-{\frac {a_{0}}{a_{1}}}$