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La Teoría de Galois es una colección de resultados que conectan la teoría de cuerpos con la teoría de grupos

Aplicaciones de la teoría de Galois

El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión:

¿Por qué no existe una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de quinto grado (o superior) en términos de los coeficientes del polinomio, usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y la extracción de raíces (raíces cuadradas, cúbicas, etc); tal como existe para las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado?

El teorema de Abel-Ruffini que es parte de la teoría de Galois, da una respuesta a esta pregunta. La teoría de Galois proporciona no sólo una elegante respuesta a esta cuestión, sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al quinto, y por qué las soluciones son expresables mediante operaciones algebraicas y extracción de raíces.

Además la teoría de Galois proporciona respuestas a problemas clásicos de la constructibilidad mediante regla y compás. De hecho, la teoría de Galois establece cuándo es posible construir una cierta longitud proporcional a una dada, y gracias a eso pueden responderse a las siguientes preguntas:

¿Qué polígonos regulares son construibles mediante regla y compás?

¿Por qué no es posible la trisección de un ángulo?

Grupo de Galois

Supongamos que E es una extensión del cuerpo F. Consideremos el conjunto de todos los automorfismos de cuerpos de E/F; esto es, los isomorfismos α de E a sí mismo, tal que α(x) = x para cada x en F. Este conjunto de automorfismos junto con la operación de composición de funciones forma un grupo G, denotado habitualmente Aut(E/F) o $\operatorname {Aut} _{F}E$.

Si E/F es una extensión de Galois, entonces G es llamado el grupo de Galois de la extensión, y se denota normalmente Gal(E/F). La importancia de que una extensión sea de Galois se debe a que obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois.

Se puede demostrar que E es algebraico sobre F si y sólo si el grupo de Galois es profinito.

Grupo absoluto de Galois

En matemática, el grupo absoluto de Galois G_K de un cuerpo K es el grupo de Galois de K^sep sobre K, donde K^sep es una clausura separable de K. Alternativamente es el grupo de todos los automorfismos de la clausura algebraica de K que fija K. El grupo absoluto de Galois es único salvo isomorfismo. Es un grupo profinito.

(Cuando K es un cuerpo perfecto, K^sep es el mismo que una clausura algebraica K^alg de K. Esto se cumple, por ejemplo, para K de característica cero, o K si es cuerpo finito.)

Grupos solubles y solución por radicales

Se dice que una raíz α se puede expresar en radicales si α es elemento de un cuerpo K tal que $F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{s}=K$ donde $K_{i+1}=K_{i}({\sqrt[{n_{i}}]{a_{i}}})\,\exists \,a_{i}\in K_{i},i=0,1,\ldots ,s-i$. Una ecuación polinomial es soluble por radicales si todas sus raíces se pueden expresar en radicales. Con la teoría de Galois podemos derivar el siguiente teorema:

El polinomio f(x) (en el cuerpo F) es soluble por radicales si y sólo si su grupo de Galois es soluble

Extensión de Galois

Sea la extensión E sobre un cuerpo base K (E/K).

• Por ser normal, E es el cuerpo de descomposición de un polinomio con coeficientes en K; o, equivalentemente, las K-inmersiones de E en un cuerpo algebraicamente cerrado que contenga a K son automorfismos de E sobre K.
• Por ser separable, dicho polinomio descompone completamente en raíces simples.