Definición 1.14: Sea
un grupo. Se dice que
es un subgrupo de
, hecho que se representa por
, si
y si
es él mismo un grupo respecto de la operación de
.
Es claro que la identidad de
es la misma que la identidad de
, pues éste es el único elemento
de
que cumple
. También los inversos de los elementos de
son los mismos en
que en
.
Todo grupo
tiene al menos dos subgrupos, a saber,
mismo y el grupo
, llamado subgrupo trivial de
, que sólo contiene a la identidad de
. Cualquier otro subgrupo de
disitinto de
y
se dice subgrupo propio de
.
Teorema 1.15: Sea
un grupo y
con
no vacío. Entonces
si y sólo si
para cualesquiera
y
de
.
Demostración: La implicación es obvia. Si
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
es un subconjunto no vacío de
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
tal que
![{\displaystyle gh^{-1}\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d275435a19017abf408c48fe8fa67df54be75ea)
para todo
![{\displaystyle g,h\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01091808be5a8aaf030353cb861d342f36f8f69c)
, entonces, en particular,
![{\displaystyle 1=gg^{-1}\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c464312b3c006c5dccec4cafbe9ca8e7f844fb)
(el elemento
![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
existe, pues
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
es no vacío). Luego también
![{\displaystyle 1g^{-1}=g^{-1}\in H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c74ffe0c9f3b80be89d27d50688974a5ac0297c)
. Además, puesto que
![{\displaystyle g(h^{-1})^{-1}=gh\in G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637b7e7bdaf97189286218765a5bba5a853f6a0e)
, la operación binaria de
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
es también operación binaria en
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
, lo que demuestra que
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
es un subgrupo de
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
.
![{\displaystyle \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8733090f2d787d03101c3e16dc3f6404f0e7dd4c)
Si
es un homomorfismo de grupos entonces
es un subgrupo de
. En efecto, pues si
, entonces
|
|
|
por lo que
, lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que
.
He aquí otros dos hechos, aún más básicos, acerca de subgrupos:
- Si
y
, entonces
.
- Si
y
, entonces
.
Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.
Un subgrupo propio
de un grupo
se dice subgrupo maximal de
si
implica
o
para cualquiera que sea el conjunto
.