Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos

Subgrupos

Definición 1.14: Sea $G$ un grupo. Se dice que $H$ es un subgrupo de $G$, hecho que se representa por $H\leq G$, si $H\subseteq G$ y si $H$ es él mismo un grupo respecto de la operación de $G$.

Es claro que la identidad de $H$ es la misma que la identidad de $G$, pues éste es el único elemento $a$ de $G$ que cumple $aa=a$. También los inversos de los elementos de $H$ son los mismos en $H$ que en $G$.

Todo grupo $G$ tiene al menos dos subgrupos, a saber, $G$ mismo y el grupo $\{1\}$, llamado subgrupo trivial de $G$, que sólo contiene a la identidad de $G$. Cualquier otro subgrupo de $G$ disitinto de $G$ y $\{1\}$ se dice subgrupo propio de $G$.

Teorema 1.15: Sea $G$ un grupo y $H\subseteq G$ con $H$ no vacío. Entonces $H\leq G$ si y sólo si $gh^{-1}\in H$ para cualesquiera $g$ y $h$ de $H$.

Demostración: La implicación es obvia. Si $H$ es un subconjunto no vacío de $G$ tal que $gh^{-1}\in H$ para todo $g,h\in H$, entonces, en particular, $1=gg^{-1}\in H$ (el elemento $g$ existe, pues $H$ es no vacío). Luego también $1g^{-1}=g^{-1}\in H$. Además, puesto que $g(h^{-1})^{-1}=gh\in G$, la operación binaria de $G$ es también operación binaria en $H$, lo que demuestra que $H$ es un subgrupo de $G$.

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Si $f:G\longrightarrow H$ es un homomorfismo de grupos entonces $\ker f$ es un subgrupo de $G$. En efecto, pues si $a,b\in \ker f$, entonces

$f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=1_{H}\cdot 1_{H}^{-1}=1_{H},$

por lo que $ab^{-1}\in \ker f$, lo que, en vista del teorema anterior, demuestra que $\ker f\leq G$.

He aquí otros dos hechos, aún más básicos, acerca de subgrupos:

1. Si $K\leq H$ y $H\leq G$, entonces $K\leq G$.
2. Si $H,K\leq G$ y $K\subseteq H$, entonces $K\leq H$.

Las pruebas de estos hechos se dejan como ejercicio al lector.

Un subgrupo propio $M$ de un grupo $G$ se dice subgrupo maximal de $G$ si $M\leq H\leq G$ implica $H=G$ o $H=M$ para cualquiera que sea el conjunto $H$.