Álgebra Abstracta/Factorización de Polinomios

Introducción

Este capítulo tiene como objetivo final el estudio de la factorización de polinomios con coeficientes en Enteros, los Racionales, los Reales y los Complejos.

Cuando se desarrolló la teoría para dicho estudio se observó que dependía de dos resultados:

1. Los Racionales son el cuerpo de fracciones del dominio $\mathbb {Z}$, y
2. Cada número entero no nulo puede expresarse como una unidad por un producto único de potencias de primos.

Los resultados pueden generalizarse fácilmente al estudio de las relaciones entre la factorización de polinomios sobre dominios donde se tiene la propiedad de factorización única y la factorización de esos polinomios sobre el cuerpo de fracciones del dominio/

Este será el camino que seguiremos en las primeras secciones del capítulo. Posteriormente aplicaremos los resultados a la factorización sobre los cuerpos $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ y $\mathbb {C}$.

Veremos, también, los polinomios ciclotómicos que están relacionados con la factorización de $X^{n}-1$, por su importancia en diferentes áreas de la matemática.

Finalmente, veremos una reseña del llamado Teorema Fundamental del Álgebra.

Los Dominios de Factorización Única

La siguiente definición singulariza a los dominios que tienen la propiedad de factorización única, tales como los Enteros y los anillos de polinomios sobre cuerpos.

Definición. (Dominio de Factorización Única, DFU) Decimos que un dominio es un dominio de factorización única, ssi, cada elemento no nulo que no sea una unidad se puede factorizar como un producto de elementos irreducibles de manera única.

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Diremos que la expresión de un elemento en un producto de irreducibles es la descomposición del elemento en un producto de irreducibles. La unicidad de la descomposición significa que si tenemos dos descomposiciones del mismo elemento, digamos que

$p_{1}p_{2}\dots p_{s}=q_{1}q_{2}\dots q_{t},$

donde $p_{i}$'s y $q_{j}$'s son irreducibles, entonces se tiene que $s=t$, y que cada $p_{i}$ es un asociado de $q_{i}$, posiblemente después de una reenumeración de los irreducibles $q_{j}$'s.

Los ejemplos básicos de DFUs son los Enteros: $\mathbb {Z}$, y el anillo de polinomios $k[X]$, cuando $k$ es un cuerpo.

Se verifica que los dominios de ideales principales (DIPs) son siempre DFUs. El lector interesado puede examinar lo hecho en el caso de los polinomios sobre un cuerpo para intentar la demostración de esa afirmación.

Una consecuencia de la descomposición única en producto de irreducibles es que dos elementos, no ambos nulos, siempre tienen mcd y mcm.

Proposición 1. En un DFU, dos elementos no nulos tienen MCD y MCM.

Demostración: (La demostración es el proceso usual para calcular el mcd y el mcm de dos números enteros cuando se conoce sus factorizaciones en números primos.) Sean $a$ y $b$ dos elementos no nulos de $D$. Sean $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}$ la reunión de los irreducibles que aparecen en la descomposición de $a$ con los irreducibles que aparecen en la descomposición de $b$. Entonces, podemos poner que $a=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{m}^{r_{m}}\quad {\text{ y que }}b=p_{1}^{s_{1}}p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{m}^{s_{m}}.$

donde los $r_{i}$'s y $s_{i}$'s pueden ser positivos o cero (cero cuando el irreducible no aparecía en la descomposición en irreducibles del elemento). Sea $t_{i}=\min\{r_{i},s_{i}\}$, $1\leq i\leq m$. Entonces, $c=p_{1}^{t_{1}}p_{2}^{t_{2}}\cdots p_{m}^{t_{m}}$ es un mcd de $a$ y $b$. Análogamente, pero usando el mayor exponente en cada descomposición, obtenemos un mcm. Dejaremos al cuidado de lector la verificación de lo anterior.

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Otra consecuencia importante de la descomposición única es la siguiente proposición.

Proposición 2. En un DFU, los irreducibles son primos.

Demostración: Supongamos que $a$ es un irreducible tal que $a|bc$. Debemos probar que $a|b$ o $a|c$. Si $a|b$ no hay nada más que probar. Supongamos que $a\nmid b$ y que $d$ es tal que $ad=bc$ (*). Como $a$ es un factor de la izquierda en (*), por la unicidad de la descomposición, debe aparecer en la descomposición en irreducibles del lado derecho de (*). Como $a\nmid b$ de be aparecer en la descomposición en irreducibles de $c$. En consecuencia, $a|c$.

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Un estudios más detallado de los DFUs, se hallará en el capítulo Tipos de Dominio.

Polinomios sobre Dominios de Factorización Única

El principal objetivo de esta sección será generalizar relaciones entre polinomios en $\mathbb {Z} [X]$ y polinomios en $\mathbb {Q} [X]$, a polinomios sobre $D[X]$--$D$ un DFU---y polinomios sobre $k[X]$, donde $k$ es el cuerpo de fracciones de $D$. Comenzaremos generalizando una propiedad de los polinomios con coeficientes enteros, llamada en ese contexto, el teorema de los ceros racionales}.

Proposición 3. (Teorema de los Ceros Racionales de Descartes) Sea $D$ un DFU y sea $k$ su cuerpo de fracciones. Sea $f=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}$ un polinomio de grado $n$ en $D[X]$, entonces si $p/q,$ con $p$ y $q$ en $D$ y con su mcd igual a 1, es un cero de $f$, se cumple que $q|a_{n}$ y que $p|a_{0}$.

Demostración: Como $p/q$ es un cero de $f$ en $k$, tendremos (en $k$) que $a_{0}+a_{1}{\frac {p}{q}}+a_{2}\left({\frac {p}{q}}\right)^{2}+\cdots +a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}=0.$

De donde, multiplicando por $q^{n}$, tendremos que:

$a_{0}q^{n}+a_{1}pq^{n-1}+a^{2}p^{2}q^{n-2}+\cdots +a_{n}p^{n}=0.$

En la igualdad anterior, $q$ divide de manera obvia cada uno de los sumandos, excepto a lo más el último. Como, también, divide trivialmente al segundo miembro, concluimos que debe dividir al mencionado sumando. Es decir, $q|a_{n}p^{n}$; pero como $(p,q)=1$, concluimos que $q|a_{n}$.

Razonando de manera análoga con $p$, se concluye el otro resultado.

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Corolario 2.1. Sea $D$ un DFU y $k$ su cuerpo de fracciones. Sea $f\in D[X]$ mónico. Cualquier cero en $k$ de $f$ es un elemento de $D$.

Demostración: Sigue del teorema que si $p/q$ es una solución, $q$ divide al coeficiente líder del polinomio; como dicho coeficiente es 1, se concluye que $q$ es una unidad, por lo que su recíproco está en $D$. Es decir que $p/q=q^{-1}p$ está en $D$.

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Recordemos que llamamos número algebraico a cualquier número complejo que es un cero de un polinomio con coeficientes enteros. Cuando el polinomio es mónico, decimos que se trata de un entero algebraico. Sigue del corolario anterior que,
Corolario 2.2. Si $\alpha$ es un entero algebraico que es un número racional, se tiene que es un entero ordinario (o sea un elemento de $\mathbb {Z}$).

El resultado anterior tiene, entre sus aplicaciones, la demostración de la irracionalidad de algunos números.

Ejemplo.

Probar que $\alpha =2+{\sqrt {5}}$ es irracional.

Resolución> Busquemos un polinomio que tenga a $\alpha$ como un cero.

${\begin{array}{lrcl}&\alpha &=&2+{\sqrt {5}}\\\implies &\alpha -2&=&{\sqrt {5}}\\\implies &(\alpha -2)^{2}&=&5\\\implies &\alpha ^{2}-4\alpha +4&=&5\end{array}}$

Luego, $\alpha$ es un cero del polinomio mónico $f=X^{2}-4X-1$ que es un polinomio en $\mathbb {Z} [X]$. Si $\alpha$ fuera racional, sería (por el corolario) un número entero $p$. Por la proposición, $p|-1$. Luego, $p=\pm 1$. Pero, $f(1)=-4$ y $f(-1)=4$, por lo que $p$ no puede ser entero. Hemos llegado a una contradicción que implica que $\alpha$ no es racional.

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Convenio. En el resto de esta sección, supondremos que $D$ es un DFU y que $k$ es su cuerpo de fracciones.

Estudiaremos, a continuación, la relación entre los irreducibles de $D[X]$ y aquellos de $k[X]$. Para ese estudio, introduciremos la noción de polinomio primitivo que resultara fundamental.

Definición. (Polinomio Primitivo) Sea $D$ un DFU. Diremos que un polinomio $f$ en $D[X]$ es primitivo, ssi, un máximo común divisor de sus coeficientes es una unidad.

Lema A. Sea $D$ un DFU. Sea $f$ un polinomio en $D[X]$ y sea $c$ el mcd de sus coeficientes. Entonces $f=cg$ donde $g$ es primitivo. Además, dicha descomposición es única, excepto por asociados. Es decir, si $cg=dh$ donde $c$ y $d$ son elementos de $D$ y $g$ y $h$ son polinomios primitivos, entonces se debe cumplir que $c$ y $d$ son asociados en $D$, y que $g$ y $h$ son asociados en $D[X]$.

Demostración: La existencia es inmediata, basta con factorizar el mcd de los coeficientes. Supongamos que $cg=dh$ como en las hipótesis. Como $f=cg=dh$, se ve que $c$ y $d$ son máximos común divisores de los coeficientes de $f$,por lo que $c$ y $d$ son asociados. Digamos que $d=cu$ con $u$ unidad. Sustituyendo en la relación anterior, $cg=cuh$, se ve que $g$ y $h$ son asociados.

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Proposición 4. (Lema de Gauss) El producto de dos polinomios primitivos es primitivo.

Demostración: Sean $f$ y $g$ dos polinomios primitivos y sea $h=fg$. Queremos probar que $h$ es primitivo. Sean $f=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}{\text{ y }}g=b_{0}+b_{1}X+\cdots +b_{n}X^{n}.$

Supongamos que hubiera un irreducible $p$ en $D$, que dividiera a todos los coeficientes de $h$. En particular, $p$ dividiría a $a_{0}b_{0}$, por lo que dividiría a $a_{0}$ o a $b_{0}$. Supongamos que $p$ dividiera a $a_{0}$. Como $f$ y $g$ son primitivos, $p$ no puede dividir a todos los coeficientes de $f$ ni a todos los coeficientes de $g$. Sea $r$ el menor coeficiente de $f$ tal que $p\nmid a_{r}$ y sea $s$ el menor coeficiente de $g$ tal que $p\nmid b_{s}$. Notemos que $s\geq 0$, mientras que $r>0$. Veamos el coeficiente de $X^{r+s}$ del producto. Se trata de

$(a_{0}b_{r+s}+\cdot +a_{r-1}b_{s+1})+a_{r}b_{s}+(a_{r+1}b_{s-1}+\cdots +a_{r+s}b_{0}).$

Observemos que $p$ divide la primera expresión entre paréntesis, ya que divide cada uno de los $a_{i}$'s que allí aparece. Igualmente, divide a cada uno de los $b_{j}$'s que aparecen en la segunda expresión entre paréntesis. Pero, $p$ no divide a $a_{r}b_{s}$. Por lo que $p$ no divide a todos los coeficientes del producto. Luego, dicho producto debe ser primitivo.

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La siguiente proposición es la proposición central para nuestros efectos.

Proposición 5. Sea $D$ un DFU y sea $k$ su cuerpo de fracciones Sea $f$ un polinomio primitivo en $D[X]$ con grado mayor o igual que 1. Entonces $f$ es reducible en $D[X]$, ssi, $f$ es reducible en $k[X]$.

Demostración: Como $D$ puede considerarse como un subanillo de $k$, podemos también considerar a $D[X]$ como un subanillo de $k[X]$. Supongamos que $f$ fuera reducible en $D[X]$, digamos que {{Eqn}$f=gh$|1}} donde ni $g$ ni $h$ son unidades. Si ${\text{gr}}(g)=0$, entonces $g=a$ donde $a$ es un elemento de $D$. Entonces $a|f$, pero como $f$ es primitivo, $a$ sería una unidad, por lo que $g$ sería una unidad. Luego ${\text{gr}}(g)\geq 1$. Análogamente, ${\text{gr}}(h)\geq 1$. Como, $D[X]$ es un subanillo de $k[X]$, la ecuación (1) es válida en $k[X]$, y ni $g$ ni $h$ pueden ser unidades en $k[X]$, por lo que $f$ es reducible en $k[X]$. Recíprocamente, sea $f$ un polinomio primitivo en $D[X]$ que es reducible en $k[X]$, digamos que $f=gh$ en $k[X]$, con grados de $g$ y $h$ mayores o iguales que 1 y con coeficientes en $k$. Escribamos todos los coeficientes de $g$ y $h$ de modo que las fracciones en los coeficientes tengan un denominador común, digamos $d$. Entonces

$f=gh={\frac {1}{d}}g_{1}h_{1}$

(2)


donde $g_{1}$ y $h_{1}$ son polinomios en $D[X]$. Sea $e$ el producto del mcd de los coeficientes de $g_{1}$ y $h_{1}$. Entonces,

$f={\frac {e}{d}}g_{2}h_{2}={\frac {r}{s}}g_{2}h_{2}$

(3)


donde $e/d=r/s$, pero ${\text{mcd}}(r,s)=1$ y $g_{2}$, $h_{2}$ son polinomios primitivos en $D[X]$.

Como el lado izquierdo es un polinomio en $D[X]$, se tiene que el polinomio de la derecha es también un polinomio en $D[X]$, por lo que $s$ debe ser un factor de todos los coeficientes de $g_{2}$ y de todos los de $h_{2}$. Como esos polinomios son primitivos, se debe cumplir que $s$ es una unidad de $D$, digamos que hay un $t$ en $D$ tal que $st=1$. Luego,

$f={\frac {tr}{ts}}g_{2}h_{2}=trg_{2}h_{2}.$

(4)




Como $f$ es primitivo, cualquier común divisor de sus coeficientes es una unidad en $D$. Como a la derecha el máximo común divisor de los coeficientes es $r$ multiplicado por una unidad, se tiene que $r$ es un mcd de los coeficientes de $f$, por lo que debe ser una unidad en $D$. Luego, la ecuación (4) es una igualdad en $D$, que prueba que $f$ es reducible.

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Ejemplo.

Consideremos el polinomio $f=X^{2}+14X+6$ de $\mathbb {Z} [X]$. ¿Es $f$ reducible como polinomio de $\mathbb {Q} [X]$?

Resolución. Si lo fuera, lo sería, por la proposición anterior, también en $\mathbb {Z} [X]$, donde se tendría que

$X^{2}+14X+6=(X-a)(X-b)$

con $a$ y $b$ enteros cuya suma debería ser igual a 14 y cuyo producto sería igual a 6. Como, claramente, tales números no existen, concluimos que $f$ es irreducible en $\mathbb {Q} [X]$.

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El siguiente corolario a la proposición anterior es clave para la demostración de que $D[X]$ es DFU cuando $D$ lo es.

Corolario 5.1. Sea $D$ un DFU. Los polinomios irreducibles de $D[X]$ son polinomios primos.

Demostración: Sea $p$ un polinomio irreducible de $D[X]$. Probaremos, primeramente, que $p$ es primitivo. Por el Lema A se tiene que $p=ch$ donde $h$ es primitivo. Si $c$ no fuera unidad, tendríamos que lo anterior sería una factorización de $p$ tal que ninguno de los factores es una unidad. Luego, $c$ es una unidad. Esto implica, que $p$ y $h$ son asociados, por lo que concluimos que $p$ es un polinomio primitivo. Si el grado de $p$ fuera 0, tendríamos que $p$ es un elemento de $D$ y, en un DFU los irreducibles son primos, por lo que $p$ sería un elemento primo de $D$. Probaremos, que también es primo en $D[X]$. Supongamos que $p|fg$. Usando el lema citado, podemos escribir $f=af_{1}{\text{ y }}g=bg_{1},$

donde $a$ y $b$ son elementos de $D$ y $f_{1}$ y $g_{1}$ son polinomios primitivos. Por el lema de Gauss, $f_{1}g_{1}$ es también primitivo. Por lo que la única manera que $p|fg=(af_{1})(bg_{1})$ es que $p|ab$, Pero como, irreducibles son primos en $D$, se debe tener que $p|a$ o $p|b$. Por lo que, $p|f$ o $p|g$, o sea que se trata de un primo en $D[X]$.

Supongamos ahora que el grado de $p$ es positivo y que $p|fg$. Debemos probar que $p|f$ o $p|g$. Sea $k$ el cuerpo de fracciones de $D$ y la relación $p|fg$ en $k[X]$. Por la proposición, $p$ continúa siendo irreducible en $k[X]$; como $k[X]$ es un DFU, tenemos que $p$ es primo en $k[X]$. Luego, $p|f$ o $p|g$. Supongamos que $p|f$. Es decir que hay un $h$ en $k[X]$ tal que

$f=ph.$

(1)


Se tiene que podemos escribir $h$ como

$h={\frac {u}{v}}h_{1}.$

(2)


Donde $h$ es un polinomio primitivo en $D[X]$ y $u$, $v$ son elementos de $D$ con ${\text{mcd}}\{u,v\}=1$. Luego

$f={\frac {u}{v}}ph_{1}.$

(3)


El producto $ph_{1}$ es un polinomio primitivo, ya que es un producto de polinomios primitivos. Como $f$ es un polinomio con coeficientes en $D$, cada coeficiente de $ph_{1}$ debe ser divisible por $v$. Luego, $v$ es una unidad de $D$ y $u/v$ está en $D$. Luego, la ecuación (3) muestra que $p$ divide a $f$ en $D[X]$.

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Teorema A. Si $D$ es un DFU, entonces $D[X]$ es un DFU.

Demostración: Sea $f$ un polinomio no nulo, debemos probar que $f$ es un producto de irreducibles esencialmente de una única manera---o sea, excepto por factores que sean unidades. La prueba es por inducción sobre el grado de $f$. Si el grado de $f$ es cero, entonces $f$ es un elemento de $D$. Si $f$ fuera reducible en $D[X]$ lo sería en $D$. Es decir que elementos irreducibles de $D$ permanecen irreducibles en $D[X]$. Como $D$ es un DFU, $f$ tiene una factorización única en términos de irreducibles. Supongamos que el grado de $f$ fuera $n>0$ y supongamos el resultado válido para todos los polinomios con grado inferior a $n$. Si $f$ es irreducible, no hay nada más que probar. Supongamos que $f$ fuera reducible, entonces, $f=gh\quad {\text{ con }}{\text{gr}}(g),{\text{gr}}(h)<{\text{gr}}{f}.$

Por la hipótesis de inducción, se tiene que $g$ y $h$ tienen una descomposición en irreducibles. Por lo que su producto, $f$ también la tiene.

Para probar la unicidad, se razona como en la proposición correspondiente en el caso de los polinomios. Es decir, usando que irreducibles son primos, y cancelando los primos asociados en ambas descomposiciones.

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Corolario A.1. $\mathbb {Z} [X]$ es un DFU.

El Criterio de Eisenstein

Hay un criterio muy útil para saber si un polinomio es irreducible en $D[X]$ y, por lo tanto, en $k[X]$, donde $k$ es el cuerpo de fracciones de $D$.

Proposición 6. (Criterio de Eisenstein) Sea $D$ un DFU. Sea $f$ en $D[X]:$

$f=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}.$

Si hay un primo $p$ en $D$ tal que $p|a_{i}$ cuando $i<n$, $p\nmid a_{n}$ y $p^{2}\nmid a_{0}$, entonces $f$ es irreducible en $D[X]$ (y, pot lo tanto, en $k[X]$).

Demostración: Si $f$ no es un polinomio primitivo, podemos tomar un máximo común divisor de sus elementos, digamos $c$ y poner $f=cg$, donde $g$ es un polinomio primitivo en $D[X]$. Notemos que como polinomios en $k[X]$, $f$ y $g$ son asociados. Sea $p$ un primo que satisface las hipótesis para $f$. Como $p\nmid a_{n}$, tenemos que $p\nmid c$. Luego, si $a_{i}=cb_{i}$ es el coeficiente del término de grado $i$, tenemos que $p|a_{i}$, ssi, $p|b_{i}$, para $i<n$. Análogamente, las otras condiciones se cumplen para $g$. Por lo que, sin perdida de generalidad, podemos suponer que el polinomio $f$ del enunciado del teorema es primitivo en $D[X]$. Por la proposición 5 basta con probar que $f$ es irreducible en $D[X]$. Supongamos que, al contrario, en $D[X]$ se cumple que $f=gh=(b_{0}+b_{1}X+\cdots +b_{r}X^{r})(c_{0}+c_{1}X+\cdots +c_{s}X^{s})$

Por los hipótesis, tenemos que $p|a_{0}=b_{0}c_{0}$, por lo que $p|b_{0}$ o $p|c_{0}$. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que $p|b_{0}$. Entonces, $p\nmid c_{0}$ ya que $p^{2}\nmid a_{0}$. Notemos que $p$ no puede dividir todos los coeficientes de $g$, ya que $p\nmid b_{r}$ pues $b_{r}c_{s}=a_{n}$. Luego, hay un $j$ tal que $p|b_{0},\ldots ,b_{j-1}$, pero $b\nmid b_{j}$. Además, $j<r={\text{gr}}(g)<{\text{gr}}(f)=n$. Examinemos el coeficiente $a_{j}$ de $f$.

$a_{j}=b_{0}c_{j}+b_{1}c_{j-1}+\cdots +b_{j-1}c_{1}+b_{j}c_{0}.$

Sabemos por hipótesis que $p|a_{j}$. Por definición de $j$, $p$ divide todos los sumandos $b_{i}$ con $i<j$. Luego, $p|b_{j}c_{0}$. Como $p\nmid c_{0}$, se debe cumplir que $p|b_{j}$. Pero esto contradice, la elección de $j$. Hemos llegado a una contradicción, lo que prueba que $f$ es irreducible en $D[X]$.

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Ejemplos.

1. El polinomio $X^{4}+10X+15$ es irreducible en $\mathbb {Q} [X]$ ya que satisface el criterio de Eisenstein con $p=5$.
2. Sea $p$ un entero primo. Sea $f(x)={\frac {X^{p}-1}{X-1}}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X+1.$

   Nos interesa probar que $f$ es irreducible en $\mathbb {Q}$. (Por lo que todos sus ceros serán irracionales.) Claramente, el criterio de Eisenstein no es aplicable, al menos directamente. Pero el siguiente truco lo hace. Sea

   ${\begin{array}{rcl}g(X)&=&f(X+1)={\frac {(X+1)^{p}-1}{X}}=X^{p-1}+pX^{p-2}+\cdots \\&&\quad +{\begin{pmatrix}p\\i\end{pmatrix}}X^{i}+\cdots +{\begin{pmatrix}p\\p-2\end{pmatrix}}X+p.\end{array}}$

   Por el criterio, $g$ es irreducible. Esto implica que $f$ es también irreducible. Ya que si $f=f_{1}f_{2}$ se tendría $g(X)=f_{1}(X+1)f_{2}(X+1)$.

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Ejercicios

1. Hallar un polinomio primitivo que sea un asociado de
   1. $(4/3)X^{4}+6X^{3}+(2/9)X^{2}+(9/2)X+18$.
   2. $36X^{3}+180X^{2}+24X+(1/7)$.
2. Hallar todos los ceros racionales de
   1. $X^{3}-X+1$.
   2. $X^{4}+X^{2}+X-1$.
3. Probar que un polinomio mónico de $\mathbb {Z} [X]$ es primitivo.
4. Probar que $X^{5}+X^{2}+1$ es irreducible en $\mathbb {Z} [X]$, probando que es irreducible sobre $\mathbb {Z} _{2}$. (Sugerencia: probar que no tiene factores lineales ni cuadráticos. Para lo último usar que el único polinomio cuadrático de $\mathbb {Z} _{2}[X]$ es $X^{2}+X+1$.)
5. Probar que si $D$ es un DFU, entonces $D[X,Y,Z]$ es un DFU, donde $X,Y,Z$ son indeterminadas sobre $D$.
6. Probar que $X^{2}+XY^{2}+Y$ es irreducible en $\mathbb {Q} [X,Y]$. (Sugerencia. $\mathbb {Q} [X,Y]=\mathbb {Q} [Y][X]$ y $X$ es primo (irreducible) en $\mathbb {Q} [Y]$.)
7. Sea $D=\mathbb {Z} _{2}[Y]$ donde $Y$ es una indeterminada sobre $\mathbb {Z} _{2}$. Probar que $X^{2}+Y$ es irreducible en $D[X]$.

Factorización sobre los Racionales

La factorización sobre $\mathbb {Q}$ usa todos los resultados anteriores más algunas manipulaciones interesantes. En primer lugar, observemos que si $g$ es un polinomio en $\mathbb {Q} (X)$ y $r$ es igual al mcm de los denominadores de sus coeficientes, entonces

$g={\dfrac {1}{r}}f$, donde $f$ es un polinomio en $\mathbb {Z} [X]$. Si resultara que $f$ fuera primitivo, tendríamos que sus factores irreducibles en $\mathbb {Z} [X]$ serían iguales a sus factores en $\mathbb {Q} [X]$, ver la proposición 5. Por lo que, en principio, basta considerar polinomios primitivos en $\mathbb {Z} [X]$. Como los polinomios mónicos son ciertamente primitivos, veremos a continuación un truco para convertir un polinomio en un polinomio mónico, cuya factorización se refleja en la factorización del polinomio original. Comenzaremos con un ejemplo de factorización, que recuerda un truco de la escuela secundaria.

Ejemplo.

Factorizar $g=6X^{2}-7X-3$.

Resolución. Sea $f=6g$, entonces $f=6\cdot 6X^{2}-6\cdot 7X-6\cdot 3=(6X)^{2}-7(6X)-18$. Sea $Y=6X$. Entonces, $f(Y)=Y^{2}-7Y-18$, o sea un polinomio mónico. Por inspección es fácil ver que $f(Y)=(Y-9)(Y+2)$. Por lo que

$f(X)=(6X-9)(6X+2)=3(2X-3)\cdot 2(3X+1)=6(2X-3)(3X+1)$. Como $f=6g$, tenemos que $g=(2X-3)(3X+1)$.

Notemos, la sustitución $Y=6X$ que ayuda en la factorización anterior.

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Lo hecho en el ejemplo anterior es totalmente general. En efecto, sea $g=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$, $a_{n}\neq 0$. Si $a_{n}=1$ entonces $g$ es mónico. Supongamos que $a_{n}\neq 1$. Sea $f=a_{n}^{n-1}g$. Tenemos que

$f=a_{n}^{n-1}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}a_{n}^{n-1}X^{i}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}a_{n}^{n-1-i}(a_{n}X)^{i}+(a_{n}X)^{n}.$

Poniendo, $Y=a_{n}X$, se tiene que $f(Y)=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}a_{n}^{n-1-i}(a_{n}X)^{i}+Y^{n}$. Es decir que $f(Y)$ es mónico como polinomio en la indeterminada $Y$.

Proposición 7. Sean $f$ y $g$ como en la discusión anterior. Entonces, $g$ es irreducible, ssi, $f$ es irreducible.

Demostración: Si $g(X)=g_{1}(X)g_{2}(X)$ fuera una factorización propia de $g$. Entonces, $f(Y)=a_{n}^{n-1}g_{1}(Y/a_{n})g_{2}(Y/a_{n})$. Análogamente, si $f$ fuera reducible.

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La demostración muestra que cualquier factor irreducible de $g(X)$ lo es de $g(Y/a_{n})$ y viceversa. Es decir, que podemos factorizar el polinomio mónico, para obtener la factorización del polinomio general.

Ejemplo.

Factorizar $g=2X^{3}-X^{2}-X-3$.

Resolución. Sea $f=4g=(2X)^{3}-(2X)^{2}-2(2X)-12=Y^{3}-Y^{2}-2Y-12$, con $Y=2X$.

Por el teorema de los ceros racionales, los únicos ceros posibles enteros son los divisores de 12: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 4$, $\pm 6$ y $\pm 12$. Evaluando tenemos que

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c }Y&1&-1&2&-2&3&-3&\ldots \\\hline f(Y)&-14&-12&-12&20&0&&\end{array}}$

Por lo que $3$ es un cero y, por lo tanto, $Y-3$ es un factor de $f$; o, equivalentemente $2X-3$ es un factor de $g$. Notemos que como el grado de $f$ y $g$ es 3, podemos hallar los otros posibles ceros, hallando primeramente el cociente entre $g(X)$ y $2X-3$.

Usando el resultado del ejemplo siguiente a la proposición 6,el cociente es un polinomio irreducible sobre $\mathbb {Z}$. Luego,

$g(X)=(2X-3)(X^{2}+X+1).$

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Criterio de Irreducibilidad: reducción módulo m

Además del criterio de Eisenstein, hay un método relativamente simple de verificar si un polinomio en $\mathbb {Z} [X]$ es irreducible. Ilustraremos el método con un ejemplo.

Ejemplo.

Probar que $h=X^{2}+3X+1$ es irreducible sobre $\mathbb {Z}$.

Resolución. Considerando el polinomio como un polinomio sobre $\mathbb {Z} _{2}$, vemos que $h(0)=h(1)=1$, es decir que no tiene ceros sobre $\mathbb {Z} _{2}$, por lo que no es factorizable sobre $\mathbb {Z} _{2}$. La conclusión es que no puede serlo sobre $\mathbb {Z}$, por lo que discutiremos a continuación.

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Sea $f$ en $\mathbb {Z} [X]$, tal que $f=\sum _{i}a_{i}X^{i}$. Sea $m$ un número entero y definamos $\phi _{m}:\mathbb {Z} [X]\longrightarrow \mathbb {Z} _{m}[X]$ como la reducción módulo $m$ de los coeficientes de $f$, es decir que $\phi _{m}(f)=\sum _{i}[a_{i}]_{m}X^{i}$. Por ejemplo,

$\phi _{2}(X^{5}-6X^{4}+2X^{3}+3X^{2}+1)=X^{5}+X^{3}+1$ . Notemos que dicho polinomio es, por evaluación en 0 y 1, irreducible en $\mathbb {Z} _{2}$. La siguiente proposición muestra que es irreducible en $\mathbb {Z}$.

Notemos que si $f$ es mónico, también lo será $\phi _{m}(f)$ y, entonces, los grados de ambos polinomios son iguales.

Proposición 8. Sea $f$ un polinomio mónico en $\mathbb {Z} [X]$. Si para algún entero $m$, $\phi _{m}(f)$ es irreducible en $Z_{m}[X]$, entonces $f$ es irreducible en $\mathbb {Z} [X]$; donde $\phi _{m}:\mathbb {Z} [X]\longrightarrow \mathbb {Z} _{m}[X]$ es la reducción de los coeficientes módulo $m$.

La demostración sigue del siguiente lema cuya demostración dejaremos de ejercicio.

Lema B. Sea $f$ un polinomio mónico en $\mathbb {Z} [X]$. Si $f=gh$ en $\mathbb {Z} [X]$ entonces $\phi _{m}(f)=\phi _{m}(g)\phi _{m}(h)$.

Demostración de la proposición: Directo del lema, ya que si $f$ es reducible sobre $\mathbb {Z}$, su reducción módulo $m$ también lo será, para todo $m$.

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Ejemplo.

Sea $f=X^{5}+4X^{4}+2X^{3}+3X^{2}-X+5$. Entonces, $\phi _{2}(f)=X^{5}+X^{2}-X+1$. Ese polinomio es reducible en $\mathbb {Z} _{2}$, ya que $\phi _{2}(f)(1)=0$. Sin embargo, $g=\phi _{3}(f)=X^{5}+X^{4}+2X^{3}+2x+2$ es tal que $g(0)=g(1)=g(2)=2$, por lo que es irreducible en $\mathbb {Z} _{3}$. Luego, el polinomio $f$ es irreducible en $\mathbb {Z}$.

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Ejercicios

1. Factorizar los siguientes polinomios sobre $\mathbb {Q}$
   1. $2X^{3}+X^{2}+X-1$.
   2. $24x^{3}+4X^{2}-38X+15$.
   3. $240X^{4}-256X^{3}-375X^{2}+144X+135$.
2. ¿Cuáles de los siguientes polinomios son irreducibles sobre $\mathbb {Q}$?
   1. $5X^{2}+7X+1$.
   2. $X^{4}+2X^{3}+3X^{2}-2X+5$.
   3. $2x^{4}-8X^{2}+3$.
   4. $X^{4}+15X^{2}+12$.
   5. $X^{4}+1$.
   6. $X^{8}+1$.
3. Probar que si $b$ y $c$ son números enteros tales que $0<b<c$ y $b^{2}-c^{2}$ no es un cuadrado en $\mathbb {Z}$, entonces $X^{4}+2bX^{2}+c^{2}$ es irreducible en $\mathbb {Q} [X]$.

Los Polinomios Ciclotómicos

Consideremos al polinomio $X^{n}-1$ de $\mathbb {Z} [X]$. Los ceros complejos de $f(X)=X^{n}-1$ se llaman las raíces enésimas de la unidad. Sabemos de trabajos anteriores que tales raíces forman un subgrupo multiplicativo de $<\mathbb {C} ,\cdot >$ que denotamos por $U_{n}$. El grupo $U_{n}$ es cíclico y de orden $n$.

Decimos que una raíz enésima $\zeta$ es una raíz enésima primitiva de la unidad, ssi, es un generador de $U_{n}$.

Se sabe que $e^{i(2\pi /n)}:=\cos(2\pi /n)+i{\text{sen}}(2\pi /n)$ es una raíz primitiva de la unidad, por lo que

$U_{n}=\{1,\theta ,\theta ^{2},\ldots ,\theta ^{n-1}\}.$

Se tiene que $\theta ^{k}$ es primitiva, ssi, ${\text{mcd}}(k,n)=1$.

La notación $e^{i\alpha }=\cos(\alpha )+i{\text{sen}}(\alpha )$ resulta muy conveniente en este contexto, porque permite usando propiedades de potencias escribir resultados de forma compacta. La siguiente proposición muestra algunas propiedades de esa notación, que está conectada con la llamada representación polar de los complejos.

Proposición 9. (Propiedades de $\mathbf {e^{it}}$)

1. Si $z=a+bi$ entonces $z=re^{i\theta }$ donde $r$ es el módulo o largo de $z$ que es igual ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. El ángulo $\theta$ es el argumento de $z$ y está definido por $\tan(\theta )=b/a$.
2. El módulo de $e^{i\theta }$ es 1.
3. $e^{i\alpha }e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}$.
4. $(e^{i\alpha })^{n}=e^{i(n\alpha )}$.

Demostración: Ejercicio.

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Definición. (Polinomio Ciclotómico Enésimo) Sea $n$ un entero positivo y sea $\zeta =e^{i(2\pi /n)}$ una de las raíces primitivas de $n$. Llamamos enésimo polinomio ciclotómico al polinomio en $\mathbb {C} [X]$.

$\Phi _{n}(X):=\prod _{\begin{array}{c}1\leq k\leq n\\{\text{mcd}}(k,n)=1\end{array}}(X-\zeta ^{k}).$

Observemos, primeramente que el grado de $\Phi$ es $\varphi (n)$ donde $\varphi$ es la función de Euler.

Los primeros polinomios ciclotómicos son:

${\begin{array}{rcl}\Phi _{1}(X)&=&X-1\\\Phi _{2}(X)&=&X+1\\\Phi _{3}(X)&=&X^{2}+X+1\\\Phi _{4}(X)&=&X^{2}+1\\\Phi _{5}(X)&=&X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1\end{array}}$

Notemos que cada uno de los polinomios anteriores tienen coeficientes enteros. Esto es válido en general.

Proposición 10. Sea $n\geq 1$. Entonces,

1. $X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(X)$.
2. Para todo $n$, $\Phi _{n}(X)$ tiene coeficientes enteros, es decir que $\Phi _{d}(X)\in \mathbb {Z} [X].$

Demostración:
1. Los ceros del polinomio de la derecha en a) son las raíces primitivas $d$--ésimas para $d|n$, que también son ceros del polinomio de la derecha. Supongamos que $\theta =e^{ik2\pi /n}$, $1\leq k\leq n$ fuera un cero del polinomio de la izquierda, entonces $\theta$ es también una raíz primitiva $d$--ésima para algún $d|n$, por lo que es un cero del polinomio de la derecha. Luego, ambos polinomio son mónicos y tienen los mismos ceros, ninguno de ellos múltiple, deben ser el mismo polinomio.
2. (Por inducción sobre $n$) Claramente, $\Phi _{1}(X)=X-1$ es un polinomio en $\mathbb {Z} [X]$. Usando la identidad probada en a), tenemos que $X^{n}-1=f\Phi _{n}(X),\quad {\text{ donde }}f=\prod _{d|n,d<n}\Phi _{d}(X).$

   Por inducción, $f\in \mathbb {Z} [X]$. Dividiendo $X^{n}-1$ por $f$ en $\mathbb {Z} [X]$, obtenemos $q$ y $r$ únicos en $\mathbb {Z} [X]$ tales que $X^{n}-1=qf+r$ con ${\text{gr}}(r)<{\text{gr}}(f)$ y $q$ y $r$ en $\mathbb {Z} [X]$. Aplicando la unicidad para polinomios en $\mathbb {C} [X]$ obtenemos que $q=\Phi _{n}$ y $r=0$, lo que prueba la afirmación. \qedhere

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Corolario 10.1. $\quad n=\sum _{d|n}\varphi (d)$,

Demostración: Calculando grados en la igualdad de la parte a).

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Ejemplo.

Hallar $\Phi _{6}(X)$.

Resolución. Se tiene que $X^{6}-1=\Phi _{1}(X)\Phi _{2}(X)\Phi _{3}(X)\Phi _{6}(X)$. Despejando, tenemos que

${\begin{array}{rcl}&=&\Phi _{6}(X)={\dfrac {X^{6}-1}{\Phi _{1}(X)\Phi _{2}(X)\Phi _{3}(X)}}\\&=&{\dfrac {X^{6}-1}{(X-1)(X+1)(X^{2}+X+1)}}=X^{2}-X+1.\end{array}}$

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Ejercicios

1. Hallar $\Phi _{n}$, para $n=7,8,9,10,11,12,24$.
2. Hallar $\Phi _{p}$, para $p$ primo.
3. Sea $n=pq$ donde $p$ y $q$ primos diferentes. Probar que $\Phi _{n}(X)={\frac {(X^{n}-1)(X-1)}{(X^{p}-1)(X^{q}-1)}}.$
4. Verificar que los polinomios $\Phi _{n}$, para $1\leq n\leq 12$ son irreducibles sobre los enteros. ¿Cuáles de esos polinomios son irreducibles sobre $\mathbb {Z} _{2}$ y $\mathbb {Z} _{3}$?
5. Un elemento $x$ de $\mathbb {Z} _{m}$ se dice que es una raíz primitiva módulo $m$, ssi, el grupo multiplicativo $\mathbb {Z} _{m}^{*}$ es cíclico y generado por $[x]$. Es decir que el orden (multiplicativo) de $[x]$ es $\varphi (m)$, donde $\varphi$ es la función de Euler. Hallar raíces primitivas, si existen, en:
   1. $\mathbb {Z} _{3}$, $\mathbb {Z} _{5}$, $\mathbb {Z} _{7}$.
   2. $\mathbb {Z} _{4}$, $\mathbb {Z} _{6}$, $\mathbb {Z} _{15}$.
6. (Existencia de raíz primitiva en cuerpos finitos.) Sea $\mathbb {Z} _{q}$ un cuerpo finito con $q$ elementos. Entonces, poniendo $U=\mathbb {Z} _{q}^{*}$ tenemos que $U$ es un grupo con orden $q-1$. Sea $d$ el mínimo común múltiplo de los ordenes de los elementos de $G$. Probar las siguientes afirmaciones.
   1. Cada elemento de $U$ es un cero de $X^{d}-1$, luego $q-1\leq d$.
   2. Por el teorema de Lagrange, para cada $x$ en $U$, $o(x)|q-1$, luego $d|q-1$.
   3. $d=q-1$, por lo que hay un elemento de orden $q-1$ en $U$.
7. Probar las siguientes relaciones sobre los polinomios ciclotómicos en $\mathbb {Q} [X]$.
   1. $\Phi _{2n}(X)=\Phi _{n}(-X)$ cuando $n$ es impar.
   2. $\Phi _{p^{n}}(X)=\Phi _{n}(X^{p})/\Phi _{n}(X)$.
   3. Si $r|n$ entonces $\Phi (n)(X)|(X^{n}-1)/(X^{r}-1)$ en $\mathbb {Z} [X]$.

El Teorema Fundamental del Álgebra

Discutiremos en esta sección, la factorización de polinomios con coeficientes en los Complejos, que tiene entonces como casos especiales los casos con coeficientes en $\mathbb {Q}$ y en $\mathbb {R}$.

Vimos en la sección pasada que la factorización en $\mathbb {Q} [X]$ puede reducirse a la factorización en $\mathbb {Z} [X]$. Hay, además, algoritmos debidos a Lagrange (no muy efectivo) y a Berlekamp (bastante eficiente) para la factorización para polinomios con coeficientes enteros. Al contrario, para polinomios arbitrarios con coeficientes reales o complejos no hay tales algoritmos. Hay, sin embargo, fórmulas para la resolución de ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, que permiten factorizar polinomios de grado inferior a 5. La búsqueda de ceros de polinomios cualesquiera en $\mathbb {R} [X]$ puede hacerse en forma aproximada mediante algoritmos, siendo uno de los más eficientes aquel de Newton--Raphson que aparece en los cursos de Cálculo.

En los aspectos teóricos, la experiencia en la resolución de ecuaciones llevó a conjeturar que

• Cada polinomio con coeficientes reales o complejos siempre tiene un cero complejo. (Albert Girad, 1629)
• No hay polinomios irreducibles en $\mathbb {R} [X]$ de grado mayor que 2.

La primera conjetura se conoce como el teorema fundamental del Álgebra, y pruebas relativamente completas de ese resultado empezaron a aparecer a partir de 1801 (Gauss). Formalmente, el resultado es

Teorema Fundamental del Álgebra Cada polinomio $f$ en $\mathbb {C} [X]$ de grado positivo tiene al menos un cero en $\mathbb {C}$.

La demostración del teorema escapa el alcance de este libro por lo que referiremos a la literatura para la misma. Usualmente aparece en libros de Análisis sobre los Complejos y, también, en textos más avanzados de Álgebra, por ejemplo, mirar en .

Sigue del teorema que cualquier polinomio en $\mathbb {C} [X]$ de grado $n$ factoriza en exactamente $n$ factores lineales (con posibles repeticiones). En particular, todos los polinomios con coeficientes racionales o reales factoriza en factores lineales sobre $\mathbb {C}$,

Ejemplo.

En un ejemplo anterior vimos que $g=2X^{3}-X^{2}-X-3$ factoriza sobre $\mathbb {Z}$ como $g=(2X-3)(X^{2}+X+1)$. Usando la fórmula cuadrática, vemos que $x^{2}+x+1=0$, ssi,

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}=-{\frac {1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Si $\omega =(-1+i{\sqrt {3}})/2$ y $\omega '=(-1-i{\sqrt {3}})/2$ entonces

$g=(2X-3)(X-\omega )(X-\omega ^{\prime }).$

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Usaremos el teorema fundamental para probar la segunda conjetura mencionada.

Proposición 11. No hay polinomios irreducibles de grado mayor que $2$ en $\mathbb {R} [X]$,

Demostración: Sea $f$ un polinomio de grado mayor que 2 de $\mathbb {R} [X]$. Si $f$ tiene un cero en $\mathbb {R}$, entonces, como sabemos, $f$ es reducible. Supongamos que $f$ no tiene ceros reales. Por el teorema fundamental tiene al menos un cero complejo, digamos $\alpha$. Sea $g=(X-\alpha )(X-{\bar {\alpha }})$. Si $\alpha =a+bi$, entonces $b\neq 0$ y $g=(X-(a+bi))(X-(a-bi))=((X-a)-bi)((X-a)+bi)=X^{2}-2aX+(a^{2}+b^{2}).$

Como $g$ no tiene ceros reales es irreducible sobre $\mathbb {R}$.

Dividiendo $f$ por $g$ en $\mathbb {R} [X]$, obtendremos un cociente $q$ y un residuo $r$ tal que $f=qg+r$, donde el grado de $r$ es a lo más 1, digamos que $r=c+dX$, con $c$ y $d$ en $\mathbb {R}$. Evaluando (1) en $\alpha$ se tiene que

$f(\alpha )=q(\alpha )g(\alpha )+c+d\alpha .$


Como $\alpha$ es un cero de $f$ y $g$ concluimos que $c+d\alpha =0$. Pero, esto implica que $c=d=0$ (ver ejercicio \ref{ex100401}). Luego, $r=0$, y, por lo tanto, $g$ divide a $f$. Es decir que $f$ es reducible.

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Observación. El tema de los ceros de polinomios con coeficientes reales es un viejo tema. Algunos de los primeros resultados incluyen un teorema (la Regla de Descartes) sobre la cantidad de soluciones positivas y negativas de una ecuación polinómica. Hay otro teorema (algoritmo de Sturm) que permite computar la cantidad de ceros entre dos números dados. Como dijimos anteriormente, cuando se desea factorizar un polinomio real, lo usual es usar métodos aproximados. El lector debe buscar un libro sobre Análisis Numérico para ver acerca de dichos métodos.

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Ejercicios

1. Sea $\alpha$ un número complejo que no es real. Sean $c$ y $d$ números reales tales que $c+d\alpha =0$. Probar que $c=d=0$. (Tomar conjugados en la relación $c+d\alpha =0$).
2. Sea $f=aX^{2}+bX+c$ un polinomio en $k[X]$, donde $k$ es un cuerpo cualquiera. Probar que si $b^{2}-4ac$ es un cuadrado prefecto en $k$, digamos que $b^{2}-4ac=s^{2}$, entonces los ceros de $f$ en $k$ están dados por la "fórmula cuadrática", ${\frac {-b\pm s}{2a}}.$
3. Probar que $x^{2}=i$, donde $i^{2}=-1$ tiene dos soluciones complejas $x_{1}=\cos(2\pi /8)+i{\text{sen}}(2\pi /8)$ y $x_{2}=\cos(5*2\pi /8)+i{\text{sen}}(5*2\pi /8)$ (Use la relación de Moivre)
4. Sea $a$ un número real positivo. Probar que los ceros de $X^{n}-a$ son de la forma ${\sqrt[{n}]{a}}\zeta ^{k}$, $k=0,1,\ldots ,11$, donde ${\displaystyle }$ es una raíz enésima primitiva de la unidad.

Notas