Álgebra Abstracta/Los Ideales

Ideales y Anillos Cocientes

Nos interesa construir anillos cocientes de un anillo, por lo que necesitaremos relaciones de equivalencia que sean congruencias (es decir compatibles con las operaciones).

¿Cuándo una relación de equivalencia $\sim$ en un anillo cualquiera $A$ define una congruencia en $A$? Es decir, cuándo para $a,$ $x,$ $y$ se cumple que $x\sim y$ implica que

1. $a+x\sim a+y,$
2. $ax\sim ay,$ y
3. $xa\sim ya.$

Notemos que cuando suponemos conmutativo al anillo, las condiciones (ii) y (iii) son equivalentes.
Sabemos del estudio de los grupos que las congruencias de un grupo son equivalentes a las relaciones de equivalencia definidas por subgrupos normales. En el caso de los anillos, cada subgrupo del grupo aditivo es un subgrupo normal ya que la suma es conmutativa. Por lo que si tenemos un subgrupo $B$ del grupo aditivo, la relación de equivalencia $x\sim y,$ ssi, $x-y$ está en $B,$ es una congruencia respecto a la suma, o sea que cumple la primera condición.

Sea $B$ un subanillo de $A$ y consideremos la relación de equivalencia $\sim$ tal que

$x\sim y\iff x-y\in B.$

Por lo observado arriba, esta relación satisface la condición (i) para ser congruencia. La condición (ii) es equivalente, por lo tanto, a pedir que para todo $x,y,a$ en $A$ se cumpla para $B$ que

$x,y\in B\implies ax-ay\in B.$

(*)

Análoga equivalencia para (iii), pero con la multiplicación del elemento del anillo por la derecha.

$x,y\in B\implies xa-ya\in B.$

(**)

Notemos que si pedimos, para todo $a$, que

$x,y\in B\implies ax\in B\quad {\text{ y }}\quad xa\in B,$

(***)

por la condición (i) tenemos que se cumplen (ii) y (iii).

Vemos entonces que una condición necesaria para que la relación indicada sea una congruencia en el anillo es que el subgrupo aditivo $B$ sea cerrado respecto a la multiplicación (por derecha e izquierda) por elementos cualesquiera de $A$---y no únicamente por aquellos de $B.$

Dicha condición no se cumple, en general, para subanillos. Consideremos, por ejemplo, el subanillo $\mathbb {Z}$ de $\mathbb {Q} ;$ allí, la multiplicación de un racional por un entero no es necesariamente un entero.

Veremos, ahora, que la condición (***) para un subgrupo aditivo $B$ de $A,$ es suficiente para proveer al grupo cociente $A/B$ con una estructura de anillo. Sea $[x]=x+B$ la clase de equivalencia de $x$ respecto a la relación de equivalencia $x\sim y\iff x-y\in B.$ Probaremos que tomando cualquier elemento $[x]$ y multiplicándolo por uno cualquiera $[y],$ el resultado siempre está en la clase de $[xy],$ lo que probará que tenemos una multiplicación bien definida en $A/B.$ Sean $x'=x+b$ y $y'=y+c$ donde $b$ y $c$ son elementos de $B.$ Entonces,

$x'y'=(x+b)(y+c)=xy+xc+by+bc.$

Como se cumple la condición (*), tenemos que $xc+by$ es un elemento de $B,$ al igual que $bc,$. Lo que prueba la afirmación.

Proposición 1. (Anillos Cocientes) Sea $A$ un anillo con identidad y sea $B$ un subgrupo aditivo de $A$ tal que $x\in B\implies ax\in B{\text{ y }}xa\in B.$ Entonces, la definición

$[x][y]:=[xy].$

provee a $A/B$ con una estructura de anillo con identidad que llamaremos anillo cociente de $A$ por $B.$

Demostración: Por la discusión anterior a la definición, vemos que la multiplicación está bien definida, por lo que solamente es necesario verificar la asociatividad y la distributividad. Sean $a,$ $b$ y $c$ elementos de $A.$ Tenemos que $[a]([b][c])=[a][bc]=[a(bc)]\quad {\text{ y }}\quad ([a][b])[c]=[ab][c]=[(ab)c].$

Como en cualquier anillo, se cumple que $a(bc)=(ab)c$ concluimos que $[a]([b][c])=([a][b])[c].$ Es decir que la multiplicación cociente es asociativa.

Análogamente, tenemos que

{ |- | [a]([b] + [c]) || = || [a][b+c] = [a(b+c)] = [ab + ac] |- | [a][b] + [a][c] || = || [ab] + [ac] = [ab + ac]. |}

Lo que prueba la distributividad por la izquierda. Dejamos al cuidado del lector la demostración de la distributividad por la derecha, de la conmutatividad de la multiplicación y que $[1]$ es la identidad en $A/B.$

Se verifica fácilmente que cuando el anillo es conmutativo, su cociente también lo es.

Los subgrupos aditivos con las propiedades indicadas merecen, por lo tanto, un nombre especial.

Definición. (Ideales) Sea $A$ un anillo. Sea $I$ un subconjunto no vacío de $A.$ Decimos que $I$ es un ideal izquierdo (resp. ideal derecho) del anillo $A,$ ssi, para todo $x,$ $y$ en $I$ y para todo $a,$ $b$ en $A$ se cumple que: $x-y,$ $ax$ (resp, $xb$) son elementos de $I.$

Un subgrupo es un ideal bilateral o simplemente ideal, ssi, es ideal izquierdo y derecho. Notación: $I\triangleleft A.$

Sigue de la primera condición que los ideales son subgrupos del grupo aditivo del anillo. Cuando el anillo es conmutativo, los ideales izquierdos y derechos son bilaterales. Por lo que basta con que $x,y$ en $I$ impliquen que $x-y$ y $ax$ estén en $I,$ para que $I$ sea un ideal.

Observación. Hay ejemplos de anillos que tienen ideales laterales (izquierdos o derechos), pero no tienen ideales bilaterales.

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Ejemplos (Ejemplos de Ideales).

1. En cualquier anillo $A,$ los subgrupos $A$ y $\{0\}$ son ideales (ideales triviales). Llamamos ideal propio a un ideal diferente de los triviales.
2. Todos los subgrupos de $\mathbb {Z}$ son ideales (bilaterales) en $\mathbb {Z} .$ En efecto, recordemos que cada subgrupo de $\mathbb {Z}$ consiste de los múltiplos de un entero fijo $m.$ Como, al multiplicar cualquier entero por un múltiplo de $m,$ obtenemos otro múltiplo de $m,$ tenemos que se cumple la propiedad de ser ideal.
3. Sea $A$ un anillo cualquiera con identidad y sea $a$ un elemento de $A.$ Entonces, llamamos ideal principal izquierdo generado por $a$ al conjunto de todos los productos obtenidos al multiplicar un elemento del anillo por $a.$ $Aa:=\{xa:x\in A\}.$

   Análogamente, tenemos un ideal principal derecho generado por $a.$

   $aA:=\{ax:x\in A\}.$

   Naturalmente, si $A$ es conmutativo $Aa=aA,$ y hablamos de ideal principal generado por $a$.

   Veamos que efectivamente $Aa$ es un ideal izquierdo. Como $0=0A,$ $0$ es un elemento de $Aa,$ por lo que se trata de un subconjunto no vacío. Además, $xa-ya=(x-y)a,$ lo que prueba que $Aa$ es un subgrupo aditivo del grupo aditivo de $A.$ Como $y(xa)=(yx)a$ se tiene que $Aa$ es un ideal izquierdo.

   Queda de ejercicio, la verificación de que $aA$ es un ideal derecho.

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Sea $J$ un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) del anillo $A.$ Si la identidad o una unidad está en $J$ entonces $J=A.$ En efecto, sea $v$ una unidad tal que $uv=1.$ Entonces, como un elemento y su recíproco siempre permutan.tenemos además que $vu=1.$ Sea $J$ un ideal izquierdo (resp. derecho) que contiene a $u.$ Entonces. $vu$ (resp.uv) está en $J,$ o sea que 1 está en $J.$ Como para todo $a$ en $A$ se cumple que $a=a\cdot 1=1\cdot a,$ se tiene que cualquier elemento del anillo está en $J;$ es decir que $J=A.$

Proposición 2. Cuando un ideal contiene a una unidad, en particular a la identidad, el ideal es igual a todo el anillo.

Usando la nomenclatura de ideales, podemos reescribir la proposición 1 de la siguiente manera.

Proposición 3. Sea $I$ un ideal de un anillo $A,$ entonces $A/I$ tiene una estructura de anillo con las operaciones definidas por

$[a]+[b]:=[a+b]\quad {\text{ y }}\quad [a][b]:=[ab].$

Decimos que $A/I$ es al anillo cociente de $A$ por el ideal $I$ y podemos leer $A/I$ como "$A$ módulo $I$".

Cuando el anillo $A$ es conmutativo con identidad 1 y $J$ un ideal de $A,$ se verifica que $A/J$ es conmutativo con identidad $[1].$

Ejemplo.

El ideal $m\mathbb {Z}$ de $\mathbb {Z} ,$ define al anillo cociente $\mathbb {Z} _{m}:=\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} ,$ al que llamamos el anillo de los enteros módulo $m.$ Notemos que cuando $m$ es un entero compuesto, aunque el anillo $\mathbb {Z}$ es un dominio de integridad, su anillo cociente $\mathbb {Z} _{m}$ tiene divisores de cero, ya que si $m=ab$ con $m\nmid a,b,$ entonces $[0]=[m]=[a][b].$

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Ideales en Cuerpos

Supongamos que $K$ fuera un cuerpo e $I$ un ideal de $K.$ Entonces, si $I\neq \{0\},$ tendremos un elemento no nulo $x$ en $I.$ Por definición de ideal, $x^{-1}x$ estará entonces en $I,$ o sea que $1$ será un elemento de $I.$ Pero, por la última proposición, el ideal coincidirá con todo el anillo, o sea el cuerpo $K$ en este caso. Es decir que en cuerpo, solamente hay ideales triviales.

Proposición 4. Los cuerpos no contienen ideales propios no nulos.

Nomenclatura. Los anillos que no tienen ideales propios, en particular los cuerpos, se llaman anillos simples.

Ejercicios

1. Hallar todos los ideales de $\mathbb {Z} _{12}.$ Sea $J=\langle 3\rangle ,$ describir a $\mathbb {Z} _{12}/J.$
2. Sea $F=F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ el anillo de las funciones de los Reales en sí mismo. Para cada $a$ en $\mathbb {R} ,$ sea $ev_{a}$ la función evaluación en $a$ que asocia a cada $f$ en $F,$ el número real $f(a).$
   1. Verificar que $f$ es un homomorfismo de anillos.
   2. Usar el resultado anterior para explicar por qué el conjunto de todas las funciones tales que $f(5)=0$ es un ideal de $F.$
   3. Probar que el conjunto $J$ formado por todas las funciones cuyo valor es nulo sobre el intervalo $[0,1]$ es un ideal de $F.$

   
   

3. Sea $A$ un anillo conmutativo y $a$ un elemento del anillo. El anulador de $a$ es $N_{a}=\{x\in a|ax=0\}.$ Probar que $N_{a}$ es un ideal de $A.$
4. Sea $S$ un subconjunto de un anillo conmutativo $A.$ Una combinación (lineal) de elementos de $S$ con coeficientes en $A$ es un elemento de la forma $a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\dots +a_{k}s_{k},$

   donde los $a_{i}$'s son elementos del anillo y los $s_{i}$ son elementos de $S.$ Probar que cualquier ideal que contenga a $S,$ contiene a cualquier combinación lineal de elementos de $S.$

5. Sea $A=B\times C$ un producto directo de anillos, donde $B$ (resp. $C$) se identifica con los elementos de $A$ cuya segunda componente (resp. primera componente) es nula. Probar que $B$ y $C$ son ideales de $A.$ ¿Que podemos decir de los anillos cocientes $A/B$ y $A/C$?
   
6. (Enteros de Einsenstein) Sea $\mathbb {Z} [\omega ]=\{a+b\omega :a,b\in \mathbb {Z} \}$ donde $\omega =-{\dfrac {1}{2}}+i{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}.$ Sea $J=\{a+b\omega :a,b\in \mathbb {Z} \}.$ ¿Es $J$ un ideal de $A$?
   
7. Sea $A$ el anillo de las sucesiones reales, o sea de las funciones de $N$ en $\mathbb {R} .$ Sea $B$ el conjunto firmado por las sucesiones que tienen una cantidad finita de términos no nulos.
   1. Sea $s$ en $B.$ Probar que hay un $n$ tal que $m>n$ implica que $s_{n}=0.$
   2. ¿Es $B$ un subanillo de $A$? ¿un ideal?
8. Sea $A$ un anillo conmutativo con unidad y sea $e$ un elemento idempotente de $A$ ($e^{2}=e$) que no es un divisor de cero. Probar lo siguiente:
   1. $1-e$ es también un idempotente.
   2. Sean $A_{1}=eA$ y $A_{2}=(1-e)A.$ Entonces, $A_{1}$ y $A_{2}$ son ideales,
   3. $A=A_{1}\oplus A_{2}.$
9. Sea $A$ un anillo. Un elemento $x$ de $A$ es nilpotente, ssi, hay un natural $n$ tal que $x^{n}=0.$ Un ideal $J$ de $A$ es un ideal nilpotente, ssi, cada elemento de $A$ es nilpotente.
   1. Probar que unidades no pueden ser nilpotentes.
   2. Hallar los elementos nulos no nilpotentes y los ideales nilpotentes de $\mathbb {Z} _{9},$ $\mathbb {Z} _{11}$ y $\mathbb {Z} _{18}.$
   3. Sean $x,$ $y$ elementos que son nilpotentes y que conmutan entre si. Probar que $(x+y)$ y $xy$ son nilpotentes.
   4. Hallar los elementos nilpotentes de $\mathbb {Z} _{12}$ y $\mathbb {Z} _{16}.$
   5. Probar que ${\begin{bmatrix}0&a\\0&0\end{bmatrix}}$ es nilpotente.
10. Sea $A$ un anillo conmutativo con unidad. Probar que todos los elementos nilpotentes del anillo (ver ejercicio anterior para las definiciones) forman un ideal $N$ de $A$ (nilradical de A). Probar que $A/N$ no tiene elementos nilpotentes no nulos.
11. Sea $p$ un entero primo y sea $A=\{a/b\in \mathbb {Q} :a,b\in \mathbb {Z} ,\quad p\nmid b\}.$
    1. Probar que $A$ es un subanillo de $\mathbb {Q} ,$ pero no es un subcuerpo de $\mathbb {Q} .$
    2. Hallar las unidades de $A,$
    3. Probar que todos los ideales de $A$ son principales y de la forma $\langle p^{k}\rangle$, $k\geq 1.$
    4. Describir $A/\langle p\rangle$.
12. Dar un ejemplo de lo indicado a continuación, o decir porque es imposible.
    1. Hay cocientes de dominios de integridad que son cuerpos.
    2. Hay cocientes de dominios de integridad que no son dominios de integridad.
    3. Hay anillos con divisores de 0 que tienen cocientes que son dominios de integridad.
    4. Hay subanillos de $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ que no son ideales.
13. Probar que el cociente de un anillo con identidad por un ideal propio es un anillo con identidad.
14. ¿Cierto o falso?
    1. Un anillo puede no tener ideales.
    2. Un anillo con identidad no tiene ideales.
    3. Las unidades de un anillo determinan un ideal.
    4. Los Racionales determinan un ideal de los Reales.
    5. Cada ideal de un anillo es un subanillo del anillo.
    6. Cada subanillo de un anillo es un ideal del anillo.
    7. Un ideal de un subanillo es un ideal del anillo.
    8. Un ideal de un anillo es un ideal de cada subanillo.
    9. La intersección de dos ideales puede ser vacía.
    10. Un cuerpo tiene exactamente dos ideales propios.
    11. El anillo cociente de un anillo conmutativo es conmutativo.
    12. El anillo cociente de un anillo con identidad es un anillo con identidad.
    13. El anillo cociente de un domino de integridad es un dominio de integridad.
    14. Un anillo cociente nunca es el anillo trivial.
    15. El ideal principal izquierdo $Aa$ es igual al ideal derecho $aA,$
    16. Los ideales principales son siempre bilaterales.

Homomorfismos e Ideales

En esta sección, veremos las relaciones entre homomorfismos de anillos e ideales del dominio y codominio del homomorfismos. Los resultados son totalmente análogos a los resultados de homomorfismos de grupos y subgrupos normales vistos en el capítulo Grupos Cocientes.

Proposición 5. (Núcleos son Ideales) Sea $f:A\longrightarrow A'$ un homomorfismo de anillos. Entonces, el núcleo de $f$ (el conjunto formado por todos los elementos $x$ de $A$ tales que $f(x)=0'$) es un ideal de $A$

Demostración: Sea $K$ el núcleo de $f.$ Sabemos que $K$ es un subgrupo del grupo aditivo de $A.$ Sea $a$ en $A$ y $x$ en $K,$ entonces

$f(ax)=f(a)f(x)=f(a)\cdot 0'=0'$,


$f(xa)=f(x)f(a)=0'\cdot f(a)=0'.$

Lo que prueba que $K$ es un ideal de $A$.

Teorema de Homomorfismo Sea $f:A\longrightarrow B$ un homomorfismo de anillos. Sea $K$ el núcleo de $f.$ Sean $\nu :A\longrightarrow A/K$ el supramorfismo canónico, $x\mapsto [x]$ y ${\widetilde {f}}:A/K\longrightarrow B$ tal que ${\widetilde {f}}([x])=f(x).$ Se cumple que ${\widetilde {f}}$ es un monomorfismo de anillos. Es decir que $A/I\cong f(A)$ como anillos. El siguiente diagrama de homomorfismos es conmutativo.

Demostración: La prueba es totalmente análoga a la prueba del teorema de Noether en el capítulo Teoremas de Homomorfismos. Lo único nuevo es que ${\widetilde {f}}$ es un homomorfismo de anillos. Sigue de la proposición mencionada que ${\widetilde {f}},$ es un homomorfismo de grupos. Veamos que es un homomorfismo para la multiplicación. ${\begin{array}{rcl}{\widetilde {f}}([x][y])&=&{\widetilde {f}}([xy])=f(xy)=f(x)f(y)={\widetilde {f}}([x]){\widetilde {f}}([y]).\end{array}}$

(La siguiente proposición es análoga a la proposición sobre imágenes de subgrupos.)

Proposición 6. (Homomorfismo e Ideales) Sea $f:A\longrightarrow A'$ un homomorfismo de anillos.

1. Sea $J$ un ideal de $A$ entonces $f(J)$ es un ideal de $f(A).$
2. Sea $J'$ un ideal de $A'$ entonces $f^{-1}(J')$ es un ideal de $A$ que contiene al núcleo de $f.$

Demostración: Sigue de la teoría de grupos que $f(J)$ es un subgrupo aditivo de $f(A)$ y que $f^{-1}(J')$ es un subgrupo aditivo de $A.$ Por lo que bastará con verificar las cerraduras respecto a la multiplicación.
1. Sea $a'=f(a)$ en $f(A),$ entonces para todo $x$ en $J$ se cumple que $a'f(x)=f(a)f(x)=f(ax)yf(x)a'=f(x)f(a)=f(xa).$

   Por lo que $f(J)\triangleleft A'.$

2. Sea $x$ un elemento de $J=f^{-1}(J').$ Entonces, para todo $a$ en $A,$ tenemos que ${\begin{array}{rcl}f(ax)=f(a)f(x)\in J'&\implies &ax\in J.\\f(xa)=f(x)f(a)\in J'&\implies &xa\in J.\end{array}}$

   Luego, $J\triangleleft A.$

Corolario 6.1. Sea $f:A\longrightarrow B$ un homomorfismo suprayectivo. La imagen de un ideal principal de $A$ es un ideal principal de $B.$

Ejemplo.

Sea $f:Z\longrightarrow \mathbb {R}$ la inclusión canónica $x\mapsto x$ que es un homomorfismos de anillos. $J=2\mathbb {Z}$ es un ideal de $\mathbb {Z}$, pero su imagen (o sea el mismo conjunto) no es un ideal de $\mathbb {R} .$ Esto muestra que las restricciones de la parte (a) de la proposición son necesarias.

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Ejemplo.

Sea $\nu :\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} _{10}$ el supramorfismo canónico, $\nu :x\longrightarrow [x].$

Sigue del corolario, ya que $\nu$ es suprayectiva, que la imagen de cada ideal de $\mathbb {Z}$ es un ideal principal de $\mathbb {Z} _{10}.$ Usando este resultado, podemos listar a los ideales de $\mathbb {Z} _{10}.$

1. los ideales triviales: $\{0\},$ $\mathbb {Z} _{10};$
2. $I=[2]\mathbb {Z} _{10}=\{[0],[2],[4],[6],[8]\}=[4]\mathbb {Z} _{10}=[6]\mathbb {Z} _{10}=8\mathbb {Z} _{10}$;
3. $[3]\mathbb {Z} _{10}=[7]\mathbb {Z} _{10}=[9]\mathbb {Z} _{10}=\mathbb {Z} _{10}$ ya que $[3][7]=[1]$ y $[9][9]=[1].$
4. $J=[5]\mathbb {Z} _{10}=\{[0],[5]\}.$

Por lo que $\mathbb {Z} _{10}$ tiene dos ideales no triviales $I$ y $J.$

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Ejercicios

1. ¿Cierto o falso? Justificar la respuesta o dar contraejemplos.
   1. Un homomorfismo de anillos $f:A\longrightarrow B$ envía subanillos de $A$ en subanillos de $B.$
   2. Un homomorfismo de anillos $f:A\longrightarrow B$ envía ideales de $A$ en ideales de $B.$
   3. Un homomorfismo de anillos es inyectivo, ssi, su núcleo es $\{0\}.$
   4. Los anillos $\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ y $\mathbb {Z} _{5}$ son isomorfos.
   5. La imagen homomórfica de un anillo conmutativo es conmutativo.
   6. La preimagen (imagen inversa) de un anillo conmutativo es conmutativo.
2. Sea $F=F(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ el anillo de las funciones de los Reales en sí mismo. Para cada $a$ en $\mathbb {R} ,$ sea $ev_{a}$ la función evaluación en $a$ que asocia a cada $f$ en $F,$ el número real $f(a).$
   1. Verificar que $f$ es un homomorfismo de anillos.
   2. Usar el resultado anterior para explicar por qué el conjunto de todas las funciones tales que $f(5)=0$ es un ideal de $F.$
   3. Probar que el conjunto $J$ formado por todas las funciones cuyo valor es nulo sobre el intervalo $[0,1]$ es un ideal de $F.$
3. Sea $\varphi :A\longrightarrow A'$ un homomorfismo suprayectivo de anillos. Probar que la imagen de un ideal principal es un ideal principal.
4. Sean $m$ y $n$ enteros tales que $m|n,$ la función $[x]_{n}\mapsto [x]_{m}$ de $\mathbb {Z} _{n}$ en $\mathbb {Z} _{m}$ es un supramorfismo de anillos con identidad. Hallar el núcleo del homomorfismo.
5. Sean $I,$ $J$ ideales de un anillo conmutativo tal que $I\subset J.$ Probar que la función de $A/I$ en $A/J$ definida por $[x]_{I}\mapsto [x]_{J}$ es un homomorfismo de anillos. $[x]_{K}$ denota la clase de $x$ en $A/K.$
6. Sean $m$ y $n$ enteros relativamente primos. Probar que $\mathbb {Z} _{mn}\cong Z_{m}\oplus \mathbb {Z} _{n}.$
7. Sea $f:A\longrightarrow B$ un homomorfismo de anillos. Sea $I$ un ideal de $A$ y $J$ un ideal de $B$ tales que $f(I)\subset J.$ Probar que la función $x+I\longrightarrow x+J$ es un homomorfismo de anillos de $A/I$ en $B/J.$
8. Sean $I,$ $J$ ideales de un anillo conmutativo tal que $I\subset J.$ Probar que la función de $A/I$ en $A/J$ definida por $[x]_{I}\mapsto [x]_{J}$ es un homomorfismo de anillos. $[x]_{K}$ denota la clase de $x$ en $A/K,$ ($x+K$).

Ideales generado por una parte S

En nuestro estudio de los grupos, vimos que teníamos grupos y subgrupos generados por un subconjunto del grupo. Estudiaremos la situación análogas para ideales y subconjuntos de un anillo conmutativo con identidad, que será el caso más relevante para nuestro estudio. Dejamos para ejercicios el caso de subanillos generados cuando el anillo no sea conmutativo.

Sean $A$ un anillo (conmutativo y con identidad) y $S$ un subconjunto de $A.$ Supongamos que $S=\{s_{1},s_{2},\dots ,s_{k}\}$ y que $I$ denota a un ideal que contienen a $S.$ Cualquier producto de un elemento de $A$ por un elemento de $S$ debe ser elemento de $I,$ en particular, sus opuestos aditivos. Además, por ser $I$ un subgrupo aditivo, la suma de esos productos deberá estar en $I.$ Tales consideraciones sugieren la siguiente proposición.

Proposición 7. (Ideal generado por una parte $S$) Sean $A$ un anillo (conmutativo con identidad) y $S$ un subconjunto de $A.$ Sea $I_{S}$ el subconjunto de $A$ formado por todos los elementos de la forma

$a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\dots +a_{k}s_{k},$

(*)

donde los $a_{i}$'s son elementos cualesquiera de $A$ y los $s_{i}$'s son elementos de $S$. Entonces, $I_{S}$ es un ideal que está contenido en cualquier ideal que contenga a $S.$

Demostración: Sean $x=a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2}+\dots +a_{k}s_{k}$ y $y=b_{1}s_{1}+b_{2}s_{2}+\dots +b_{k}s_{k}$ elementos de $I_{S}.$ Entonces, ${\begin{array}{rcl}x-y&=&(a_{1}-b_{1})s_{1}+(a_{2}-b_{2})s_{2}+\dots +(a_{k}-b_{k})s_{k},\quad {\text{y}}\\ax&=&aa_{1}s_{1}+aa_{2}s_{2}+\dots +aa_{k}s_{k}.\end{array}}$

Lo que prueba que $I_{S}$ es un ideal. El resto sigue de la discusión anterior.

Nomenclatura y Notación.

Sean $A,$ $S$ e $I_{S}$ como en la proposición. Decimos que $I_{S}$ es el ideal generado por $S$ y lo simbolizamos por $\langle S\rangle .$

Llamamos combinación lineal (con coeficientes en $A$) de los elementos de $S$ a cualquier elemento de la forma de la relación (*). Con esta nomenclatura, el ideal generado por $S$ consiste de todas las combinaciones lineales (con coeficientes en el anillo) de los elementos de $S.$

Al igual que el caso de subgrupos generados, podemos caracterizar al ideal generado por una intersección de ideales.

Proposición 8. (Intersección de Ideales) La intersección de una familia de ideales es un ideal. En particular, la intersección de ideales que contienen a un subconjunto $S$ es un ideal que es igual al ideal generado por $S.$

Demostración: Sea $(J_{i})_{i\in I}$ una familia de ideales de un anillo $A$ y sea $J$ la intersección de todos esos ideales. El cero está en todos los ideales, por lo tanto, en $J.$ Sean $x,$ $y$ elementos de $J.$ Como $J$ es la parte común a todos los ideales
$J_{i}$'s, tenemos que $x$ y $y$ están en cada $J_{i}.$ Por ser $J_{i}$ ideal, tenemos que $x-y$ y $ax$ (para cada $a$ de $A$) están en $J_{i}.$ Es decir que $x-y$ y $ax$ están en cada uno de los $J_{i}$'s, por lo que están en la parte común a todos, es decir en $J.$ Lo que prueba que $J$ es un ideal de $A.$ En particular, la familia de ideales que contienen a $S$ tienen como intersección a un ideal $J$ que contiene a $S$ y por ser la intersección está contenido en cualquier ideal con esa propiedad. Como $\langle S\rangle$ es uno de esos ideales, contiene a $J,$ pero cada elemento de $\langle S\rangle$ está contenido en cualquier ideal que contenga a $S.$
Luego $J=\langle S\rangle .$

Ideales finitamente generados

Decimos que un ideal es finitamente generado, ssi, hay un conjunto finito que lo genera. Cuando el conjunto de generadores tiene solamente un elemento, decimos que el ideal es principal.

En el anillo $\mathbb {Z}$ de los Enteros, todos los ideales son principales, ya que todos son de la forma $m\mathbb {Z} =\langle m\rangle$, para algún entero $m.$

Ejemplo (Identidad de Bezout de los Enteros) .

Sea $A=\mathbb {Z} .$ Sean $m$ y $n$ dos números enteros positivos. Consideremos el ideal generado por $m$ y $n.$ Como los ideales de $\mathbb {Z}$ son principales, hay un entero positivo $d$ tal que $\langle m,n\rangle =\langle d\rangle$ . Luego $d$ debe ser una combinación lineal de $m$ y $n.$ Es decir que habrá enteros $x,y$ tales que

$d=xm+yn.$

Como $m$ y $n$ están en $\langle d\rangle$ se tiene $d$ es un divisor de $m$ y $n.$ La relación anterior implica, además, que cualquier divisor común de $m$ y $n,$ será un divisor de $d;$ es decir que $d$ es el máximo común divisor de $m$ y $n.$ Tenemos entonces que

Identidad de Bezout. Si $d={\text{mcd}}(m,n)$ entonces hay enteros $x,$ $y$ tal que $d=mx+ny.$

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Ejercicios

1. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y sean $I,$ $J$ ideales de $A.$ Probar que
   1. $I\cap J$ es un ideal de $A.$
   2. Sea $IJ$ el ideal generado por todos los productos $xy$ tales que $x$ está $I$ y $y$ está en $J.$ Probar que $IJ\subset I\cap J.$ Buscar ejemplo donde $IJ\varsubsetneq I\cap J.$
   3. Sea $I+J=\{x+y:x\in I,y\in J\}$ es un ideal de $A.$
   4. El cociente $I:J=\{x\in A:{\text{ para todo }}b\in J,xb\in I\}.$ Probar que $I:J$ es un ideal.

   ¿Cuándo se usa la hipótesis de conmutatividad?

2. El ideal generado por $a\mathbb {Z} \cup b\mathbb {Z}$ es un ideal generado por un número positivo $m$ que es igual al mínimo común múltiplo de $a$ y $b.$
3. Sea $I=6Z$ el ideal generado por 6 en $\mathbb {Z} .$ Hallar todos los ideales $J$ que contienen a $I.$
4. Probar que si $b=-a$ entonces $Aa=Ab.$
5. (Subanillo Generado) Sea $S=\{s_{1},\dots ,s_{k}\}$ un subconjunto de un anillo $M$ (que no suponemos ni conmutativo ni con identidad. Sea $B$ un subanillo que contiene a $S.$
   1. Cualquier múltiplo entero de un elemento de $S$ es un elemento de $B.$
   2. Cualquier producto de elementos de $S$ está en $B.$
   3. La suma de elementos de la formas indicadas arriba es un elemento de $B.$
   4. Sea $C$ el subconjunto de $A$ formado por todos los elementos de $A$ de la forma $m_{1}s_{1}+\dots +m_{k}s_{k}+s_{1}^{j_{1}}s_{2}^{j_{2}}\cdots s_{k}^{j^{k}},$

      donde los $m_{i}$'s son enteros cualesquiera y los $j_{i}$'s son enteros positivos o nulos. Probar que $C$ es un subanillo de $A$ que contiene a $S$ y que está contenido en cualquier otro subanillo que contenga a $S.$

6. (Ideal Generado) Sea $S=\{s_{1},\dots ,s_{k}\}$ un subconjunto de un anillo $M$ (que no suponemos ni conmutativo ni con identidad. Sea $J$ el subconjunto de $A$ formado por todos los elementos de $A$ de la forma $m_{1}s_{1}+\dots +m_{k}s_{k}+a_{1}s_{1}+\dots +a_{k}s_{k}+s_{1}b_{1}+\dots +s_{k}b_{k},$

   donde los $m_{i}$'s son enteros y los $a_{i}$'s y los $b_{i};$s son elementos de $A.$ Probar que $J$ es un ideal de $A$ que contiene a $S$ y que está contenido en cualquier otro ideal que contenga a $S.$

7. ¿Cómo modificar los ejercicios anteriores (subanillos e ideales generados), así como la proposición 7, para incluir la posibilidad de que el conjunto de generadores sea infinito? ¿Qué pasa cuando el conjunto de generadores es vacío?
8. Sean $B,$ $C$ subanillos de un anillo $A.$ Probar que $A$ es isomorfo a la suma directa de $B\oplus C,$ ssi,
   1. $B$ y $C$ son ideales de $A,$
   2. $B\cap C=\{0\},$ y
   3. $A$ está generado por $B$ y $C.$

Ideales Primos y Maximales

Antes de entrar en la materia estableceremos el siguiente convenio que usaremos en el resto del texto

CONVENIO ANILLOS CONMUTATIVOS CON IDENTIDAD

De ahora en adelante, supondremos que nuestros anillos son conmutativos con identidad, a menos que se indique algo distinto.

Hay dos tipos de ideales que serán importantes en nuestros estudios posteriores:ideales primos e ideales maximales.

Definición. (Ideal Maximal) Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Un ideal $J$ de $A$ es maximal, ssi, $J\neq A$ y cualquier otro ideal que lo contenga es igual a él o es todo el anillo. Es decir, ssi, para todo ideal $K$:

$J\subset K\subset A\implies K=J\quad {\text{ o }}\quad K=A.$

En palabras, un ideal maximal es un ideal que no está contenido en otro ideal propio diferente de el.

Ejemplo.

Los ideales $\langle p\rangle$ de los Enteros, con $p$ primo, son ideales maximales.

Sea $K$ un ideal que contiene al ideal $p\mathbb {Z} =\langle p\rangle .$ Como todos los ideales de $\mathbb {Z}$ son principales, hay un número entero positivo $m$ tal que $K=m\mathbb {Z} .$ Como $p\mathbb {Z} \subset K=m\mathbb {Z}$ implica que $p$ es un múltiplo de $m,$ se tiene que $p$ es divisible por $m.$ Lo que implica que $m=p$ o $m=1,$ es decir que $m\mathbb {Z} =p\mathbb {Z}$ o $m\mathbb {Z} =\mathbb {Z} ,$ lo que prueba que $p\mathbb {Z}$ es un ideal maximal.

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Criterio para que un Anillo Cociente sea un Cuerpo

Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y sea $I$ un ideal de $A$ tal que $A/I$ es un cuerpo. Sea $[x]$ un elemento no nulo de $A/I$ (que debe existir ya que $A/I$ es un cuerpo), entonces hay un $[y]$ en $A/I$ tal que $[x][y]=[1].$ En termino del ideal $I,$ lo anterior dice que para cada $x$ que no está en $I,$ podemos hallar un $y$ en $A\setminus I$ tal que $xy-1$ es un elemento de $I.$

Sea $J$ un ideal que contiene a un $x$ que no está en $I$ y al ideal $I.$ Observemos que $J$ contiene propiamente a $I.$ Sigue de las consideraciones anteriores que hay un elemento $y\not \in I$ tal que $xy-1\in I\subset J.$ Como $x$ es un elemento de $J,$ tenemos que $xy$ es un elemento de $J,$ luego $1=xy-(xy-1)$ será también un elemento de $J.$ Lo que prueba que $J=A$ y que, en consecuencia, $I$ debe ser un ideal maximal.

Supongamos ahora que $I$ es un ideal maximal del anillo $A.$ Probaremos que $A/I$ es un cuerpo. Como $I\varsubsetneq A$ hay un elemento no nulo $[x]$ en $A/I,$ lo que implica que $x$ no está en $I.$ Sea $J$ el ideal generado por $I\cup \{x\}.$ Cada elemento de $J$ es de la forma $z+ax,$ con $z$ en $I$ y $a$ en $A,$ Claramente, $J$ contiene propiamente a $I,$ por lo que es igual a $A.$ En particular, esto dice que podemos hallar $z$ en $I$ y $y$ en $A$ tales que $1=z+xy.$ Pasando al cociente, tenemos que $[1]=[z]+[x][y]=[x][y],$ lo que muestra que $[x]$ es invertible en $A/I,$ por lo que $A/I$ es un cuerpo.

Hemos probado, así, la siguiente proposición.

Proposición 9. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y sea $I$ un ideal de $A.$ $A/I$ es un cuerpo, ssi, $I$ es un ideal maximal de $A.$

Ejemplo.

Sea $p$ un número entero primo, como $p\mathbb {Z}$ es un ideal maximal en $\mathbb {Z} ,$ tenemos que $\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ es un cuerpo.

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Ejemplo.

En un cuerpo $k,$ el ideal $J=\{0\}$ es maximal.

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Ejemplo.

En un ejemplo anterior, vimos que $\mathbb {Z} _{10}$ tiene dos ideales no triviales, $I=2\mathbb {Z} _{10}$ y $J=5\mathbb {Z} _{10}.$ Claramente esos ideales son maximales, ya ninguno de ellos contiene al otro, En consecuencia, $\mathbb {Z} _{10}/I$ y $Z_{10}/J$ son cuerpos.

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Criterio para que un Anillo Cociente sea un Dominio

Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y sea $I$ un ideal propio de $A.$ Supongamos que $A/I$ fuera un dominio de integridad. Sean $a,$ $b$ elementos del anillo tales que $ab$ está en $I.$ Pasando al cociente, tendremos entonces que $[0]=[ab]=[a][b].$ Como $A/I$ es un dominio de integridad, se tiene que $[a]=[0]$ o $[b]=[0],$ Es decir que, $a$ está en $I$ o $b$ está en $I.$

En forma recíproca, sea $I$ un ideal tal que $ab$ en $I$ implica que $a$ está en $I$ o $b$ está en $I.$ Sean $a,$ $b$ elementos de $A$ tales que $[ab]=[0].$ Entonces, $ab$ está en $I,$ Por la hipótesis, se tiene que $a$ está en $I$ o $b$ está en $I.$ Pasando al cociente, esto significa que $[a]=[0]$ o $[b]=[0].$ Es decir que $A/I$ es un dominio.

Los ideales con la propiedad anterior merecen un nombre especial.

Definición. (Ideal Primo) Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad. Decimos que un ideal $J$ de $A$ es un ideal primo, ssi, cuando el producto de dos elementos está en el ideal, al menos uno de los factores debe estar también en el ideal. Es decir, ssi, para todo $a,$ $b$ se cumple que

$ab\in J\implies a\in J\quad {\text{ o }}\quad b\in J.$

La discusión anterior a la definición se resume en la siguiente proposición.

Proposición 10. Sea $A$ un anillo conmutativo con identidad y $I$ un ideal de $A.$ Entonces, $A/I$ es un dominio, ssi, $I$ es un ideal primo.

Corolario 10.1. Los Ideales Maximales son Ideales Primos.

Demostración: Si $I$ es un ideal maximal, tenemos que $A/I$ es un cuerpo. Como los cuerpos son dominios de integridad, tenemos que $A/I$ es un dominio de integridad. Por la proposición, $I$ es un ideal primo.

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Ejemplo. (Ideal primo que no es maximal).

En cualquier dominio de integridad, el ideal $\{0\}$ es un ideal primo. En efecto, si $ab$ esta en $\{0\},$ entonces $ab=0,$ lo que implica que $a=0$ o $b=0,$ o sea que $a$ o $b$ están en $\{0\}.$ Este ideal no es maximal, a menos que el dominio sea un cuerpo. Es decir que puede que haya ideales primos que no sean maximales, por ejemplo en $\mathbb {Z} .$

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Observación. Sea $p$ un número primo, el ideal $pZ$ de $\mathbb {Z}$ es un ideal primo, ya que vimos que $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ es un cuerpo.

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Ejercicios del Capítulo

A. Hacer lo indicado}

1. ¿Cuáles son todos los ideales del anillo de las matrices $2\times 2$ con coeficientes reales? (Sugerencia, pruebe la siguiente identidad matricial. Luego invente otra identidad, que junto con la primera permita deducir que la identidad es un elemento de cualquier ideal no nulo. Luego, los ideales no nulos serán todos iguales a \ldots ). $\left[{\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}d&0\\0&0\end{array}}\right]$
2. Sea $A$ un anillo con identidad, pero no necesariamente conmutativo. Probar que si los únicos radicales izquierdos de $A$ son los triviales, $\{0\}$ y todo $A,$ entonces $A$ es un anillo con división.
3. Sea $A=M_{2}(k)$ el anillo de matrices $2\times 2$ con entradas en el cuerpo $k.$ Probar que el conjunto de matrices de la forma ${\begin{bmatrix}a&0\\b&0\end{bmatrix}}$ es un ideal izquierdo (cerrado con respecto a la multiplicación por la izquierda), pero no es un ideal derecho.
4. (Cálculo) Sea $F$ el anillo de las funciones continuas del intervalo cerrado $[0,1]$ en los Reales. Probar que si $J$ es un ideal maximal de $A,$ hay un número $\alpha ,$ $0\leq \alpha \leq 1$ tal que $J=\{f\in F:f(\alpha )=0\}.$
5. Sea $F$ el anillo de las funciones de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R} .$
   1. Hallar tres unidades del anillo $F.$
   2. ¿Hay elementos nilpotentes en $F$?
   3. ¿Hay elementos idempotentes en $F$?
   4. Sean ${\mathsf {1}}$ y ${\mathsf {X}}$ las funciones tales que para dodo $t$ en $\mathbb {R}$ se cumple que ${\mathsf {(}}1)(t)=1$ y ${\mathsf {(}}X)(t)=t.$ Describir al subanillo generado por ambas funciones. ¿Es un ideal?
6. Sea $p$ un entero primo y sea $A=\{a/b\in \mathbb {Q} :a,b\in \mathbb {Z} ,\quad p\nmid b\}.$
   1. Probar que $A$ es un subanillo de $\mathbb {Q} ,$ pero no es un subcuerpo de $\mathbb {Q} .$
   2. Hallar las unidades de $A,$
   3. Probar que todos los ideales de $A$ son principales y de la forma $\langle p^{k}\rangle$, $k\geq 1.$
   4. Describir $A/\langle p\rangle$.
7. Dar un ejemplo de un anillo donde hay un ideal primo que no es maximal.
8. ¿Cuáles son todos los ideales de $\mathbb {Z} _{m},$ $m$ cualquiera? (Sug. Probar que si $J$ es un ideal $\mathbb {Z} _{m}$ entonces $I=\{x:[x]\in J\}$ es un ideal de $\mathbb {Z}$ que contiene a $\langle m\rangle =m\mathbb {Z} .$) Aplicar lo anterior para hallar todos los ideales de $\mathbb {Z} _{12}.$ Buscar los ideales primos y maximales entre ellos.
9. Sea $I_{1}\subset I_{2}\subset \cdots$ una cadena de ideales (quizás infinita). Sea $I$ la reunión de todos esos ideales. Probar que $I$ es un ideal. (La reunión está formada por todos los elementos que están en alguno de los ideales de la cadena.)
10. Sea $A$ un anillo con la propiedad de que cada ideal es finitamente generado. Probar que cualquier cadena ascendente de ideales $I_{1}\subset I_{2}\subset \cdots$ se estabiliza, es decir que existe un $n$ tal que $k\geq n$ implica que $I_{k}=I_{n}.$
11. Sea $m$ un número entero y sea $I_{k}=\langle m^{k}\rangle$, $k=1,2,3\ldots .$ Mostrar que la cadena de ideales $I_{1}\varsupsetneq I_{2}\varsupsetneq \dots \varsupsetneq I_{k}\varsupsetneq \dots$

    no se estabiliza, o sea que es infinita.

12. Sea $I$ un ideal de un anillo conmutativo con identidad. Llamamos radical de $I$ al conjunto denotado por ${\sqrt {I}}$ y definido como el conjunto de todos los elementos de $A$ que tiene un potencia entera positiva en $I.$ ${\sqrt {I}}:=\{x\in A:x^{n}\in I,\quad {\text{para algún }}n>0\}.$

    Probar que:

    1. ${\sqrt {I}}$ es un ideal que contiene a $I.$
    2. ${\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}.$
    3. ${\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}.$
    4. Cuando $I$ es un ideal maximal (propio no contenido en otros ideal propio) entonces ${\sqrt {I}}=I.$
13. Sean $A$ un anillo y $X$ un subconjunto no vacío de $A.$ Simbolicemos por $N(X)$ al conjunto de elementos $a$ de $A$ tales que $ax=0$ para todo $x$ en $X.$ Probar que:
    1. $N(X)$ es un ideal izquierdo de $A.$
    2. Si $X$ es un ideal izquierdo de $A$ entonces $N(X)$ es un ideal (bilateral) de $A.$
14. (Relación entre divisibilidad e ideales en los Enteros.) Sean $a$ y $b$ enteros no nulos. Decimos que $a$ es un factor de $b,$ cuando hay un entero $c$ tal que $ac=b.$ Probar las afirmaciones siguientes, cuando $a$ y $b$ son enteros.
    1. Un entero $a$ es un factor de un entero $b,$ ssi, $\langle b\rangle \subset \langle a\rangle =a\mathbb {Z} .$
    2. $\langle a\rangle \cup \langle b\rangle =\langle m\rangle$ y $m$ es el mínimo común múltiplo de $a$ y $b,$
    3. $\langle a,b\rangle =\langle d\rangle$ donde $d={\text{mcd}}\{a,b\}.$
15. Investigar las relaciones entre subanillos e ideales de los factores de un producto directo y loa subanillos e ideales de producto. Conjeturar teoremas y probarlos.

B. Relaciones con la Teoría de Números}

$\varphi$ es la función de Euler, donde $\varphi (m)$ es la cantidad de números enteros positivos que son relativamente primos con $m.$

1. Probar que $|U(\mathbb {Z} _{m})|=\varphi (m).$
2. Probar que cuando $p$ es primo, $\varphi (p^{r})=p^{r-1}(p-1).$
3. Probar que cuando ${\text{mcd}}(r,s)=1$ se cumple que
   1. $\mathbb {Z} _{rs}\cong \mathbb {Z} _{r}\times \mathbb {Z} _{s}.$ (Como anillos con Identidad)
   2. $U(\mathbb {Z} _{rs})=U(\mathbb {Z} _{s})\times U(\mathbb {Z} _{s}).$ (Unidades)
4. Probar que cuando ${\text{mcd}}(r,s)=1$ entonces $\varphi (rs)=\varphi (r)\varphi (s).$
5. Probar que la ecuación $ax\equiv b{\pmod {m}}$ tiene solución, ssi, ${\text{mcd}}(a,m)$ es un divisor de $b,$
6. Probar que la ecuación $ax=b$ tiene una única solución es $\mathbb {Z} _{m},$ ssi, $a$ y $m$ son relativamente primos.
7. Hallar una solución al sistema de congruencias: $3x\equiv 5{\pmod {7}},\quad 2x\equiv 1{\pmod {9}}$

   Probar que cuando $z$ y $z'$ son soluciones, entonces $z\equiv z'{\pmod {63}}.$

8. Generalizar los resultados del ejercicio anterior.

Comentarios

Los ideales fueron introducidos por Richard Dedekind estudiando divisibilidad en anillos de enteros algebraicos (ceros de polinomios mónicos con coeficientes enteros). Gran parte de la teoría fue desarrollada posteriormente por David Hilbert y Emmy Noether.