Álgebra Fundamental/Ecuación de Segundo Grado

Definición

Una Ecuación de Segundo Grado o Cuadrática es toda ecuación de la forma

$ax^{2}+bx+c=0$

donde $a,b,c$ son números reales y $a\neq 0$.

Una ecuación cuadrática representa, gráficamente, a una parábola.

La orientación de la parábola va a depender del signo que tenga el coeficiente $a$.

Los casos son:

Orientación Parabóla

La parábola que representa a una ecuación de segundo grado tiene los siguientes elementos asociados:

Vértice

El vértice es el punto mínimo o máximo de la parábola (dependiendo de la orientación que ésta tenga), y la fórmula para encontrarlo es la siguiente:

$V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)$

Raíces

Las raíces (o ceros o soluciones) de una parábola son los puntos donde la parábola corta al eje $X$.

La fórmula para encontrar dichos puntos es la siguiente:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

El número $\triangle =b^{2}-4ac$ se llama discriminante, y nos indica el número de raíces que va a tener una ecuación de segundo grado.

Hay tres casos:

• Si $\triangle >0$, hay dos raíces
• Si $\triangle =0$, hay una raíz
• Si $\triangle <0$, no hay raíces

Gráficamente, para una parábola asociada a una ecuación del tipo $ax^{2}+bx+c=0$, la situación se ve de la siguiente forma:

Casos $a>0$

Casos $a<0$

Ejemplo

Encontrar el vértice, las raíces y dibujar la gráfica de la parábola asociada a la ecuación cuadrática

$(1+x)^{2}+(2+x)^{2}=(3-x)^{2}$

Sol: Para las raíces tenemos que

Ecuación de Segundo Grado

Los coeficientes son los valores $a=1,b=12,c=-4$.

Reemplazando en la fórmulas del vértice tenemos que

${\begin{matrix}V&=&\left(-{\frac {12}{2(1)}},{\frac {4(1)(-4)-(12)^{2}}{4(1)}}\right)\\\rightarrow V&=&(-6,-40)\end{matrix}}$

El gráfico es:

Ejemplo Parábola