Álgebra Universitaria/Series de Fourier/Definicion

Las primeras cuatro aproximaciones para una función periódica escalonada

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicó sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

${\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos {\frac {2n\pi }{T}}t+b_{n}\sin {\frac {2n\pi }{T}}t\right]$

Donde $a_{n}\,\!$ y $b_{n}\,\!$ se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función $f(x)\,\!$

Definición

Si $f(t)\,$ es una función (o señal) periódica y su período es $T$, la serie de Fourier asociada a $f(t)\,$ es:

$f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)\right]$

Donde $a_{0}\,$, $a_{n}\,$ y $b_{n}\,$ son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

$a_{0}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cos \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\sin \left({\frac {2n\pi }{T}}t\right)dt.$

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

$f(t)\sim \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{2\pi i{\frac {n}{T}}t}.$

Los coeficientes ahora serían:

$c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\,e^{-2\pi i{\frac {n}{T}}t}\,dt.$

Otra forma de definir la serie de Fourier es:

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos {{\omega _{n}}{t}}+b_{n}\sin {{\omega _{n}}{t}}\right)$

donde $\omega _{n}=n\omega$ y $\omega =2{\pi }f={\frac {2{\pi }}{T}}$

siendo:

$a_{0}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos {{\omega _{n}}{t}}dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin {{\omega _{n}}{t}}dt.$

a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier.