1.1. Espacios topológicos

Definición 1.1. Sea $X$ un conjunto. Una topología sobre $X$ es un conjunto ${\mathcal {T}}$ de subconjuntos de $X$ que verifica las propiedades siguientes:

El conjunto vacío y el propio conjunto $X$ son elementos de ${\mathcal {T}}$ .
La unión de toda familia de conjuntos de ${\mathcal {T}}$ es un conjunto de ${\mathcal {T}}$ .
La intersección de toda familia finita de conjuntos de ${\mathcal {T}}$ es un conjunto de ${\mathcal {T}}$ .

Un espacio topológico es un par $(X,{\mathcal {T}})$ con ${\mathcal {T}}$ una topología sobre el conjunto $X$ . Cuando digamos que $X$ es un espacio topológico, entenderemos que lo es junto con cierta topología que no es necesario mencionar explícitamente. Si ${\mathcal {T}}$ es una topología sobre $X$ , los elementos de ${\mathcal {T}}$ se dicen abiertos de $X$ en la topología ${\mathcal {T}}$ , o simplemente abiertos cuando está claro cuál topología se está considerando. Por lo regular nos referiremos a los elementos de $X$ como puntos de $X$ .

Ejemplo 1.2. Si $X$ es un conjunto cualquiera, entonces el conjunto potencia de $X$ , $P(X)$ , es claramente una topología de $X$ , la cual recibe el nombre de toplogía discreta en $X$ . En esta topología, tenemos que todo subconjunto de $X$ es un abierto.

Ejemplo 1.3. El conjunto formado por todas las uniones de intervalos abiertos de $\mathbb {R}$ es una topología sobre $\mathbb {R}$ . Nos referiremos a esta topología como la topología usual sobre $\mathbb {R}$ . Cuando hablemos del espacio topológico $\mathbb {R}$ , se entenderá que nos referimos a $\mathbb {R}$ dotado de esa topología.

Sea $X$ un espacio topológico y $x\in X$ . Un subconjunto $U\subset X$ se dice un entorno abierto de $x$ si $U$ es abierto y $x\in U$ . Un conjunto $U\subset X$ es un entorno de $x$ si éste contiene un entorno abierto de $x$ .

Decimos que un espacio topológico $X$ es de Hausdorff, o que es separado, si para cualesquiera $x,y\in X$ , existen entornos $U$ y $V$ de $x$ y $y$ , respectivamente, tales que $U\cap V=\varnothing$ .

A partir de este punto, asumiremos que todos los espacios topológicos de los que hablemos son espacios de Hausdorff.

Sea $X$ un espacio topológico y $x$ un punto de $X$ . Una familia ${\mathcal {U}}$ de subconjuntos de $X$ es una base de entornos de $x$ si todos los conjuntos de ${\mathcal {U}}$ son entornos de $x$ y, para todo entorno $U$ de $x$ , existe un entorno $V$ de ${\mathcal {U}}$ contenido en $U$ y que contiene a $x$ .

Es posible definir una topología localmente, partiendo de bases de entornos abiertos de cada punto de un conjunto $X$ . Con más detalle, supongamos que para cada punto $x$ de $X$ , existe una familia de conjuntos no vacíos ${\mathcal {U}}_{x}$ con las propiedades siguientes:

Si $U\in {\mathcal {U}}_{x}$ , entonces $x\in U$ .
Si $U_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{x}$ , existe un $U_{3}\in {\mathcal {U}}_{x}$ tal que $U_{3}\subset U_{1}\cap U_{2}$ .
Si $U\in {\mathcal {U}}_{x}$ y $y\in U$ , existe un $V\in {\mathcal {U}}_{y}$ tal que $V\subset U$ .

Entonces existe una única topología en $X$ para la cual las familias ${\mathcal {U}}_{x}$ son bases de entornos de cada punto $x\in X$ . Esta topología viene dada de la siguiente manera: se define un punto $x$ como interior del conjunto $A$ si existe un entorno $U\in {\mathcal {U}}_{x}$ contenido en $A$ . Luego se establece que $A$ es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. Dicho de otro modo, $A$ es abierto si y sólo si es un entorno de cada uno de sus puntos.

Sea $S$ un espacio topológico y $S\subset X$ . Decimos que $S$ es cerrado si su complemento $X\setminus S$ es abierto. En virtud de las identidades de De Morgan, la intersección de cualquier familia de cerrados es cerrada, mientras que la unión de un número finito de cerrados es cerrada. Por supuesto, $X$ y $\varnothing$ son siempre abiertos a la vez que cerrados.

La clausura de $S\subset X$ se define como el menor de los conjuntos cerrados que contienen a $S$ . Equivalentemente, la clausura de $S$ es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a $S$ . A dicho conjunto lo representaremos por ${\overline {S}}$ .

Un punto de $x$ es un punto de acumulación de $S$ si todo entorno de $x$ contiene al menos un punto de $S$ que no sea $x$ mismo. Al conjunto de todos los puntos de acumulación de $S$ lo representamos por $S^{\prime }$ , y lo llamamos conjunto derivado de $S$ . Tenemos que ${\overline {S}}=S\cup S^{\prime }$ .

Sea $(x_{n})$ una sucesión de puntos de un espacio topológico $X$ . Decimos que $(x_{n})$ converge a un punto $x\in X$ , o que $x$ es el límite de $(x_{n})$ , si para todo entorno $U$ de $x$ existe un número natural $N$ tal que $n\geq N$ implica $x_{n}\in U$ , o sea, cuando $U$ contiene a todos los términos de la sucesión a partir de cierto punto. Para indicar que $(x_{n})$ converge a $x$ escribiremos $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$ , o también $x_{n}\to x$ .

Una aplicación (o sea, una función) $f:X\longrightarrow Y$ de espacios topologicos es continua si, para todo abierto $B$ de $Y$ , la imágen recíproca (o preimagen) $f^{-1}(B)$ es un abierto de $X$ . Equivalentemente, $f$ es continua si para todo punto $x\in X$ y todo entorno $U$ de $f(x)$ existe un entorno $V$ de $x$ tal que $f(V)\subset U$ . Si $f:X\longrightarrow Y$ es biyectiva y $f$ y $f^{-1}$ son ambas continuas, decimos que $f$ es un homeomorfismo.

Sea $S$ un subconjunto de un espacio topológico $X$ . Si $A\subset S$ y declaramos que $A$ es un abierto de $S$ si es la intersección de un abierto de $X$ y $S$ , entonces estos abiertos forman una topología en $S$ , que llamamos la topología inducida de $S$ . Con dicha topología, hablamos de $S$ como un subespacio del espacio topológico $X$ .

Ejemplo 1.4. Sea $\mathbb {R}$ el conjunto de los números reales con la topología usual. El conjunto de números enteros $\mathbb {Z}$ es un subespacio de $\mathbb {R}$ . La topología inducida en $\mathbb {Z}$ es la topología discreta.

1.2. Compacidad

Definición 1.5. Sea $X$ un espacio topológico y $S$ un subconjunto de $X$ . Decimos que una familia de abiertos ${\mathcal {U}}$ es un cubrimiento de $S$ si $S\subset \bigcup {\mathcal {U}}$ . Decimos que $S\subset X$ es compacto cuando de cualquier cubrimiento ${\mathcal {U}}$ de $S$ podemos extraer una colección de abiertos finita ${\mathcal {V}}$ que es también un cubrimiento de $S$ .

Proposición 1.6. En un espacio Hausdorff, todos los conjuntos compactos son cerrados, y los subconjuntos cerrados de un conjunto compacto son compactos.