Aritmética/Operaciones con Números Naturales/Multiplicacion de Números Naturales

Definición

Es toda operación donde se involucran dos o mas elementos con el símbolo $\ast$,$\times$,$\cdot$ , consiste en sumar un número tantas veces como lo indica el otro número, cuyas representaciónes pueden ser:

$a\ast b=c$

$a\times b=c$

$a\cdot b=c$

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

$\sum _{k=1}^{n}m=mn$

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí mismo n veces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

• 5×2 = 5 + 5 = 10
• 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
• 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
• m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m
• m·5 = m + m + m + m + m = 5m

Tabla básica de la Multiplicación

La forma tradicional de representar la tabla de multiplicar para su memorización o repaso, como su propio nombre indica en forma de tabla. Donde se multiplica, del uno al diez o del cero al diez, cada uno de los números en la tabla.

${\begin{array}{c}tabla\;de\;multiplicar\\\\{\begin{array}{ccccc}{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;1\\{\begin{array}{rcrcr}1&\times &0&=&0\\1&\times &1&=&1\\1&\times &2&=&2\\1&\times &3&=&3\\1&\times &4&=&4\\1&\times &5&=&5\\1&\times &6&=&6\\1&\times &7&=&7\\1&\times &8&=&8\\1&\times &9&=&9\\1&\times &10&=&10\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;2\\{\begin{array}{rcrcr}2&\times &0&=&0\\2&\times &1&=&2\\2&\times &2&=&4\\2&\times &3&=&6\\2&\times &4&=&8\\2&\times &5&=&10\\2&\times &6&=&12\\2&\times &7&=&14\\2&\times &8&=&16\\2&\times &9&=&18\\2&\times &10&=&20\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;3\\{\begin{array}{rcrcr}3&\times &0&=&0\\3&\times &1&=&3\\3&\times &2&=&6\\3&\times &3&=&9\\3&\times &4&=&12\\3&\times &5&=&15\\3&\times &6&=&18\\3&\times &7&=&21\\3&\times &8&=&24\\3&\times &9&=&27\\3&\times &10&=&30\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\\{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;4\\{\begin{array}{rcrcr}4&\times &0&=&0\\4&\times &1&=&4\\4&\times &2&=&8\\4&\times &3&=&12\\4&\times &4&=&16\\4&\times &5&=&20\\4&\times &6&=&24\\4&\times &7&=&28\\4&\times &8&=&32\\4&\times &9&=&36\\4&\times &10&=&40\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;5\\{\begin{array}{rcrcr}5&\times &0&=&0\\5&\times &1&=&5\\5&\times &2&=&10\\5&\times &3&=&15\\5&\times &4&=&20\\5&\times &5&=&25\\5&\times &6&=&30\\5&\times &7&=&35\\5&\times &8&=&40\\5&\times &9&=&45\\5&\times &10&=&50\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;6\\{\begin{array}{rcrcr}6&\times &0&=&0\\6&\times &1&=&6\\6&\times &2&=&12\\6&\times &3&=&18\\6&\times &4&=&24\\6&\times &5&=&30\\6&\times &6&=&36\\6&\times &7&=&42\\6&\times &8&=&48\\6&\times &9&=&54\\6&\times &10&=&60\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\\{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;7\\{\begin{array}{rcrcr}7&\times &0&=&0\\7&\times &1&=&7\\7&\times &2&=&14\\7&\times &3&=&21\\7&\times &4&=&28\\7&\times &5&=&35\\7&\times &6&=&42\\7&\times &7&=&49\\7&\times &8&=&56\\7&\times &9&=&63\\7&\times &10&=&70\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;8\\{\begin{array}{rcrcr}8&\times &0&=&0\\8&\times &1&=&8\\8&\times &2&=&16\\8&\times &3&=&24\\8&\times &4&=&32\\8&\times &5&=&40\\8&\times &6&=&48\\8&\times &7&=&56\\8&\times &8&=&64\\8&\times &9&=&72\\8&\times &10&=&80\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;9\\{\begin{array}{rcrcr}9&\times &0&=&0\\9&\times &1&=&9\\9&\times &2&=&18\\9&\times &3&=&27\\9&\times &4&=&36\\9&\times &5&=&45\\9&\times &6&=&54\\9&\times &7&=&63\\9&\times &8&=&72\\9&\times &9&=&81\\9&\times &10&=&90\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\end{array}}\\\end{array}}$

Otra forma de representar la tabla de multiplicar, es la denominada tabla pitagórica (denominada así en honor de Pitágoras), compuesta por coordenadas cartesianas (denominadas así en honor de Descartes). La ultima fila y la primera columna contienen los números que se van a multiplicar (habitualmente, los números enteros hasta el 10), y en la intersección de cada fila y cada columna está el producto del número de su fila por el número de su columna.

${\begin{array}{r|rrrrrrrrrr}\times &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&20\\3&0&3&6&9&12&15&18&21&24&27&30\\4&0&4&8&12&16&20&24&28&32&36&40\\5&0&5&10&15&20&25&30&35&40&45&50\\6&0&6&12&18&24&30&36&42&48&54&60\\7&0&7&14&21&28&35&42&49&56&63&70\\8&0&8&16&24&32&40&48&56&64&72&80\\9&0&9&18&27&36&45&54&63&72&81&90\\10&0&10&20&30&40&50&60&70&80&90&100\\\end{array}}$

Esta representación es la más compacta, y permite ver algunas propiedades de la multiplicación, la propiedad conmutativa, el orden de los factores no altera el producto, por ejemplo el 5·3 es igual a 3·5, esto hace que este cuadro sea una matriz simétrica, los valores situados a un lado otro de la diagonal que une el 1 y el 100, son iguales.

Esta simetría se puede ver también al comprobar que las filas y las columnas de un mismo número son iguales, si vemos la fila del tres, presenta la secuencia: 3, 6, 9, 12..., y si miramos la columna del tres tenemos la misma secuencia 3, 6, 9..., es decir, si cambiamos las filas por las columnas la tabla no varía, esto se debe a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

La diagonal principal, recoge los cuadrados de los números, en esta diagonal la fila es igual a la columna, por lo que tenemos que:

$a\cdot a=a^{2}\,$

La distribución de los números a un lado y otro de esta diagonal también es simétrica según nos alejamos de ella.

Propiedades de la multiplicación

Propiedad asociativa, $(m\cdot n)\cdot p=m\cdot (n\cdot p)$ para cualesquier m, n, p números naturales

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

conmutativa: $m\cdot n=n\cdot m$, para n y n cualesquier número natural.

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

Propiedad distributiva respecto a la adición: $m\cdot (l+n)=m\cdot l+m\cdot n=(l+n)\cdot m$

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

Se puede deducir esto cómo factor común: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)$

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

No hay divisores de cero: $m\cdot n=0$ implica que por lo menos uno de los factores es igual a cero.

Propiedad del Elemento neutro $n\cdot 1=n$ todo número natural n.

Cualquier número multiplicado por 1 da el resultado del número que sea a

3 · 1 = 3