Aritmética/Pre-Algebra/Notación Científica

La notación científica, también denominada patrón o notación en forma exponencial, es una forma de escribir los números que acomoda valores demasiado grandes (100000000000) o pequeños (0.00000000001) para ser convenientemente escrito de manera convencional. El uso de esta notación se basa en potencias de 10 (los casos ejemplificados anteriormente en notación científica, quedarían 1 × 10¹¹ y 1 × 10⁻¹¹, respectivamente). El módulo del exponente es la cantidad de ceros que lleva el número delante, en caso de ser negativo (nótese que el cero delante de la coma también cuenta), o detrás, en caso de tratarse de un exponente positivo. Como ejemplo, en la química, al referirse a la cantidad de entidades elementales (átomos, moléculas, iones, etc.), hay una cantidad llamada cantidad de materia (mol).

Un número escrito en notación científica sigue el siguiente patrón:

$m\ \times \ 10^{e}$

El número m se denomina «mantisa» y e el «orden de magnitud». La mantisa, en módulo, debe ser mayor que o igual a 1 y menor que 10, y el orden de magnitud, dada como exponente, es el número que más varía conforme al valor absoluto.

Observe los ejemplos de números grandes y pequeños:

• 600 000
• 30 000 000
• 500 000 000 000 000
• 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
• 0.0004
• 0.00000001
• 0.0000000000000006
• 0.0000000000000000000000000000000000000000000000008

La representación de estos números, tal como se presenta, tiene poco significado práctico. Incluso se podría pensar que estos valores son poco relevantes y de uso casi inexistente en la vida cotidiana. Sin embargo, en áreas como la física y la química, estos valores son comunes. Por ejemplo, la mayor distancia observable del universo mide cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m, y la masa de un protón es de unos 0.00000000000000000000000000167 kg.

Para valores como estos, la notación científica es más adecuada porque presenta la ventaja de poder representar adecuadamente la cantidad de dígitos significativos. Por ejemplo, la distancia observable del universo, de modo que está escrito, sugiere una precisión de 27 dígitos significativos. Pero esto no puede ser verdad (es poco probable 25 ceros seguidos en una medición).

Tipos de notación científica

En la notación científica estándar, el exponente e es elegido de manera que el valor absoluto de m permanezca al menos uno pero menos de diez (1 ≤ | m | <10). Por ejemplo, 350 se escribe como 3.5 ⋅ 10². Esta forma permite una comparación simple de dos números del mismo signo en m, como el exponente e indica el número de la orden de grandeza. En notación estándar el exponente e es negativo para un número absoluto con valor entre 0 y 1 (por ejemplo, menos de la mitad es -5 ⋅ 10⁻¹). El 10 y el exponente son generalmente omitidos cuando el exponente es 0.

En muchas áreas, la notación científica se normaliza de esta manera, a excepción de los cálculos intermedios, o cuando una forma no estándar, tales como la notación de ingeniería, se desea. La notación científica (normalizada) suele llamarse notación exponencial - aunque este último término es más general y también se aplica cuando m no está restringido al intervalo de 1 a 10 (como en la notación de ingeniería, por ejemplo) y para otras bases distintas de 10 (como en 315 ⋅ 2²⁰).

Notación E

Muchas calculadoras y programas informáticos presentan en notación científica los resultados muy grandes o muy pequeños Como los exponentes sobrescritos como 10⁷ no pueden ser convenientemente representados en las y por las computadoras, máquinas de escribir y en calculadoras, suele utilizarse un formato alternativo: la letra E o e representa «por diez elevado a la potencia», sustituyendo entonces el « × 10ⁿ». El carácter e no tiene nada que ver con la constante matemática e (una confusión no posible cuando se utiliza la letra mayúscula E); y aunque represente un exponente, la notación se refiere generalmente como (científica) notación E o (científica) notación E, en vez de (científica) notación exponencial (aunque este última también puede ocurrir).

Ejemplos

• En el lenguaje de programación FORTRAN 6.0221415E23 es equivalente a [[constante de Avogadro|6.022 141 5Plantilla:E]].
• El lenguaje de programación ALGOL 60 usa un subíndice diez en lugar de la letra E, por ejemplo Plantilla:Nowrap begin6.02214151023Plantilla:Nowrap end. ALGOL 68 también permite E minúsculas, por ejemplo 6.0221415e23.
• El lenguaje de programación ALGOL 68 tiene la opción de 4 caracteres en (eE\⏨). Ejemplos: Plantilla:Nowrap begin6.0221415e23Plantilla:Nowrap end, Plantilla:Nowrap begin6.0221415E23Plantilla:Nowrap end, Plantilla:Nowrap begin6.0221415\23Plantilla:Nowrap end o Plantilla:Nowrap begin6.0221415⏨23Plantilla:Nowrap end.
• En el lenguaje de programación Simula se requiere el uso de & (o && para largos), por ejemplo: Plantilla:Nowrap begin6.0221415&23Plantilla:Nowrap end Plantilla:Nowrap begin(o 6.0221415&&23)Plantilla:Nowrap end.

Notación de ingeniería

La notación de ingeniería difiere de la notación científica normalizada en el cual el exponente e está restringido a múltiplos de 3. Por consiguiente, el valor absoluto de m está en el intervalo 1 ≤ |m| <1000, en lugar de 1 ≤ |m| < 10. Aunque sea conceptualmente similar, la notación de ingeniería rara vez se la llama notación científica.

Los números de esta forma son fáciles de leer, utilizando los prefijos de magnitud como mega (m = 6), kilo (m = 3), mili (m = −3), micro (m = −6) ou nano (m = −9). Por ejemplo, 12.5×10⁻⁹ m se puede leer como «doce punto cinco nanómetros» o escrito como 12.5 nm.

Motivación

Ejemplo de notación científica, la constante de Avogadro.

La notación científica es una forma muy conveniente para escribir números pequeños o grandes y hacer cálculos con ellos. También transmite rápidamente dos propiedades de una medida que son útiles para los científicos, las cifras significativas y orden de magnitud. Escribir en notación científica le permite a una persona eliminar ceros delante o detrás de las cifras significativas. Esto es muy útil para mediciones muy grandes o muy pequeñas en astronomía y en el estudio de moléculas. Los siguientes ejemplos pueden demostrarlo.

Ejemplos

• La masa de un electrón es aproximadamente 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg. En notación científica, esto se escribe 9.109 382 2Plantilla:E kg.
• La corteza terrestre es de alrededor de 5 973 600 000 000 000 000 000 000 kg. En notación científica, este valor está representado por 5.9736 x10²⁴ kg.
• La circunferencia de la Tierra es de aproximadamente 40 000 000 m. En notación científica queda 4Plantilla:E m. En notación de ingeniería, es de 40 Plantilla:E m. En estilo de representación del SI, puede ser escrita 40 Plantilla:E m. En el estilo de representación del SI, puede ser escrita 40 Mm (40 megámetro).

Cifra significativa

Una ventaja de la notación científica es que reduce la ambigüedad del número de dígitos significativos. Todos los dígitos en notación científica estándar son significativos por convención. Pero, en notación decimal cualquier cero o una serie de ceros al lado del punto decimal son ambiguos, y puede o no indicar números significativos (cuando ellos deben estar subrayados para hacer explícitos que ellos son ceros significativos). En una notación decimal, los ceros al lado del punto decimal no son, necesariamente, un número significativo. Es decir, pueden estar allí solo para mostrar dónde está el punto decimal. Sin embargo, en notación científica se resuelve esta ambigüedad, porque los ceros que se muestran son considerados significativos por convención. Por ejemplo, usando la notación científica, la velocidad de la luz en unidades del SI es 2.99792458×10⁸ m/s y la eminencia es 2,54×10⁻² m; ambos números son exactos, por definición, las unidades «pulgadas» por centímetro y m en términos de la velocidad de la luz. En estos casos, todas las cifras son significativas. Se puede adicionar un único cero o cualquier número de ceros al lado derecho para mostrar más dígitos significativos, o un único cero con una barra en la parte superior se puede agregar a mostrar infinitos dígitos significativos (así como en notación decimal).

Ambigüedad del último dígito en notación científica

Es habitual en mediciones científicas registrar todos los dígitos significativos de las mediciones, y asumir un dígito adicional, si hubiera cierta información a todos los disponibles para el observador a hacer una suposición. El número resultante es considerado más valioso del que sería sin ese dedo extra, y es considerado una cifra significativa, ya que contiene alguna información que conduce a una mayor precisión en las mediciones y en la agregación de las mediciones (agregarlas o multiplicarlas).

A través de anotaciones adicionales, se puede transmitir información adicional sobre la exactitud. En algunos casos, puede ser útil saber que es el último algoritmo significativo. Por ejemplo, el valor aceptado de la unidad de carga elemental puede ser válidamente expresado como 1.602176487(40)×10⁻¹⁹ C, y cuyas cifras aparecen entre paréntesis al final del valor, indican su incertidumbre, específicamente se expresa como 0.000000040×10⁻¹⁹ C, y es un acceso directo a la abreviatura de (1.602176487 ± 0.000000040)×10⁻¹⁹ C.

Orden de magnitud

La notación científica también permite comparaciones simples entre órdenes de magnitud. La masa de un protón es 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 672 6 kg. Si esto es escrito como 1.6726×10⁻²⁷ kg, es más fácil comparar esta masa con del electrón, arriba. El orden de magnitud de la relación entre las masas se puede obtener los exponentes, en lugar de tener que contar los ceros a la izquierda, tarea propensa a errores. En este caso, -27 es mayor que -31, y por lo tanto, el protón es de aproximadamente cuatro órdenes de magnitud (alrededor de 10 000 veces) más masivo que el electrón.

La notación científica también evita malentendidos, debido a las diferencias regionales en ciertos cuantificadores como «mil millones», lo que puede indicar tanto 10⁹ como 10¹².

Descripción

La masa de la Vía Láctea es de 1 × 10⁴¹ kg.

Notación científica estandarizada

La definición básica de la notación científica permite una infinidad de representaciones para cada valor. Sin embargo, la notación científica estandarizada incluye una restricción: la mantisa (coeficiente) debe ser mayor que o igual a 1 y menor que 10. De ese modo es representado de una manera única.

Como transformar

Para transformar cualquier número a la notación científica estandarizada debemos mover la coma obedeciendo al principio de equilibrio.

Tomemos el ejemplo a continuación:

${253\cdot 756.42}$

La notación científica normal requiere que la mantisa (coeficiente) es de entre 1 y 10 en valor absoluto. En esta situación, el valor apropiado sería 2,5375642 (observe que la secuencia de números es la misma, solamente cambia la posición de la coma). Para el exponente, pena el principio de equilibrio: «Cada decimal que disminuye el valor de mantisa aumenta el exponente en una unidad, y viceversa».

En este caso, el exponente es 5.

Observe la transformación paso a paso:

${253\cdot 756.42}$
${25\cdot (375.642\cdot 10^{1})}$
${2\cdot (537,5642\cdot 10^{2})}$
${253.75642\cdot 10^{3}}$
${25.375642\cdot 10^{4}}$
${2,5375642\cdot 10^{5}}$

1 mol de moléculas tiene 6.02 × 10²³ moléculas.

Otro ejemplo, con valores por debajo de 1:

0.0000000475
0.000000475 × 10⁻¹
0.00000475 × 10⁻²
0.0000475 × 10⁻³
0.000475 × 10⁻⁴
0.00475 × 10⁻⁵
0.0475 × 10⁻⁶
0.475 × 10⁻⁷
4.75 × 10⁻⁸

Por lo tanto, los ejemplos anteriores quedarían:

• $\mathbf {6} \ \times \ 10^{\mathbf {5} }$
• $\mathbf {3} \ \times \ 10^{\mathbf {7} }$
• $\mathbf {5} \ \times \ 10^{\mathbf {14} }$
• $\mathbf {7} \ \times \ 10^{\mathbf {33} }$
• $\mathbf {4} \ \times \ 10^{\mathbf {-4} }$
• $\mathbf {1} \ \times \ 10^{\mathbf {-8} }$
• $\mathbf {6} \ \times \ 10^{\mathbf {-16} }$
• $\mathbf {8} \ \times \ 10^{\mathbf {-49} }$

Uso de espacios

En notación científica estándar, en notación E y la notación de ingeniería, el espacio (el que, en formato de texto, puede ser representado por un espacio normal de ancho o por un espacio delgado), solo se permite antes y después de x, en frente de E o e puede ser omitido, aunque sea menos común que lo haga antes del carácter alfabético.

Operaciones matemáticas con notación científica

Adición y sustracción

El cerebro humano tiene cerca de 1 × 10¹¹ neuronas.

Para sumar o restar dos números en notación científica, es necesario que los exponentes sean los mismos. Es decir, uno de los valores debe ser transformado para que su exponente sea igual al del otro. La transformación sigue el mismo principio de equilibrio. El resultado probablemente no estará en forma estándar, siendo convertido posteriormente.

Ejemplos:

${4.2\cdot 10^{7}}+{3,5\cdot 10^{5}}={420\cdot 10^{5}}+{3.5\cdot 10^{5}}={423.5\cdot 10^{5}}$

${6.32\cdot 10^{9}}-{6.25\cdot 10^{9}}={0.07\cdot 10^{9}}$ (no estándar) o ${7\cdot 10^{7}}$ (estandarizado)

Multiplicación

Multiplicar las mantisas y sumar los exponentes de cada valor. Probablemente, el resultado no será estándar, pero se puede convertir.

Ejemplo:

${(6,5\cdot 10^{8})}\cdot {(3.2\cdot 10^{5})}={(6,5\cdot 3.2)\cdot 10^{8+5}}={20.8\cdot 10^{13}}$ (no estandarizado) ${2.08\cdot 10^{14}}$ (convertido a notación estándar)

${(4\cdot 10^{6})}\cdot {(1.6\cdot 10^{-15})}={(4\cdot 1.6\cdot 10^{6+(-15)})}={6.4\cdot 10^{-9}}$(ya estandarizado sin necesidad de conversión)

División

Dividir las mantisas y restar los exponentes de cada valor. Probablemente, el resultado no será estándar, pero se puede convertir:

Ejemplos:

${(8\cdot 10^{17})}:{(2\cdot 10^{9})}={(8/2)\cdot 10^{17-9}}={4\cdot 10^{8}}$(estandarizado)

${(2.4\cdot 10^{-7})}:{(6.2\cdot 10^{-11})}={(2.4/6.2)\cdot 10^{-7-(-11)}}={0.3871}\cdot 10^{4}$(no estándar) ${3.871}\cdot 10^{3}$

Exponenciación o Potenciación

La mantisa es elevada al exponente externo y el congruente de base diez se multiplica por el exponente externo.

${(2\cdot 10^{6})^{4}}={(2^{4})\cdot 10^{6.4}}={16}\cdot 10^{24}=1.6\cdot 10^{25}$(estandarizado)

Radicación

Antes de realizar la radicación es necesario transformar un exponente a un múltiplo del índice. Después de que se hace esto, el resultado es la radicación de la mantisa multiplicada por diez elevado a la relación entre el exponente y el índice de radical.

${\sqrt {1.6\cdot 10^{27}}}={\sqrt {16\cdot 10^{26}}}={\sqrt {16}}\cdot 10^{26/2}=4\cdot 10^{13}$

${\sqrt[{5}]{6.7\cdot 10^{17}}}={\sqrt[{5}]{670\cdot 10^{15}}}={\sqrt[{5}]{670}}\cdot 10^{15/5}\approx 3.674\cdot 10^{3}$

Enlaces externos

• Descripción de la notación de Arquímedes Plantilla:Pt
• Este libro fue creado a partir de la traducción total del libro Notação científica de Wikilibros en portugués, concretamente de esta versión, bajo licencia GFDL y CC BY-SA 3.0 Unported.