Conjuntos numéricos/Los números algebraicos

Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0\,$

Donde:

$n>0(a_{n}\neq 0)$, es el grado del polinomio.

$a_{i}\in \mathbb {Q}$, los coeficientes del polinomio son números racionales.

Proposición

Un número algebraico ξ satisface la raíz de un polinómio mónico e irreducible único h(x) = 0 sobre ℚ. Además toda ecuación polinomia sobre ℚ satisfecha por ξ es divisible por h(x). .

Definiciones

1. La ecuación mínima de un número algebraico ξ es la ecuación h(x) = 0 de la proposición anterior .
2. El polinomio mínimo de ξ es h(x), ya mencionado.
3. El grado' de un número algebraico es el grado de su polinomio mínimo .

Entero algebraico

Un número algebraico es ξ es un entero algebraico si satisface alguna ecuación polinómica del tipo:

$x^{n}+c_{1}x^{n-1}+\dots +c_{n}=0\,$

con coeficientes enteros.

Las raíces quintas de la unidad, esto es, las ráices de la ecuación x⁵ - 1 = 0 son enteros algebraicos. Entre los números racionales, los únicos que son enteros algebraicos son los enteros 0, ±1, ±2, ±3, ...

Sistemas algebraicos

En principio si α y β son números algebraicos, lo son α + β y αβ. Si ξ y η son enteros algebraicos, lo son ξ + η y ξη.

El conjunto de todos los números algebraicos forma un campo. La clase de todos los enteros algebraicos constituye un anillo.

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