Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 075c

índice

Lección 074c ← Lección 075c → Lección 076c

Mathematik von A bis Z (Teil 12)

12

Zwölftes Kapitel

---

Gemeine Brüche

---

Nur noch ein kleines Hügelchen haben wir zu übersteigen, um uns dann ungehindert in den Ebenen der mathematischen Rätsel bewegen zu können. Es handelt sich dabei mehr um eine besondere Schreibart für die Division als um eine prinzipielle Neuerung in unserem Algorithmus.

Historisch am spätesten wurde der Doppelpunkt als Divisionszeichen eingeführt, den wir bisher fast ausschließlich verwendeten. Es war die glückliche Hand des großen Leibniz, die dieses Symbol 1684 schuf. Der sogenannte Bruchstrich als Zeichen der Division ist viel älteren Ursprungs.

Unter einem Bruch hat man vorerst nichts anderes zu verstehen, als eine noch unausgeführte oder eine mit ganzzahligem Ergebnis nicht weiter durchführbare Division.

Ausnahmsweise beginnen wir diesmal algebraisch mit allgemeinen Zahlen, deren Größe und Größenverhältnis in keiner Weise feststeht, und schreiben uns als Typus eines Bruches etwa $\textstyle {\frac {a}{b}}$ an, was so viel heißt, wie a gebrochen durch b, oder a durch b, oder a dividiert durch b, oder a:b, oder a im Verhältnis zu b. Die oberhalb des Bruchstriches stehende Zahl heißt der Bruchzähler, die unterhalb stehende Zahl der Bruchnenner. Ist der Zähler gleich eins, also allgemein $\textstyle {\frac {1}{a}}$, $\textstyle {\frac {1}{b}}$, $\textstyle {\frac {1}{c}}$ usw., dann sprechen wir von Stammbrüchen. Ist der Zähler kleiner als der Nenner, dann heißt der Bruch ein echter; was man allgemein schreiben könnte $\textstyle {\frac {a}{b}}$ wobei $a<b$. Das hier erstmalig vorkommende sogenannte Ungleichheitszeichen (>, <) deutet mit der Spitze stets auf die kleinere Größe, mit der Öffnung auf die größere Zahl. Natürlich darf man auch umgekehrt, d. h. von rechts nach links lesen und kann sagen, wenn man etwa

(5 + 7 — 2) > (1 + 3 — 2 + 1)

vor sich hat und die Klammerausdrücke ausrechnet: 10 ist größer als 3 oder 3 ist kleiner als 10.

Um aber wieder zu den Brüchen zurückzukehren, heißt also der Bruch $\textstyle {\frac {a}{b}}$ dann ein echter, wenn $a<b$. Und dann ein unechter, wenn $a>b$. In konkreten Zahlen wäre $\textstyle {\frac {1}{3}}$ ein Stammbruch und zugleich ein echter Bruch. $\textstyle {\frac {2}{3}}$ ist ein echter Bruch. $\textstyle {\frac {6}{4}}$ oder $\textstyle {\frac {3}{2}}$ sind unechte Brüche, weil wir sie aus ganzen Zahlen und aus Brüchen zusammengesetzt schreiben können. Nämlich $\textstyle 1+{\frac {2}{4}}$ oder $\textstyle 1+{\frac {1}{2}}$ oder $\textstyle 1{\frac {2}{4}}$ bzw. $\textstyle 1{\frac {1}{2}}$.

Im Rechnungsverfahren der alten Ägypter und der Griechen spielten die Stammbrüche eine besondere Rolle. So etwa schrieb man bei den Ägyptern für $\textstyle {\frac {7}{29}}$ die Stammbruchsumme

$\textstyle {\frac {1}{6}}$ + $\textstyle {\frac {1}{24}}$ + $\textstyle {\frac {1}{58}}$ + $\textstyle {\frac {1}{87}}$ + $\textstyle {\frac {1}{232}}$

und in Griechenland waren ähnliche Reihenbildungen an der Tagesordnung. Wir sind es heule gewohnt, die Stammbrüche eher zu vernachlässigen, da wir mit Brüchen aller Art und jeder Form leicht und sicher umgehen können. Nur in der Integralrechnung spielt das Verfahren der sogenannten Partialbruchzerlegung, das solchen Stammbruchauflösungen ähnelt, eine sehr große Rolle.

Der Begriff des Bruches lehrt uns aber noch anderes. Er gibt uns nämlich überhaupt erst den Begriff einer zerlegten ganzen Zahl. $\textstyle {\frac {1}{3}}$ ist der dritte Teil der Eins. $\textstyle {\frac {5}{7}}$ ist der siebente Teil der Fünf usw. Es tritt also hier etwas auf, und zwar bei den echten Brüchen, was über das Wesen der Division hinausgeht. Es wird nicht mehr gefragt, in welche ganze Zahlen ich eine ganze Zahl ganzzahlig zerlegen kann, wie etwa bei 12:3=4, wo eben vier Dreier die Zwölf ergeben oder 12 durch 3 die 4 hervorbringt; sondern das Problem lautet hier, welche Zwischenzahlen zwischen den ganzen Zahlen ich durch Teilung ganzer Zahlen gewinnen kann.

$\textstyle {\frac {1}{3}}$, $\textstyle {\frac {2}{3}}$, $\textstyle {\frac {3}{4}}$, $\textstyle {\frac {5}{7}}$, $\textstyle {\frac {29}{38}}$, liegen alle zwischen 0 und 1. Und wir könnten unendlich viele solcher Zahlen zwischen null und eins legen, wenn wir nur stets den Zähler kleiner wählen als den Nenner. Alle echten Brüche liegen sonach zwischen null und eins. Und ihr Wert wird bei gleichem Zähler desto kleiner, je größer der Nenner ist.

$\textstyle {\frac {2}{25}}$ sind größer als $\textstyle {\frac {2}{729}}$, was jedem klar ist, der das Wesen der Teilung einigermaßen durchschaut. Sind Zähler und Nenner einander gleich, dann handelt es sich um eine andere Schreibart für die Zahl eins. Denn $\textstyle {\frac {a}{a}}$ ist so viel wie a:a, was stets die Eins ergibt. Ist der Zähler 0, dann liegt Nullmultiplikation mit dem betreffenden Bruch vor. Wir könnten dann auch schreiben:

$\textstyle 0\cdot {\frac {n}{b}}$ oder $\textstyle {\frac {0\cdot a}{b}}={\frac {0}{b}}$ was selbstverständlich 0 liefert. Ist dagegen der Nenner gleich 0, dann geraten wir in arge Verlegenheit. Wir sollen etwas durch nichts dividieren. Also a:0=? Wollten wir die Gegenprobe machen, so müßten wir eine Größe suchen, die mit 0 multipliziert a ergibt. Offensichtlich ein unmögliches Verlangen, da jede Zahl, auch die größte, mit Null multipliziert wieder 0 ergibt. Kalkulieren wir jedoch anders (ich möchte sagen „dynamisch“ und nicht „statisch“), dann dürfen wir folgenden Schluß machen: Dividieren wir 5 etwa durch 100, dann erhalten wir 5 Hundertel. Dividieren wir 5 durch 47, dann erhalten wir schon viel mehr. Noch mehr erhalten wir bei einer Division durch 21, noch mehr bei der Division durch 7, noch mehr bei der Division durch 5; welch letztere Operation eins ergibt. Teilen wir durch 3, so erhalten wir oder $\textstyle {\frac {5}{3}}$ oder $\textstyle 1{\frac {2}{3}}$. Teilen wir durch 2, so erhalten wir oder $\textstyle {\frac {5}{2}}$ oder $\textstyle 2{\frac {1}{2}}$, teilen wir durch 1, so erhalten wir 5. Würden wir jetzt weiter durch alle Zahlen, die zwischen 1 und der 0 liegen, also durch alle echten Brüche teilen, etwa

${\frac {5}{\frac {1}{20}}}$, ${\frac {5}{\frac {1}{365}}}$ usw., so erhielten wir rasch zunehmend größere Werte. Denn $\textstyle 5:{\frac {1}{20}}$ ist schon 100. 5 dividiert durch $\textstyle {\frac {1}{365}}$ bereits 1825, 5 dividiert durch $\textstyle {\frac {1}{100.000}}$ schon 500.000 usw.

Die Null selbst aber ist stets noch kleiner als der kleinste Bruch, d. h. als der Bruch, der den größten Nenner hat.

${\frac {5}{\frac {1}{riesigeZahl}}}$ ergibt stets 5× riesige Zahl, also eine fünffach riesige Zahl. Die riesigste Zahl genügt aber noch nicht, um den Nenner, der als Bruch auftritt, zur Null zu machen. Denn $\textstyle {\frac {1}{riesigsteZahl}}$ ist noch stets größer als Null. Daher muß $\textstyle {\frac {5}{0}}$ größer sein als die allerriesigste Zahl, die ich mir überhaupt denken könnte. Und eigentlich noch viel größer. Man sagt daher abgekürzt, daß $\textstyle {\frac {5}{0}}$ gleich sei unendlich. Oder mit Zeichen $\textstyle {\frac {5}{0}}=\infty$.

Was wir eben nur so beiläufig kalkulierten, gehört eigentlich schon in die Unendlichkeitsanalysis und heißt ein „Grenzprozeß“ oder eine „Limes-Bestimmung“. Ich kann nämlich nicht sagen, daß $\textstyle {\frac {5}{0}}$ gleich unendlich ist, sondern nur, daß es nach unendlich strebt. Daß es zu einer Grenze (lateinisch: Limes) hineilt, die schließlich durch die Unendlichkeit gegeben sein muß, da ich ja stets Steigerungen von riesig, riesiger, allerallerriesigst, mehrfach allerallerriesigst usw. bis ins Unbegrenzte vornehmen kann, wobei das „Bildungsgesetz“, das Wachsen des Resultats, stets erhalten bleibt.

Wir zeigen absichtlich, trotz aller Warnungen des Widersachers, an passender Stelle Ausblicke auf das Endziel. Denn wir sind der Meinung, daß gerade die sogenannte „niedere Mathematik“ ihren oft unheimlichen, sprunghaften und unbefriedigenden Charakter hauptsächlich dadurch erhält, daß man an solchen Stellen entweder Dogmen aufstellt oder sich wie die Katze um den heißen Brei schleicht. Wir schleichen nicht und sagen es heraus: Die Behauptung $a:0=\infty$ ist unmöglich, da auch $\infty$ mal 0 nur Null geben kann, wenn man die Sache rein statisch auffaßt. Wenn wir die Null jedoch als eine durch Annäherung gewonnene allerallerkleinste Zahl, also als sogenannte „Limes-Null“ und das Unendlich als nebelhaft riesige Riesenzahl, also als „Limes-Unendlich“ auffassen, dann dürfen wir, ohne unseren Algorithmus zu sprengen, ruhig behaupten $a:lim0=lim\infty$, was praktisch auf $a:0=\infty$ hinauskommt. Wir trafen auf ein ähnliches Mysterium schon bei unserem Rechteck, wo wir sogar 0:0 als Verhältnis zu bestimmen hatten.

Außerdem gewinnen wir aber durch unseren Ansatz noch ein sonderbares Ergebnis. Da nämlich irgendeine beliebige Zahl (bei uns 5, die wir ganz willkürlich wählten) durch $lim0$ dividiert das Resultat $lim\infty$ liefert, so muß auch die Gegenprobe stimmen. Also: $5:lim0=lim\infty$, folglich $lim0\cdot lim\infty =5$; dasselbe würde aber für $7:lim0$ oder $530:lim0$ oder für irgendeine beliebige endliche Zahl a gelten. Daher ist $lim0\cdot lim\infty$ gleich irgendeiner beliebigen endlichen Zahl. Es ist dies das erstemal, daß wir ein sogenanntes unbestimmtes Ergebnis einer Rechnungsoperation erhalten.

Nun sind wir sträflich weit von unseren „Brüchen“ abgeirrt. Wir wollen aber noch weiter abirren, da wir eben früher das Wort „Verhältnis“ ausgesprochen haben. Was soll das wieder für ein Nebensinn der Division sein, wenn ich sage: „a verhält sich zu b“ und dafür $\textstyle {\frac {a}{b}}$ oder $a:b$ schreibe? Am einfachsten werden wir es durchschauen, wenn wir der Sache einen Messungs-, einen geometrischen Sinn unterlegen. Die Kanten einer rechteckigen Tischplatte seien abgemessen und als 6 Meter Länge und 2 Meter Breite festgestellt worden. Jedes Kind sagt sofort, daß sich die Länge zur Breite wie 6 zu 2 verhält. Oder 6:2=3, d. h. der Tisch ist eben dreimal so lang als breit. Beim sogenannten Verhältnis mache ich also die eine der zu vergleichenden (ins „Verhältnis“ zu setzenden) Größen zur Maßeinheit der anderen. Ich hätte nämlich auch sagen können: Breite verhält sich zur Länge wie 2:6 oder $\textstyle {\frac {2}{6}}$ oder $\textstyle {\frac {1}{3}}$ oder der Tisch ist ein Drittel mal so breit als lang. Maßbestimmen aber heißt suchen, wie oft die Einheit im Ganzen enthalten ist. Das heißt aber wieder: durch die Einheit dividieren. Im ersLen Falle war die Breite die Einheit. Und die Länge enthielt drei Einheiten. Im zweiten Falle war die Länge die Einheit und die Breite enthielt eine Dritteleinheit. Wenn wir nun jedoch die Frage nach der Einheit vertagen und eine außenstehende Einheit, etwa das Meter, heranziehen, können wir sagen: Länge zur Breite wie sechs zu drei Meter oder 6:3 oder $\textstyle {\frac {6}{3}}$.

Ganz allgemein: Länge zur Breile wie a:b oder $\textstyle {\frac {a}{b}}$, in irgendeiner Einheit ausgedrückt.

Man nennt dieses doppelte Verhältnis, das durch das Gleichheitszeichen als identisch befohlen wird, eine Proportion. Etwa:

a : b = 6 : 3 oder

27 : 9 = 15 : 5 oder $\textstyle {\frac {27}{9}}=\textstyle {\frac {15}{5}}$ usw.

Da nun eine Proportion nichts anderes ist als eine konkret geschriebene Gleichung bestimmter Form, wollen wir uns mit den bisherigen Andeutungen begnügen und die nähere Untersuchung erst bei den Gleichungen durchführen.

Jetzt müssen wir aber endlich unsere Brüche vornehmen und vor allem ihren Algorithmus, die bei Brüchen geltenden Rechenverfahren, durchforschen.

Zuerst die Addition und Subtraktion. Brüche, so haben wir nebenbei festgestellt, sind neue Zwischenzahlen zwischen den ganzen Zahlen. Die echten Brüche liegen wertmäßig zwischen 0 und 1, die unechten irgendwo anders in der Zahlenreihe. Natürlich gibt es auch ein Vorzeichen vor Brüchen. Also existieren positive und negative Brüche.

Wenn wir gemeine Brüche

(Die Abgrenzung von den sogenannten „Systembrüchen“, die uns als Dezimalbrüche geläufig sind, erfolgt später.)

ohne Rücksicht auf „Echtheit“ oder „Unechtheit“ als neue Zahlen ansehen, dann sind sie für uns soviel wie Äpfel, Birnen usw. Ein Drittel sei der Apfel, ein Viertel die Birne, ein Siebentel die Zitrone. Entscheidend für den Charakter eines Bruches ist bloß der Nenner. Er benennt den Bruch. $\textstyle {\frac {3}{4}}$ heißt dreimal $\textstyle {\frac {1}{4}}$. Der Zähler ist also ein Koeffizien und $\textstyle {\frac {3}{4}}$ könnte lauten $\textstyle 3({\frac {1}{4}})$, also drei Birnen neuer, gebrochener Gattung. Durch diese simple Überlegung ergibt sich der Algorithmus von Addition und Subtraktion für Brüche von selbst. Addierbar und subtrahierbar sind bloß gleichbenannte Brüche. D. h. wir dürfen sie verschmelzen, dürfen sie auf den gleichen Nenner bringen, und zwar in folgender Schreibweise:

$\textstyle {\frac {1}{3}}$ + $\textstyle {\frac {5}{3}}$ + $\textstyle {\frac {7}{3}}$ + $\textstyle {\frac {2}{3}}$ + $\textstyle {\frac {0}{3}}$ =

$\textstyle {\frac {1+5+7-2+0}{3}}$ = $\textstyle {\frac {11}{3}}$ = $3\textstyle {\frac {2}{3}}$.

Liegen dagegen verschiedene Nenner vor, dann muß ich erst einen neuen gemeinsamen Nenner suchen. Ich darf die Art, wie dies geschieht, als bekannt voraussetzen und daher bloß ein Beispiel für dieses „kleinste gemeinsame Vielfache“ notieren.

$\textstyle {\frac {1}{3}}$ + $\textstyle {\frac {2}{5}}$ + $\textstyle {\frac {5}{8}}$ - $\textstyle {\frac {4}{13}}=?$

Der gemeinsame Nenner ist hier 3•5•8•13, also 1560. Um alle Brüche auf 1560tel zu bringen, muß ich natürlich jetzt die Zähler ändern, damit jeder Einzelbruch den ursprünglichen Wert behält.

$\textstyle {\frac {1}{3}}$ etwa lautet als 1560tel geschrieben gleich $\textstyle {\frac {520}{1560}}$, da ich durch Kürzen wieder $\textstyle {\frac {1}{3}}$ erhielte. Praktisch müßte ich fragen, womit ich den Zähler multiplizieren muß, um den gleichen Bruch wie früher zu erhalten. Da 1560 gleich ist 3•5•8•13, wäre $\textstyle {\frac {1}{3}}$ gleich usw.

Unsere Rechnung ergibt also:

$\textstyle {\frac {1\cdot 5\cdot 8\cdot 13}{3\cdot 5\cdot 8\cdot 13}}+$$\textstyle {\frac {2\cdot 3\cdot 8\cdot 13}{5\cdot 3\cdot 8\cdot 13}}+$$\textstyle {\frac {5\cdot 3\cdot 5\cdot 13}{8\cdot 3\cdot 5\cdot 13}}+$$\textstyle {\frac {4\cdot 3\cdot 5\cdot 8}{13\cdot 3\cdot 5\cdot 8}}=$

$\textstyle {\frac {520+624+975-480}{1560}}=$

$\textstyle {\frac {1639}{1560}}$.

Allgemein sähe eine Addition bzw. Subtraktion von Brüchen folgendermaßen aus:

$\textstyle {\frac {2a^{2}b}{5c}}+{\frac {3df^{2}}{7bh}}-{\frac {abcd^{2}}{13h^{2}m}}=$

$\textstyle {\frac {2\cdot 7\cdot 3a^{2}b^{2}h^{3}m+3\cdot 5\cdot 3cdf^{2}h^{2}m-19\cdot 5\cdot 7ab^{2}c^{2}d^{2}h}{5\cdot 7\cdot 3\cdot b\cdot c\cdot h^{3}m}}=$

$\textstyle {\frac {42a^{2}b^{2}h^{3}m+45cdf^{2}h^{2}m-665ab^{2}c^{2}d^{2}h}{105bch^{3}m}}=$

$\textstyle {\frac {42a^{2}b^{2}h^{2}m+45cdf^{2}hm-665ab^{2}c^{2}d^{2}}{105bch^{2}m}}=$

Ich denke, daß durch obigen allgemeinen Fall die Struktur des Bruchaddierens und die Gewinnung des gemeinsamen Nenners vollkommen durchsichtig geworden ist. Falls der gemeinsame Nenner aus dem Produkt aller Nenner besteht, dann habe ich jeden einzelnen Zähler mit allen Nennern der anderen Brüche zu multiplizieren, um ihn gleichnamig (gleichnennerig) zu machen und dabei trotzdem gleichwertig zu erhalten.

Da wir Brüche als bestehend aus einem gleichsam Namen gebenden Stammbruch (1 durch Nenner) und einem Koeffizienten (Zähler) auffaßten, ergibt sich sofort eine Multiplikationsregel. Ich kann einen Bruch vervielfachen, wenn ich den Zähler (Koeffizienten) vervielfache. Dreimal ein Siebentel sind $\textstyle 3\cdot {\frac {1}{7}}={\frac {3}{7}}$

Oder 6 mal $\textstyle {\frac {4}{29}}=$$\textstyle 6\cdot 4\cdot ({\frac {1}{29}})=$$\textstyle {\frac {24}{29}}$.

Allgemein: $\textstyle a\cdot {\frac {b}{c}}={\frac {ab}{c}}$

Da aber ein Bruch nicht nur größer wird, wenn ich den Zähler vervielfache, sondern auch, wenn ich den Nenner verkleinere, kann ich auch auf andere Art multiplizieren. Zweimal ein Viertel ist auch einmal ein Halb.

Oder $\textstyle 2\cdot ({\frac {1}{4}})={\frac {1}{4:2}}={\frac {1}{2}}$, was ich natürlich auch als $\textstyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{3}}$ erhalten hätte.

Allgemein $\textstyle a\cdot {\frac {b}{c}}={\frac {b}{c:a}}$

Diese zweite Regel wird zum „Kürzen“ verwendet.

Etwa $\textstyle 9\cdot {\frac {5}{29}}$ kann man als $\textstyle {\frac {9\cdot 5}{9\cdot 3}}={\frac {5}{(9\cdot 9):9}}$, also als $\textstyle {\frac {5}{3}}$ anschreiben. Was dasselbe ist, wie wenn ich $\textstyle {\frac {9\cdot 5}{9\cdot 3}}$ eben gleich durch 9 gekürzt hätte.

Sind Brüche mit Brüchen zu multiplizieren, dann geschieht dies, indem ich alle Nenner und alle Zähler miteinander multipliziere. Etwa:

$\textstyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}\cdot {\frac {e}{f}}\cdot {\frac {g}{h}}={\frac {aceg}{bdfh}}$ oder konkret

$\textstyle {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {2}{7}}\cdot {\frac {9}{12}}={\frac {90}{1008}}={\frac {45}{504}}={\frac {5}{56}}$.

Ich hätte beim letzten Zahlenbeispiel schon „durchkürzen“ können. Ich darf nämlich jeden Zähler mit jedem Nenner kürzen, da ja im Ergebnis alle Zähler als Faktoren den neuen Zähler und alle Nenner als Faktoren den neuen Nenner bilden. Doch das darf ich wohl als bekannt voraussetzen, da es zum elementarsten Ziffernrechnen gehört.

Wir hätten also nur noch die Division mit Brüchen und die Potenzierung von Brüchen zu besprechen. Nehmen wir die Potenzierung vor, da sie eine Abart der Multiplikation ist.

$\textstyle {({\frac {a}{b}})}^{5}$ heißt $\textstyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {a}{b}}=$$\textstyle {\frac {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b}}=$$\textstyle {\frac {a^{5}}{b^{5}}}$

Die Regel ist also äußerst einfach und sagt, daß ich sowohl den Zähler als den Nenner mit dem gemeinsamen Anzeiger potenzieren muß.

Zur Ausführung der Division von Brüchen ist vorerst nichts Neues zu erläutern. Da der Zähler gleichsam die Mense der n-tel ist, so dividieren wir einfach den Zähler. $\textstyle {\frac {1}{3}}:3$ ist selbstverständlich $\textstyle {\frac {1}{4}}$, ebenso wie 3 Äpfel

durch 3 dividiert einen Apfel liefern. Verwickelter ist die Angelegenheit, wenn wir vor der Frage stehen, wie ein Bruch durch einen anderen oder wie eine ganze o Zahl durch einen Bruch zu dividieren ist. $\textstyle 5:{\frac {3}{4}}$ kann ich mir nicht sofort vorstellen. Jedenfalls ist das Ergebnis größer als 5, da $\textstyle {\frac {3}{4}}$ kleiner als 1 ist. Aber wie groß ist dieses Ergebnis?

Wie die alten Ägypter und Griechen wollen wir uns zum „Stammbruch“ flüchten. Allerdings in anderer Art. Wir überlegen nämlich so: Wenn ich etwa 30 durch 15 zu dividieren hätte, kann ich ruhig auch ansetzen 30:(5•3), was ja dasselbe ist. Nun steht es mir frei, die Zahl 30 zuerst durch 5 zu teilen, was 6 ergibt, worauf ich dann 6 weiter durch 3 teile und das Endresultat 2 erhalte. Ich könnte 30 aber auch zuerst durch 3 dividieren und dann 10 durch 5 teilen, worauf ich wieder 2 erhielte. Mit unserem Bruch wollen wir ähnlich verfahren. Da wir 5 durch $\textstyle {\frac {3}{4}}$ zu dividieren haben, schreiben wir an $\textstyle 5:(3\cdot {\frac {1}{4}})$. Jetzt teilen wir zuerst durch $\textstyle {\frac {1}{4}}$. Dieser Bruch isL in der Einheit viermal, folglich in 5 Einheiten zwanzigmal enthalten. Nun muß ich weiter die zwanzig durch drei teilen, was $\textstyle {\frac {20}{3}}$ oder $\textstyle 6{\frac {2}{3}}$ ergibt.

Versuchen wir ein anderes Beispiel: 7 wäre durch $\textstyle {\frac {5}{9}}$ zu dividieren. Also $\textstyle 7:(5\cdot {\frac {1}{9}})$.

Der Bruch ist in 7 Einheiten 63mal enthalten. 63 ist weiter durch 5 zu Po q dividieren. Das ergibt $\textstyle {\frac {63}{5}}$ oder $\textstyle 12{\frac {3}{5}}$. Wenn wir uns den Vorgang näher ansehen, entdecken wir, daß dabei der Bruchnenner des Stammbruchcs mit dem Dividenden zu multiplizieren und hierauf durch den Bruchzähler, der ja in der Klammer als zweiter Faktor steht, zu teilen ist. Allgemein:

Dividend: $\textstyle {\frac {\text{Zaehler}}{\text{Nenner}}}={\text{Dividend}}:({\text{Zaehler}}\times {\frac {1}{\text{Nenner}}})=$

$({\text{Dividend}}\times {\text{Nenner}}):{\text{Zaehler}}$.

Nun könnte ich das letzte Ergebnis auch so schreiben. daß ich ansetzte:

Dividend: $\textstyle {\text{Dividend}}:{\frac {\text{Zaehler}}{\text{Nenner}}}={\text{Dividend}}\times {\frac {\text{Nenner}}{\text{Zaehler}}}$ da ich ja das erste Schlußresultat auch $\textstyle {\frac {{\text{Dividend}}\times {\text{Nenner}}}{\text{Zaehler}}}$ hätte schreiben dürfen

Damit sind wir zum Begriff des „Kehrwertes“ oder „reziproken Wertes“ eines Bruches gelangt. Der Kehrwert wird erhalten, wenn wir Zähler und Nenner vertauschen. Kehrwert von $\textstyle {\frac {3}{4}}$ ist $\textstyle {\frac {4}{3}}$, von $\textstyle {\frac {5}{9}}$ der Bruch $\textstyle {\frac {9}{5}}$ und allgemein von $\textstyle {\frac {a}{b}}$ der Bruch $\textstyle {\frac {b}{a}}$. Da wir weiter nur vom „Dividenden“ sprachen und gar nicht behaupteten, dieser Dividend müsse eine ganze Zahl sein (da sich ja die Funktion des Dividierens hier lediglich in der Befehls- und Symbolveränderung im Divisor abspielt), dürfen wir jetzt ganz allgemein feststellen, daß irgendeine Zahl durch einen Bruch dadurch dividiert wird, daß wir mit dessen Kehrwert multiplizieren. Also $\textstyle n:{\frac {a}{b}}=n\cdot {\frac {b}{a}}$, wobei n eine allgemeine oder konkrete, positive oder negative, ganze oder gebrochene Zahl sein darf. Daher ist auch

$\textstyle {\frac {n}{m}}:{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {nb}{ma}}$.

Wir versuchen nach der neuen Regel unsere ersten Beispiele zu behandeln:

$\textstyle 5:{\frac {3}{4}}=5\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {30}{3}}=6{\frac {2}{3}}$

$\textstyle 7:{\frac {5}{9}}=7\cdot {\frac {9}{5}}={\frac {63}{5}}=12{\frac {3}{5}}$.

Unser Algorithmus stimmt also. Überdies ist er gleichsam durch den Naturverstand zu verifizieren. Allerdings ganz durchsichtig nur für Stammbrüche. Wenn ich nämlich eine Zahl durch etwa zu dividieren habe, ist es klar, daß der Quotient die verdoppelte Dividenduszahl sein muß, also die Zahl mal 2 oder mal $\textstyle {\frac {2}{1}}$, da ich jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben kann. Im Vorübergehen wollen wir noch einige Zahlenbeispiele rechnen:

$\textstyle {\frac {5}{3}}:{\frac {6}{8}}={\frac {5}{3}}\cdot {\frac {8}{6}}=$$\textstyle {\frac {40}{18}}=$$\textstyle {\frac {20}{9}}=$$\textstyle 2{\frac {2}{9}}=$

$\textstyle {\frac {17}{19}}:{\frac {9}{13}}={\frac {17}{19}}\cdot {\frac {13}{9}}=$$\textstyle {\frac {221}{171}}=$$\textstyle 1{\frac {50}{171}}=$

Unsere Überlegungen führen uns zum Begriff des Doppelbruches, der ja nichts anderes ist als eine geänderte Schreibweise der Division eines Bruches durcheinen Bruch. $\textstyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}$ kann ich auch schreiben ${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}$

(Beim Doppelbruch ist der sogenannte „Hauptbruchstrich“ entweder durch Verlängerung oder durch Verdickung zu markieren.)

und beides wird als Ergebnis $\textstyle {\frac {ad}{bc}}$ liefern.

Hätte ich jedoch $\textstyle a:{\frac {c}{d}}$ so kann ich schreiben ${\frac {a}{\frac {c}{d}}}$ oder ${\frac {\frac {a}{1}}{\frac {c}{d}}}$ und erhalte $\textstyle {\frac {a}{dc}}$.

Wäre aber $\textstyle {\frac {a}{b}}$ endlich durch c zu teilen, so müßte ich als Doppelbruch ${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{1}}}$ schreiben und $\textstyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{c}}$, also \frac{a}{b \cdot c} als Ergebnis berechnen. Der letzte Fall hat uns auch gezeigt, wie ein Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren ist.

(Natürlich kann ein Bruch auch in der Weise durch eine ganze Zahl dividiert werden, daß man den Bruchzähler (Koeffizient) durch die ganze Zahl dividiert $\textstyle ({\frac {5}{6}}:5={\frac {1}{6}})$)

Nämlich durch Multiplikation mit dem Kehrwert der als Bruch aufgefaßten ganzen Zahl.

Also:

$\textstyle {\frac {a}{b}}:c={\frac {a}{b}}:{\frac {c}{1}}=$$\textstyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {1}{c}}=$$\textstyle {\frac {a}{bc}}$.

Diese Erkenntnis liefert uns eine weitere allgemeine Rechenregel. Da wir die Division zweier ganzer Zahlen auch als Bruchdivision ansetzen können, etwa

$\textstyle a:b={\frac {a}{1}}:{\frac {b}{1}}=$$\textstyle {\frac {a}{1}}\cdot {\frac {1}{b}}=$$\textstyle a\cdot {\frac {1}{b}}=$$\textstyle {\frac {a}{b}}$,

ersehen wir, daß wir statt irgendeiner ganzzahligen Division stets mit dein Kehrwert des Divisors multiplizieren dürfen. Etwa

$\textstyle 100:25=100\cdot {\frac {1}{25}}={\frac {100}{25}}=4$

Dieser Algorithmus findet weitestgehende Anwendung im praktischen Rechnen und bei der Konstruktion und Handhabung mechanischer Rechenmaschinen.

Wir hätten nun, nicht zum Zweck vollkommener Ausbildung im Rechnen, sondern zum Zweck prinzipieller Durchleuchtung auch soviel von den gewöhnlichen oder gemeinen Brüchen durchgenommen, daß wir uns den schon längst angekündigten „Gleichungen“ zuwenden können.

índice

Lección 074c ← Lección 075c → Lección 076c