Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 080c

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Mathematik von A bis Z (Teil 17)

17

Siebzehntes Kapitel

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Systembrüche

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Wir wenden uns also der näherliegenden Aufgabe zu, endlich die sogenannten Systembrüche zu untersuchen, deren Spezialfall die Dezimalbrüche sind. Aus unseren Untersuchungen über Ziffernsysteme können wir entnehmen, was der Ausdruck „Systembruch“ bedeuten soll. Es gibt in jedem Stellenwcrlsystem etwas, das den „Dezimalbrüchen“ entspricht. Im Sechsersystem folgen nach dem „Dezimalpunkt“ (der dort der „Seximalpunkt“ heißen müßte) die Sechstel, die Sechsunddreißigstel, die Zweihundertsechzehntel usw. Im dyadischen System nach dem „Binalpunkt“ die Halben, Viertel, Achtel, Sechzehnte! usw., im Dreizehnersystem nach dem „Tredezimalpunkt“ die Dreizehntel, Hundertneunundsechzigstel, Zweitausendeinhundertsiebenundneunzigstel usw. — und im Dezimalsystem die Zehntel, Hundertel, Tausendtel usw. Allgemein sieht also eine Stellenwertzahl mit Systembruchstellen folgendermaßen aus, wenn die Grundzahl g heißt und die Potenzanzeiger dekadisch geschrieben sind: Etwa eine fünfstellige Zahl mit vier Bruchstellen:

$\textstyle mg^{4}+ng^{3}+og^{2}+pg^{1}+qg^{0}+$$\textstyle r{\frac {1}{g^{1}}}+$$\textstyle s{\frac {1}{g^{2}}}+$$\textstyle t{\frac {1}{g^{3}}}+$$\textstyle u{\frac {1}{g^{4}}}$

oder einfacher mit Verwendung von Minuspotenzen:

$mg^{4}+ng^{3}+og^{2}+pg^{1}+qg^{0}+$$rg^{-1}+$$sg^{-2}+$$tg^{-3}+$$ug^{-4}$.

Der „Dezimalpunkt“ wäre zwischen $qg^{0}+$ und $rg^{-1}+$ zu denken. Wir wollen aber hier nicht alle möglichen Systeme durchrechnen und uns vornehmlich mit der Dekadik begnügen. Eine dekadische Zahl mit Dezimalbruchstellen,

etwa 50.341,7328, hat die Form:

$5\cdot 10^{4}+0\cdot 10^{3}+3\cdot 10^{2}+$$4\cdot 10^{1}+$$1\cdot 10^{0}+$$7\cdot 10^{-1}+$$3\cdot 10^{-2}+$$2\cdot 10^{-3}+$$8\cdot 10^{-4}$,

was ihren Aufbau vollkommen durchsichtig macht.

Also noch einmal: Unter einem Systembruch, der allgemein mit dem kleinen griechischen Buchstaben $\sigma$ (Sigma) geschrieben wird, verstehen wir die Darstellung einer gebrochenen Zahl in einem Stellenwertsystem. Bevor wir aber die einzelnen möglichen Typen solcher Systembrüche feststellen, wollen wir ein neues Symbol kennenlernen, das es gestattet, die Schreibung systematischer Reihen ganz wesentlich zu vereinfachen. Es ist der sogenannte Summenoperator, das Summenzeichen, das Zeichen „Summe von ...“. Und wird durch den großen griechischen Buchstaben $\Sigma$ (Sigma) ausgedrückt. Iliezu müssen wir weiters den „Bereich“ der Summierung abstecken. Ein solcher „Bereich“ hat nur dann einen Sinn, wenn es sich um lauter im wesentlichen strukturgleiche Ausdrücke handelt, die zu summieren sind und die sich lediglich durch irgendwelche Anzeiger (Indizes) unterscheiden. Wir beginnen zu ahnen, daß z. B. eine als Reihe geschriebene dekadische oder eine Systemzahl eines anderen Stellenwertsystems diesen Bedingungen entspricht. Denn jeder Summand einer Stellenwertzahl setzt sich aus dem Koeffizienten und aus der Grundzahl zusammen, von denen ersterer durch einen Platzindex, letzterer durch einen Potenzanzeiger kenntlich gemacht ist, wobei noch Platzindex und Potenzanzeiger untereinander gesetzmäßig zusammenhängen. Die Stellenwertzahl

$a_{1}g^{0}+a_{2}g^{1}+a_{3}g^{2}+a_{4}g^{3}+$$a_{5}g^{4}+$$a_{6}g^{5}+$$a_{7}g^{6}+$$a_{8}g^{7}$

besteht in jedem Summanden aus a und g. Sie ist also die Summe aller a mal g. Aber welcher $a\cdot g$? Nun, der mit 1 bis 8 indizierten a mal der mit 0 bis 7 potenzierten g, wobei in jedem Summanden (dies der Zusammenhang) der Index um 1 größer ist als der Potenzanzeiger oder der Potenzanzeiger um 1 kleiner ist als der Index. Die Zahl ist also die Summe aller Ausdrücke der Form $a_{\nu }g^{\nu -1}$ oder $a_{\varrho +1}g^{\varrho }$. Die Zeichen $\nu$ (Ni) und $\varrho$ (Rho) sind kleine griechische Buchstaben. Damit bin ich aber noch nicht fertig. Denn ich weiß noch nicht den Bereich, innerhalb dessen die Summe zu bilden ist. Wie werde ich mir da helfen? Nun, sehr einfach! Da der Index als kleinsten Wert 1 und als größten Wert 8 aufweist, so ist die sogenannte untere Grenze des „Laufens“ eben 1 und die obere Grenze dieses „IndexLaufens“ 8. Grenzen sind stets als einschließlich, als inklusive aufzufassen. Der Potenzanzeiger dagegen hat die untere Grenze 0 und die obere Grenze 7. Er „läuft“ von 0 bis 7. Wir machen hier — und es ist eine der wichtigsten und grundlegendsten Bemerkungen des ganzen Buches — darauf aufmerksam, daß man dieses „Laufen“ das unstetige, das diskontinuierliche oder das diskrete Laufen nennt. Es ist eigentlich ein ganzzahliges Springen von einem Index zum anderen, von einem Potenzanzeiger zum anderen. Und wir verraten zur Aufmunterung, daß das gefürchtete Integral im Wesen nichts anderes ist als solch eine Reihensumme, bei der das „Laufen“ nicht sprunghaft, sondern stetig fließend erfolgt. Wenn wir uns also den Summenbefehl $\Sigma$ genau einprägen, haben wir für den Integralbegriff ungeheuer viel gewonnen. Denn der Summenoperator ist ja nichts als der unstetige, vergröberte, gleichsam mit freiem Auge durchschaubare Integrationsoperator. Und — dies sei schon hier verraten — der große Leibniz hat auf jenen weltwichtigen Zettel vom 29. Oktober 1675 hingeschrieben, daß das neue (Integral-) Zeichen $\textstyle \int$ nichts anderes bedeute als „Summe von ...“. Dieses Zeichen ist auch nichts anderes als ein in die Länge gezogenes großes lateinisches S.

Da aber mein Widersacher mit den Fäusten auf den Tisch trommelt und sich die Haare rauft, kehre ich erschrocken zum Summenzeichen zurück. Denn er behauptet, nachdem er sich gefaßt hat, mit Recht, daß wir noch nicht einmal wissen, was ein Dezimalbruch ist.

Wir stellen also fest, daß sowohl der Index als der Potenzanzeiger der aus a mal g gebildeten Gruppen jeweils von einer unteren bis zu einer oberen Grenze „läuft“. Das heißt, er nimmt nacheinander, ganzzahlig springend, jedoch nicht überspringend, alle Werte an, die durch die ganzen Zahlen von der unteren bis zur oberen Grenze gegeben sind.

Ich denke, wir sind soweit, unseren Summenoperator anschreiben zu können. Er lautet:

$\sum _{\varrho =0}^{7}a_{\varrho +1}g^{\rho }$ oder $\sum _{\nu =0}^{7}a_{\nu }g^{\nu -1}$.

Logisch und plausibel schreibt man die untere Grenze unter den Summierungsbefehl, die obere Grenze über den Befehl. Innen in der Mitte kann, aber muß man nicht schreiben, welche Größe die „laufende“ ist. Dann folgt das Struktur- oder Gestaltbild des Summanden, allgemein indiziert und mit allgemeinem Potenzanzeiger versehen. Natürlich dürften auch zwei, drei, vier, fünf allgemeine Zahlen und noch mehr neben dem Summierungszeichen stehen und sie könnten alle nur indiziert oder nur mit Potenzanzeigern oder beides in beliebiger Mischung versehen sein.

(Von anderen Möglichkeiten wird hier absichtlich nicht gesprochen.)

Auch könnte ein und dieselbe Zahl sowohl Index als Potenzanzeiger besitzen. Das hieße dann, daß sich die betreffende allgemeine Zahl ändert, doch aber ihre Potenzanzeiger nach einem Gesetz steigen oder fallen. Um jedoch nicht zu abstrakt zu werden, wollen wir jetzt, wohl wissend, daß der Summenoperator anfänglich große Schwierigkeiten macht, gemeinsam einige Beispiele mehr oder weniger verwickelter Art durchrechnen. Und dazu noch bemerken, daß der Summierungsbefehl eine geradezu unabsehbare Vereinfachung beim Rechnen bedeutet, da er es gestattet, sonst kaum anschreibbare Ausdrücke spielend auf den Raum eines Ausdruckes zusammenzufassen.

Wir hätten etwa

$\sum _{\nu =2}^{9}a^{\nu }b_{\nu +1}{c_{\nu }}^{\nu +2}$ gegeben.

Wie sieht die „entwickelte“ Summe aus? Nun, ganz einfach:

$a^{2}b_{3}{c_{2}}^{4}+a^{3}b_{4}{c_{3}}^{5}+a^{4}b_{5}{c_{4}}^{6}+$$a^{5}b_{6}{c_{5}}^{7}+$$a^{6}b_{7}{c_{6}}^{8}+$$a^{7}b_{8}{c_{7}}^{9}+$$a^{8}b_{9}{c_{8}}^{10}+$$a^{9}b_{10}{c_{9}}^{11}$

Man muß naturgemäß bei der „Entwicklung“ sehr aufpassen. Aber notwendige Aufmerksamkeit und Schwierigkeit sind in der Mathematik und auch sonst im Leben durchaus nicht ein und dasselbe.

Nehmen wir jetzt einen praktischen Fall. Wie etwa schreiben wir einen vierstelligen Systembruch des Zehnersystems?

Natürlich so:

$0\cdot g^{0}+\sum _{\nu =1}^{4}a_{\nu }\cdot {\frac {1}{g^{\nu }}}$ oder

$0\cdot g^{0}+\sum _{\nu =1}^{4}a_{\nu }g^{-\nu }$.

Die Entwicklung ergibt in der ersten Form:

$\textstyle 0\cdot g^{0}+a_{1}\cdot {\frac {1}{g^{1}}}+a_{2}\cdot {\frac {1}{g^{2}}}+$$\textstyle a_{3}\cdot {\frac {1}{g^{3}}}+$$\textstyle a_{4}\cdot {\frac {1}{g^{4}}}$

in der zweiten Form

$0\cdot g^{0}+a_{1}g^{-1}+a_{2}g^{-2}+$$a_{3}g^{-3}+$$a_{4}g^{-4}$, was offensichtlich das gleiche bedeutet. Nämlich 0 Einer, $a_{1}$ Zehntel, $a_{2}$ Hundertstel, $a_{3}$ Tausendstel, $a_{4}$ Zehntausendstel.

Nun darf ich natürlich die „Laufgrenzen“ auch anders bestimmen. Wollte ich etwa einen n-stelligen Dezimalbruch schreiben, wobei n eine unbestimmte aber endliche Zahl bedeutet, dann müßte ich ansetzen:

$0\cdot g^{0}+\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu }g^{-\nu }=$

$0\cdot g^{0}+a_{1}g^{-1}+a_{2}g^{-2}+$$\dots +$$a_{n}g^{-n}$.

Ich kann aber die Grenzen noch kühner bestimmen. Etwa für einen unendlichen Dezimalbruch, also für einen Bruch, der stets wieder neue Dezimalstellen bringt:

$0\cdot g^{0}+\sum _{\nu =1}^{\infty }a_{\nu }g^{-\nu }=$

$0\cdot g^{0}+a_{1}g^{-1}+$$a_{2}g^{-2}+$$a_{3}g^{-3}+$$\dots +$$a_{\infty }g^{-\infty }$.

Endlich wollen wir versuchen, die allgemeinste Form einer Stellenwertzahl irgendwie mit unserem neuen „Befehl“ auszudrücken. Wir bemerken dazu, daß es wie bei fast allen derartigen Ansätzen möglich ist, den Ausdruck in verschiedener Art zu finden. Wir wollen irgendeine leichtfaßliche Form wählen:

Stellenwertzahl = $\sum _{+m}^{\infty }a_{\nu }g^{\nu }$ wobei ($+m$) beliebig groß ist. Entwickelt liefert der „Befehl“ die Reihe:

$a_{m}g^{m}+a_{m-1}g^{m-1}+\dots +a_{2}g^{2}+$$a_{1}g^{1}+$$a_{0}g^{0}+$$a_{-1}g^{-1}+$$a_{-2}g^{-2}+$$\dots +$$a_{-\infty }g^{-\infty }$.

Unser neuer Algorithmus, bei dem ich mit Rücksicht auf die Art, wie wir Zahlen anschreiben, die obere und untere Grenze scheinbar sinnwidrig angesetzt habe, liefert uns folgendes Ergebnis:

1. Index und Potenzanzeiger in jeder Gruppe a mal g sind gleich.

2. Beide laufen ganzzahlig von m um je eins fallend bis 0 und von da an als Minuszahlen dem Absolutwert nach steigend bis $-\infty$.

Wir wollen aber nicht zu tief dringen und nur noch ein ganz eigentümliches, aber sehr häufig verwendetes System zeigen, nach dem wir sogar „alternierende“ Reihen gewinnen können. Das sind Reihen, bei denen das Vorzeichen systematisch abwechselt. Versuchen wir etwa die berühmte Leibniz-Reihe

$\textstyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\dots$

für eine beliebige aber gerade Anzahl von Gliedern anzuschreiben. Und zwar als Summierungsbefehl. Wir verwirklichen unsere Absicht durch folgenden Ansatz:

Näherungswert für ${\frac {\pi }{4}}=\sum _{\nu =1}^{2n}{\frac {1}{2\nu -1}}(-1)^{\nu +1}$

und wollen nun erforschen, wie unsere algorithmische Maschine funktioniert:

1. Glied:

$\textstyle {\frac {1}{(2\cdot 1)-1}}(-1)^{1+1}={\frac {1}{1}}\cdot (-1)^{2}=+1$

2. Glied:

$\textstyle {\frac {1}{(2\cdot 2)-1}}(-1)^{2+1}={\frac {1}{3}}\cdot (-1)^{3}=-{\frac {1}{3}}$

3. Glied:

$\textstyle {\frac {1}{(2\cdot 3)-1}}(-1)^{3+1}={\frac {1}{5}}\cdot (-1)^{4}=+{\frac {1}{5}}$

4. Glied:

$\textstyle {\frac {1}{(2\cdot 4)-1}}(-1)^{4+1}={\frac {1}{7}}\cdot (-1)^{5}=-{\frac {1}{7}}$

usw.

2n-tes Glied:

$\textstyle {\frac {1}{(2\cdot 2n)-1}}(-1)^{2n+1}={\frac {1}{4n-1}}(-1)^{2n+1}=-{\frac {1}{4n-1}}$.

Wir erhalten unfehlbar genau die Leibniz-Reihe. Es muß nur noch bemerkt werden, daß 2n der Ausdruck für eine gerade Zahl ist. Denn man kann ein ganzzahliges n (und ein anderes kommt hier nicht in Betracht) wählen wie man will, so muß es, mit zwei multipliziert, eine gerade Zahl ergeben. Ist n=2, dann ist 2n=4. Ist n=27, dann ist 2n=54 usw. Deshalb ist 2n+l, das sich beim 2n-ten Glied als Potenzanzeiger ergibt, eine ungerade Zahl. Auch dies paßt vortrefflich in unserem Algorithmus, da ja alle „geraden“ Glieder ungerade Anzeiger haben, etwa das 4. Glied den Anzeiger 5. Unser Zauberzeichen hat also klaglos funktioniert, und wir haben dabei noch die Genugtuung erlebt, zu beobachten, wie man die scheinbar durch ein Zeichen unausdrückbare Bedingung des regelmäßigen Vorzeichenwechsels einfach dadurch in den Algorithmus eingliederte, daß man eine Eigenschaft der Potenzen benützte. Die Potenzen negativer Zahlen ergeben ja bei geraden Anzeigern stets Plus- und bei ungeraden Anzeigern stets Minuswerte.

(Folgt aus den Regeln der „Befehlsverknüpfung“. Etwa ist (-a)³=(-a)•(-a)•(-a) und (-a)⁶=(-a)•(-a)•(-a)•(-a)•(-a)•(-a). Kommt aber das Minus in einer Multiplikation in gerader Zahl vor, so ergibt sich Plus für das Resultat, sonst Minus.)

Damit sich aber sonst nichts ändert und damit nur das Vorzeichen hin und her springt-, haben wir zudem noch (—1) als Basis gewählt. Wohl ein überaus raffinierter Trick!

So verlockend es nun wäre, diesen neuen Algorithmus, den wir noch einmal allerdringendsL zum genauen Studium empfehlen, weiter zu durchforschen, da das Gezeigte ja nur einen sehr kleinen Ausschnilt aller Möglichkeiten gibt, wollen wir jetzt endlich zu unseren Systembrüchen übergehen. Und zwar an der Hand von Beispielen. Vorausgesetzt wird, daß wir nur sogenannte „reduzierte“ Brüche behandeln, das sind Brüche, deren absoluler Wert kleiner ist als eins und deren Zähler und Nenner teilerfremd sind, also kein gemeinsames Maß besitzen. Nun häufen sich leider plötzlich die neuen Begriffe. Wir haben von „absolutem“ Werte gesprochen und müssen diese Bezeichnung schnell noch erklären: Es ist offensichtlich, daß „kleiner als eins“ zweierlei bedeuten kann. Nämlich zuerst das, was man gewöhnlich darunter versteht. Also etwa: $\textstyle {\frac {1}{2}}$ ist kleiner als eins. $\textstyle {\frac {4}{7}}$ sind kleiner als eins. Überhaupt ist jeder echte Bruch kleiner als eins, weil ich eben einen Bruch, der kleiner als 1 ist, einen echten genannt habe. Nun gibt es aber noch eine zweite BcdcuLung von „kleiner als 1“, die durch Einführung der negativen Zahlen entsteht. Die 0 ist sicher kleiner als 1. Noch kleiner als die 0 ist aber (—1), (—2), (—3) usw. und überhaupt jede negative Zahl.

Wer Schulden hat, dessen Besitz ist sicher kleiner als der Besitz eines Mannes, der eine Zechine sein eigen nennt. Ich kann also eben wegen dieser zweiten Bedeutung des „kleiner als ...“ nicht behaupten, daß nur echle Brüche kleiner sind als eins. Deshalb betrachte ich bei jeder Zahl drei Möglichkeiten ihrer Größe: Ihren Wert positiv genommen, ihren Wert negativ genommen und schließlich ihren absoluten, vorzeichenfremden Wert, ihre Zahlenbedeutung an sich. Ich schreibe dann die Zahl zwischen senkrechten Strichen und erkläre: |5| ist auf jeden Fall größer als |3|, obwohl natürlich (—5) bestimmt kleiner ist als (+3), ja sogar als (—3). Die „absolute“ Zahl ist also stets kleiner als |1|, ebenso ist jeder andere, absolut betrachtete echte Bruch kleiner als die absolut betrachtete Eins.

Nach diesem Zwischenspiel können wir endlich an unsere Arbeit gehen. Wir versuchen zuerst, festzustellen, welchen Wert etwa der Bruch $\textstyle {\frac {3}{40}}$ besitzt. Wir finden durch Division den Wert 0,075, haben also einen sogenannten endlichen Dezimalbruch vor uns. Ebenso bei $\textstyle {\frac {4}{125}}$, der als Systembruch dezimal geschrieben 0,032 als Ergebnis liefern würde. Daß $\textstyle {\frac {1}{2}}=0,5$ und $\textstyle {\frac {1}{5}}=0,2$ ergibt, weiß jedes Kind. Wenn wir nun, der allgemeinen Schreibweise folgend, den Bruchzähler eines „reduzierten“ echten Bruches mit p, den Nenner mit q bezeichnen, dann gilt die Regel, daß jeder solche gemeine Bruch einen endlichen Systembruch liefert, wenn der Nenner q des Bruches lediglich aus den zwei Primfaktoren 2 und 5 der Grundzahl 10 unseres Dezimalsystems zusammengesetzt ist.

$40=2\cdot 2\cdot 2\cdot 5=2^{3}\cdot 5^{1}$,

$125=5\cdot 5\cdot 5=5^{3}\cdot 2^{0}$,

(Die Nullpolenz 2⁰ des fehlenden Faktors wird zur Erhaltung der allgemeinen Regel angeschrieben!)

$2=2^{1}\cdot 5^{0}$ und

$5=5^{1}\cdot 2^{0}$

Überall in unseren Beispielen trifft also die Regel zu. Daher kann man allgemein behaupten, daß ich nur dann Hoffnung bzw. Sicherheit des „Aufgehens“ einer Division habe, wenn nach durchgeführter Kürzung aller im Dividenden und Divisor enthaltenen gemeinsamen Teiler, der Divisor lediglich aus Potenzen von 2 und 5 zusammengesetzt bleibt, wobei 2 oder 5 auch in der 0-ten Potenz, das heißt überhaupt nicht auftreten können. Wenn ich also etwa $2^{27}\cdot 5^{13}$ oder allgemein $2^{n}\cdot 5^{m}$ als Zahl bilde, dann muß jede andere rationale Zahl der Welt, durch dieses $2^{n}\cdot 5^{m}$ dividiert, irgendeinmal einen abgeschlossenen Quotienten in ganzen oder Systembruchzahlen liefern. Es liefert also jeder Bruch der Form $\textstyle {\frac {p}{2^{n}5^{m}}}$ einen endlichen, unperiodischen Systembruch. Ganz allgemein für jedes System erhalte ich solch einen endlichen Systembruch, wenn ich den Zähler p durch einen, lediglich aus Primzahlpotenzen der Grundzahl g zusammengesetzten Nenner dividiere. Im dyadischen System ist also jede Zahl durch einen Nenner, der aus Potenzen von 2 besteht, endlich dividierbar. Im Sechsersystem muß der Divisor sich zu diesem Zweck aus Potenzen von 2 und 3, im Zwölfersystem ebenfalls aus Potenzen von 2 und 3, im Dreißigersystem aus Potenzen von 2, 3 und 5 zusammensetzen. Und so fort.

Wiederholt: Gewisse, eben näher erläuterte Formen von gemeinen Brüchen liefern endliche n Systembrüche. Geschrieben

$\sigma _{n}=0\cdot g^{0}+\sum _{\nu =1}^{n}a_{\nu }g^{-\nu }$, wobei die obere Grenze n verschieden von unendlich sein muß.

Wenn nun unser Bruch $\textstyle {\frac {p}{q}}$ im Nenner eine Zahl q stehen hätte, die nur Potenzen von Primfaktoren enthält, durch die die Grundzahl nicht teilbar ist (also im Zehnersystem etwa 3 oder 7 oder 3 und 7), dann ergibt sich als Resultat der Division ein sogenannter reinperiodischer Systembruch. Es wiederholt sich eine Ziffer oder eine Zifferngruppe bis ins Unendliche,

$\textstyle {\frac {1}{7}}$ etwa $=0{,}{\overline {142857}}\;{\overline {142857}}\;{\overline {142857}}\dots$,

$\textstyle {\frac {3}{7}}=$$0{,}{\overline {428571}}\;{\overline {428571}}\dots$,

$\textstyle {\frac {5}{21}}=$$=0{,}{\overline {238095}}\;{\overline {238095}}\dots$,

$\textstyle {\frac {4}{11}}=$$=0{,}{\overline {36}}\;{\overline {36}}\;{\overline {36}}\dots$,

$\textstyle {\frac {2}{3}}=$$=0{,}{\overline {6}}\;{\overline {6}}\;{\overline {6}}\dots$ usw.

Die Schreibweise ist gewöhnlich so, daß man über die periodische Einzelziffer oder über die beiden Begrenzungsziffern der periodischen Zifferngruppen Punkte setzt. Im letzteren Fall oft auch einen waagrechten Strich. Also etwa

$7{,}{\dot {3}}$ heißt 7,3333333 usw.,

$0{,}{\dot {5}}43218{\dot {9}}$ oder $=0{,}{\overline {5432189}}$ heißt $=0{,}{\overline {5432189}}\;{\overline {5432189}}$ usw.

Nun gäbe es noch als letzten Fall die Möglichkeit, daß der Bruchnenner (Divisor) zwar Primzahlpotenzen enthält, durch die die Grundzahl des Systems teilbar ist; aber dazu noch andere Primzahlpotenzen von Primzahlen, die mit der Systemgrundzahl teilerfremd sind. Im Zehnersystem etwa 2 und 3, wie bei der Zahl 6. $\textstyle {\frac {5}{6}}$ etwa ergibt als Systembruch 0,83333... , also einen Bruchtypus, den wir noch nicht angetroffen haben. Er heißt „gemischtperiodischer“ Bruch. Zuerst kommt die 8 und dann erst die periodische 3. Hier ist die Mischung äußerst einfach. Es kann aber auch vorkommen, daß sowohl die Gruppe vor der Periode, als die Periode selbst aus mehreren Ziffern besteht.

Bei $\textstyle {\frac {5}{22}}=0{,}2{\overline {27}}\;{\overline {27}}\;{\overline {27}}$ ist die vorperiodische Gruppe einstellig, die Periode zweistellig.

Bei $\textstyle {\frac {3}{26}}=0{,}01{\overline {153846}}\;{\overline {153846}}$ ist die vorperiodische Gruppe einstellig, die periodische sechsstellig.

Bei $0{,}26{\overline {387}}$ endlich (was als gemeiner Bruch $\textstyle {\frac {2929}{11.100}}$ ergäbe) ist die vorpcriodische Gruppe zweistellig, also ebenfalls mehrstellig.

Eine weitere Art der Zusammensetzung des Divisors oder Nenners gibt es aber nicht. Wir sind also, ohne uns in die schwierige Lehre von den Systembrüchen weiter vertiefen zu können, gleichwohl berechtigt, festzustellen, daß die Verwandlung von gemeinen Brüchen in Systembrüche (dadurch auch die Division zweier Zahlen) niemals etwas anderes liefern kann als einen endlichen Systembruch, einen reinperiodischen Systeinbrueh oder einen gemischtperiodischen Systembruch.

Eine irrationale Zahl, das heißt ein Systembruch, der ohne Regel und ohne oder mit einem anderen als dem bisher geschilderten Bildungsgesetz der reinperiodischen oder gemischtpcriodischen Brüche ins Unendliche läuft, ist als Ergebnis einer Division undenkbar. Er kann nur aus Wurzeloperalionen (Operationen mit gebrochenen Potenzexponenten) oder aus unendlichen Summierungen von gewissen fallenden Potenzreihen mit negativem Potenzanzeiger oder aus anderen Reihen von fallenden Brüchen (etwa mit steigenden Fakultäten im Nenner) hervorgehen.

Wir sind also sicher, in jedem Bruch und in jeder Division rationaler Zahlen als Resultat einer Ausrechnung eine rationale Zahl zu erhalten. $\textstyle {\frac {p}{q}}=r$ (rationale Zahl), wie immer p und q aussehen mögen, ob sie nun ganze, gebrochene, positive und negative Zahlen sind. Nur irrational dürfen weder q noch p sein.

Wenn dem aber so ist, dann muß es auch möglich sein, jeden endlichen, jeden reinperiodisch-unendlichen und jeden gemischtpcriodisch-unendlichen Systembruch in eine rationale Zahl, einen gemeinen Bruch der reduzierten Form $\textstyle {\frac {p}{q}}$ zurückzuverwandeln. Einen unendlichen Systembruch mit einem nichtperiodischen Bildungsgesetz oder einen unendlichen Systembruch ohne jedes Bildungsgesetz dagegen werden wir niemals rückverwandeln können, da es sich dabei ja um irrationale Zahlen handelt, und es sich im gegenteiligen Falle ergeben würde, daß eine irrationale Zahl in eine rationale verwandelbar ist.

Zugleich aber wird diese „Rückverwandlung“ eine taugliche Probe auf unsere bisherigen Behauptungen sein. Nur können wir es uns vorläufig noch gar nicht recht vorstellen, wie es möglich sein soll, unendliche, wenn auch periodische Brüche rechnerisch anzupacken. Wir wissen zwar, daß $\textstyle {\frac {1}{3}}$ gleich ist 0,333333... (periodisch ins Unendliche), wenn wir aber nur 0,333333333... vor uns hätten, wüßten wir nicht, wie wir daraus einen gemeinen Bruch machen sollen. Wenigstens nicht ohne scharfe und tiefe Überlegungen.

Am einfachsten ist es wohl, einen endlichen Dezimalbruch zurückzuverwandeln. Etwa 0,225. Ich brauche ihn bloß auszusprechen, als gemeinen Bruch zu schreiben und erhalte das Resultat. Also $\textstyle 0,225={\frac {225}{1000}}$, das aber ist, durch 25 gekürzt, nichts anderes als die „reduzierte Form $\textstyle {\frac {9}{40}}$“, die sich nicht weiter reduzieren läßt. Will ich unsere Regel dagegen streng wissenschaftlich schreiben, dann setze ich an:

$\sigma _{m}={\frac {\sum _{\mu =1}^{m}c_{\mu }g^{m-\mu }}{g^{m}}}$

Dabei ist das $\mu$ (das kleine griechische „mi“) die „laufende Zahl“, c ist der jeweilige Koeffizient (bei uns also 2, 2, 5) und g ist die Grundzahl des Systems (bei uns 10). Das m bedeutet die Stellenzahl des endlichen Dezimalbruches (bei uns 3). Wir hätten also einzusetzen

$\textstyle \sigma _{m}={\frac {2\cdot 10^{3-1}+2\cdot 10^{3-2}+5\cdot 10^{3-3}}{10^{3}}}=$$\textstyle {\frac {2\cdot 100+2\cdot 10+5\cdot 1}{1000}}=$$\textstyle {\frac {225}{1000}}$,

:also dasselbe, was wir, gleichsam dem Naturverstand folgend, erhielten. Unsere Formel hat aber den ungeheuren Vorteil, daß sie allgemein für jedes Stellenwertsystem gilt und dadurch das genaue Gestallbild der Angelegenheit entschleiert. 

Für die Rückverwandlung reinperiodischer Brüche in reduzierte gemeine Brüche benützen wir die Formel ::(Die Ableitung der Rückverwandlungsformeln ist für unsere Zwecke zu langwierig.)

$\sigma _{r}={\frac {\sum _{\varrho =1}^{r}c_{\varrho }g^{r-\varrho }}{g^{r}-1}}$

was nichts anderes bedeutet, als daß man die Stellen der Bruchperiode im Zähler als ganze Zahl anschreiben muß, während im Nenner soviel Neuner zu setzen sind, als im Zähler Ziffern stehen. Diese Erläuterung ist selbstverständlich nur für das Dezimalsystem gedacht.

Wenn ich also etwa $0{,}{\overline {3}}$ zurückzuverwandeln hätte, schreibe ich einfach $\textstyle {\frac {3}{9}}$ und erhalte sofort $\textstyle {\frac {1}{3}}$. Ebenso bei $0{,}{\overline {6}}$, was $\textstyle {\frac {6}{9}}$ also $\textstyle {\frac {2}{3}}$ ergibt. Der reinperiodische Bruch 0,076923 müßte $\textstyle {\frac {76923}{999999}}$ angeschrieben werden, was nach Kürzung $\textstyle {\frac {1}{13}}$ liefert. Allerdings müssen wir mit unserer „Zimmermannsregel“ etwas vorsichtig sein, wenn wir nicht durch die strenge Formel kontrollieren.

Beginnt nämlich die Periode mit einer Null oder mit mehreren Nullen, dann sind die Nullen zwar im Zähler nicht zu schreiben, da wir ja ganze Zahlen nicht mit 0 beginnen lassen dürfen. Wohl aber sind diese „Nullkoeffizienten“ sorgfältig für die Zahl der Neuner zu beachten, die in den Nenner kommen. Wir haben, da die Periode einschließlich der Null sechsstellig ist, in den Nenner auch 6 Neuner gesetzt, obgleich der Zähler nach Weglassung der Null nur fünf Stellen behielt.

Die Rückverwandlung gemischtperiodischer Brüche ist eine Art von Zusammensetzung aus den beiden bisher besprochenen Verfahren. Wollte ich für das Zehnersystem wieder die „Zimmermannsregel“ geben, so müßte ich fordern: „Setze in den Zähler zuerst alle Stellen des Dezimalbruches (also sowohl die nicht periodischen als die Stellen der ersten Periode) als ganze Zahl. Von dieser Zahl subtrahiere die, ebenfalls als ganze Zahl geschriebenen, nicht- oder vorperiodischen Stellen. Und stelle hierauf soviel Neuner in den Nenner, als die Periode Stellen hat. An diese Neuner aber hänge noch soviel Nullen an, als die Stellenanzahl der vorperiodischen Ziffern beträgt!“

Hätte ich nach dieser Regel etwa $=0{,}2{\overline {27}}\;{\overline {27}}\;{\overline {27}}\dots$ zu behandeln, so müßte ich ansetzen:

$\textstyle \sigma (m,r)={\frac {227-2}{990}}={\frac {225}{990}}=$$\textstyle {\frac {45}{198}}=$$\textstyle {\frac {5}{22}}$.

Wie man sieht, erhält man durch all unsere Rückverwandlungsanleitungen in der Regel unreduzierte (ungekürzte) Brüche, die wir auf die endgültige Form $\textstyle {\frac {p}{q}}$ (wobei p und q teilerfremd) bringen müssen. Das ist aber eine harmlose Aufgabe, die eigentlich jeder Mittelschüler der untersten Klassen anstandslos muß bewältigen können.

Natürlich gibt es auch für diesen dritten und letzten Fall der „Rückverwandlung“ einen eleganten allgemeinen Befehl. Er lautet:

$\sigma (m,r)={\frac {\sum _{\nu =1}^{m+r}c_{\nu }g^{m+r-\nu }-\sum _{\mu =1}^{m}c_{\mu }g^{m-\mu }}{g^{m}(g^{r}-1)}}$

wobei m die Anzahl der vorperiodischen, r die Anzahl der periodischen Stellen, g die Grundzahl des Systems, c den jeweiligen indexmäßig zugeordneten Koeffizienten bedeutet. Das $\nu$ ist die „laufende“ Zahl des ersten, das $\mu$ die „laufende“ Zahl des zweiten Summationsbefehles, deren untere und obere Grenzen bei den Summationssymbolen stehen.

Wir beherrschen jetzt das ganze Reich der Systembrüche und sind imstande, willkürlich in jedem Ziffernsystem einen beliebigen Systembruch, der überhaupt rückverwandelbar ist, anzuschreiben und ihn in einen reduzierten gemeinen Bruch zu überführen.

Schreiben wir etwa dezimal 0,23471..., dann erhalten wir nach der letzten, nur scheinbar monströsen Formel:

$\sigma (2,3)={\frac {(2\cdot 10^{5-1}+3\cdot 10^{5-2}+4\cdot 10^{5-3}+7\cdot 10^{5-4}+}{\text{Fortsetzung in der naechsten Zeile}}}$

${\frac {1\cdot 10^{5-5})-(2\cdot 10^{2-1}+3\cdot 10^{2-2})}{10^{2}(10^{3}-1)}}=$

${\frac {23471-23}{100\cdot 999}}=$${\frac {23471-23}{99900}}{\text{**}}=$${\frac {23448}{99900}}=$${\frac {1954}{8325}}$.

( ** Siehe „Zimmermannsregel“!)

Wie man an diesem Beispiel sieht, kann ein verhältnismäßig einfach erscheinender gemischtperiodischer Bruch einem sehr komplizierten gemeinen Bruch entsprechen.

Nun blicken wir schon auf große Leistungen zurück. Denn uns ist jetzt das Gebiet der ganzen, der gebrochenen und der irrationalen Zahlen bekannt. All dies nicht nur dem absoluten Wert nach. Denn wir kennen auch positive und negative Zahlen. Und alle diese Zahlen wieder in sämtlichen möglichen Ziffernsystemen. Noch mehr: Wir haben uns mit allgemeinen Zahlen und da wieder mit konstanten und unbekannten allgemeinen Zahlen befaßt. Da wir außerdem auch den Algorithmus der Gleichung mit einer Unbekannten und den der sogenannten diophantischen Gleichung wenigstens dem Wesen nach erforscht haben, sind wir reif, uns der größten Aufgabe der Mathematik zuzuwenden, der Lehre von den Funktionen. Hier auch betreten wir nicht mehr verschleiert, sondern offen und freudig den eigentlichen Boden der höheren Mathematik und wieder leuchtet uns der Geist des großen Leibniz voran. Denn er war es eigentlich, der in den Neunzigerjahren des 17. Saeculums den Funktionsbegriff in seiner Tiefe und Allgemeinheit erfaßte und der diesem Algorithmus den Namen gab. Und wir pflichten Oswald Spengler bei, wenn er die Funktion als die faustische oder abendländische Zahl bezeichnet. Denn eben dieses „Faustische“ der höheren Mathematik ist es, was sie so bunt, so abenteuerreich, so aufregend — und dabei im tiefsten Grunde so leicht macht.

Wir kündigen es an dieser Stelle im vollsten Bewußtsein des Umstandes an, daß wir diese Behauptung werden durch die Tat beweisen müssen: Alles, was noch in diesem Buche folgt, ist leichter als das Bisherige! Wir werden von nun an viel sprechen, viel erklären, viel gemeinsam diskutieren. Wir werden aber nicht mehr mühselig rechnen und tüfteln, sondern in mathematischer Höhenluft uns an den kühnen Kunstgriffen, bizarren Parodoxien und überraschenden, schier unfaßbaren Lösungen erfreuen.

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