Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 094c

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Mathematik von A bis Z (Teil 31)

31

Einunddreißigstes Kapitel

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Technik der Differentialrechnung

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Da wir die Grundlagen unserer Kunst so gewissenhaft beleuchteten, ist es jetzt unser Recht, den Algorithmus der höheren Mathematik rein formal abzuleiten. Und wir stellen für die Differentialrechnung die sogenannte Leibnizsche Gleichung als Fundamentalsatz an die Spitze. Diese lautet:

Der Differentialquotient $\textstyle ={\frac {dy}{dx}}=y'=f'(x)={\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}$.

Im Wesen bringt uns diese Gleichung nichts anderes als eine andere Schreibweise für etwas, was wir schon rechnerisch erforschten. Wir bildeten ja seinerzeit den Differentialquotienten in der Art, daß wir von der, durch den Zuwachs $dx$ entstandenen neuen Funktion $(y+dy)=f(x+dx)$ die ursprüngliche Funktion $y=f(x)$ abzogen. Also

$y+dy=f(x+dx)$

$-y\quad =-f(x)$

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$\quad dy=f(x+dx)-f(x)$.

Wenn wir nun auf beiden Seiten der Gleichung durch $dx$ dividieren, erhalten wir tatsächlich

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}$

Nun darf $\textstyle {\frac {dy}{dx}}$ bekanntlich auch $f'(x)$ oder $y'$ geschrieben werden. Folglich besteht unsere erste Gleichung zu Recht.

Nun müssen wir aufrichtig sein und sagen, daß die „Leibniz-Gleichung“ erst eine Art von Schale ist, aus der wir für jeden Einzelfall den Kern herausklauben müssen. Und das ist nicht immer so leicht. Wenn man aber systematisch verfährt, kann man gleichsam Grundrechenregeln für die Differenzierung ableiten, die auch jede komplizierte Differentialrechnung der Behandlung zugänglich machen, als ob es sich etwa um eine Multiplikation oder Division handelte. Zuerst werden wir, da ja in den Funktionen stets Potenzen von x vorkommen, ein allgemeines Gesetz für die Differenzierung einer Potenz zu gewinnen trachten. Beginnen wir mit dem einfachsten Fall der ersten Potenz. Etwa:

$y=x+6$.

Dann ist $y+dy=(x+dx)+6$ und der Differentialquotient nach der Leibniz-Formel

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {(x+dx)+6-(x+6)}{dx}}=$$\textstyle {\frac {x+dx+6-x-6}{dx}}=$$\textstyle {\frac {dx}{dx}}=1$

Dabei soll schon bemerkt werden, daß alle additiven oder subtraktiven Konstanten (in unserem Falle +6) bei der Differentiierung einfach verschwinden. Den zwingenden Grund dafür werden wir später einsehen. Nun die zweite Potenz:

$y=x^{2}-7$.

Nach der Leibniz-Formel ist dann:

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {(x+dx)^{2}-7-(x^{2}-7)}{dx}}=$$\textstyle {\frac {x^{2}+2x\;dx+(dx)^{2}-7-x^{2}+7}{dx}}=$$\textstyle {\frac {2x\;dx+(dx)^{2}}{dx}}=1$.

Auch hier ist die Konstante (subtraktiv!) einfach verschwunden. Zurückgeblieben ist ein verwickelterer Ausdruck, in dem $(dx)^{2}$, also eine „Kleinheit zweiter Ordnung“ vorkommt. Diese werden wir aus schon oft erörterten Gründen einfach vernachlässigen und erhalten dann

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {2x\;dx}{dx}}=2x$

Wir könnten nun mühsam von Potenz zu Potenz im Wege der sogenannten „vollständigen Induktion“ hinaufkrabbeln. Als versierte Mathematiker verachten wir solche Umwege, da uns der binomische Lehrsatz in den Stand setzt, die Angelegenheit allgemein zu lösen. Wir hätten also $y=x^{n}+a$ zu differentiieren.

Da die Konstante ohnedies nach der Struktur der Leibniz-Formel verschwinden muß, lassen wir sie fort und betrachten nur mehr die Funktion

$y=x^{n}$.

Anwachsen des x um dx erzeugt die Funktion

$y+dy=(x+dx)^{n}$.

Und der Differentialquotient muß nach der Leibniz-Formel lauten:

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {(x+dx)^{n}}{dx}}$

Wenn wir nun das Binom $(x+dx)^{n}$ nach dem binomischen Lehrsatz entwickeln, erhalten wir:

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}dx+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(dx)^{2}+{\binom {n}{3}}x^{n-3}(dx)^{3}+\dots ]-x^{n}}{dx}}$

Wie man sieht, wird sich das $x^{n}$ stets fortheben, so daß bleibt:

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\binom {n}{1}}x^{n-1}dx+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(dx)^{2}+{\binom {n}{3}}x^{n-3}(dx)^{3}+\dots }{dx}}$

Nun sieht man aber weiters, daß auf jeden Fall in der Entwicklung des Binoms schon im dritten Glied (nach Fortfallen von $x^{n}$ im zweiten Glied) das $dx$ in einer höheren Potenz als in der ersten vorkommen muß. Das folgt aus der Struktur des binomischen Satzes. Nun ist $(dx)^{2}$ schon eine Kleinheit zweiter Ordnung. Multiplikation mit einer Kleinheit zweiter Ordnung gibt aber wieder Kleinheit zweiter Ordnung, falls mit endlichen Werten multipliziert wird. Noch mehr gilt dies von den weiteren Gliedern, die gar Kleinheiten dritter, vierter usw. Ordnung als Faktoren enthalten. Folglich ist für die Differenzierung nur das erste Glied zu verwenden, alle anderen sind als zu vernachlässigende Kleinheiten höherer Ordnung fortzulassen. Es bleibt also:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {{\binom {n}{1}}x^{n-1}\;dx}{dx}}={\binom {n}{1}}x^{n-1}=nx^{n-1}$

Hier haben wir also direkt die allgemeine Formel zur Differentiierung einer Potenz erhalten. Sie lautet

$f'(x^{n})=nx^{n-1}$.

Wie prächtig der Algorithmus stimmt, kann etwa an $y=x$, $y=x^{2}$ und an einer Konstanten nachgeprüft werden.

Für $y=x$ ergibt sich $y'=1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^{0}=1\cdot 1=1$,

für $y=x^{2}$ folgt $y'=2x^{2-1}=2x^{1}=2x$ und

für eine Konstante, die man als $y=ax^{0}$ schreiben darf, resultiert $y'=a\cdot 0\cdot x^{0-1}=a\cdot 0\cdot x^{-1}=0$. Sonach wäre etwa der Differentialquotient für $y=x^{16}$ gleich $\textstyle {\frac {dy}{dx}}=y'=16x^{16-1}=16x^{15}$. Man merkt, daß es eine Eigentümlichkeit der Differentialrechnung ist, die Potenz um eins zu erniedrigen. Der Vollständigkeit halber bemerken wir noch, daß unsere Formel nicht bloß für positive ganze, sondern ebenso für negative und gebrochene Exponenten gilt, so daß etwa der Differentialquotient für $\textstyle y=x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$ lautet:

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{2}}x^{{\frac {1}{2}}-1}={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

oder der für $y=x^{-3}$ die Form

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}=-3x^{-3-1}=-3x^{-4}=-{\frac {3}{x^{4}}}$ hat.

Daß hier, beim negativen Potenzanzeiger, sich die Potenz erhöht statt erniedrigt, ist nur eine scheinbare Ausnahme. Denn ein negativer Potenzanzeiger bedeutet einen Bruch und ein Bruch wird kleiner, wenn die Potenz steigt. Aus diesem „Verkleinern“ der vorgelegten Funktion durch Differentiation sowie aus dem Umstand, daß die Differentiation einen Quotienten als Grundlage nimmt, könnte man schließen, daß sie zu den lytischen, lösenden Operationen gehört. Das Integral dagegen ist eine Art von Summe und erhöht, wie wir sehen werden, den Exponenten der Funktion und damit den Funktionswert. Daher gehörte die Integralrechnung zu den aufbauenden, thetischcn Rechnungsarten. Wir wollen sie auch so behandeln. Ein Hauptgegengrund gegen solche Einreihung ist allerdings der Umstand, daß der Differentialquotient wie die Summe und das Produkt stets leicht und eindeutig zu bilden ist, während die Auswertung des Integrals strukturell mit Division und Wurzelziehen dadurch Verwandtschaft zeigt, daß sie eine gewisse Unsicherheit, Mehrdeutigkeit und die Notwendigkeit des Probierens mit sich führt.

Der aufmerksame Leser dürfte bemerkt haben, daß bei unseren bisherigen Differentialrechnungen die willkürliche Veränderliche x stets ohne Koeffizienten auftrat. Bei der zwangsläufigen Veränderlichen y ist das so gut wie selbstverständlich. Denn wir differentiieren erst, wenn wir die Funktion auf die explizite (ausgewickelte) Form $y=f(x)$ gebracht haben. Gar nicht selbstverständlich ist diese Koeffizientenlosigkeit bei den x-Potenzen. Im Gegenteil: Die x-Potenzen treten sogar in der Regel mit Koeffizienten auf. Da nun weiters die Koeffizienten nichts anderes sind als multiplikative Konstanten, muß sofort nachgeprüft werden, ob multiplikative konstante Größen ebenso verschwinden wie additive und subtraktive. Wir versuchen also die Funktion

$y=3x^{2}+19$

zu differentiieren. Nach der Leibniz-Formel ist

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {3(x+dx)^{2}+19-(3x^{2}+19)}{dx}}$, also

$\textstyle ={\frac {3[x^{2}+2x\;dx+(dx)^{2}]+19-3x^{2}-19}{dx}}$

$\textstyle ={\frac {3x^{2}+3\cdot 2x\;dx+3\cdot (dx)^{2}]+19-3x^{2}-19}{dx}}$

$\textstyle ={\frac {3\cdot x^{2}\;dx+3(dx)^{2}}{dx}}$

und nach Vernachlässigung der Kleinheit zweiter Ordnung $3(dx)^{2}$ ist

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {3\cdot 2x\;dx}{dx}}=3\cdot 2x=6x$

Wir sehen daraus, daß multiplikative Konstante als Koeffizienten beim Differentialquotienten stehen bleiben. Wir hätten nämlich dasselbe Resultat erhalten, wenn wir die Funktion $y=3(x^{2})+19$ getrennt differentiiert hätten, und zwar in der Weise, daß wir zuerst den Differentialquotienten von $x^{2}$ gesucht und dann mit 3 multipliziert hätten. Der Differentialquotient von $x^{2}$ ist $2x$ und dies mal 3 ist $3\cdot 2x=6x$. Die additive Konstante 19 verschwindet auf jeden Fall.

Nun untersuchen wir bloß noch die Möglichkeit, daß in einer Funktion mehrere Potenzen von x vorkommen. Wenn wir dies erfolgreich geleistet haben, sind wir schon imstande, alle sogenannten ganzen rationalen Funktionen und außerdem alle Funktionen mit gebrochenem und negativem Potenzanzeiger zu differentiieren, sofern sie die Form

$y=ax^{n}\pm bx^{n-1}\pm cx{n-2}\pm \dots$ usw.

aufweisen. Wie gesagt, darf das n dabei auch ein Bruch oder eine negative Zahl sein. Wir versuchen also, die Funktion

$y=4x^{3}-7x^{2}+9x-26$

in gewohnter Weise zu behandeln.

a)

$\textstyle {\frac {dy}{dx}}=$

b)

$\textstyle {\frac {4(x+dx)^{3}-7(x+dx)^{2}+9(x+dx)-26}{\text{Fortsetzung naechste Zeile}}}$

$\textstyle {\frac {-(4x^{3}-7x^{2}+9x-26)}{dx}}=$

c)

$\textstyle {\frac {4[x^{3}+3x^{2}\;dx+3x(dx)^{3}]-7[x^{2}+2x\;dx+(dx)^{2}]}{\text{Fortsetzung naechste Zeile}}}$

$\textstyle {\frac {+9(x+dx)-26-(4x^{3}-7x^{2}+9x-26)}{dx}}=$

d)

$\textstyle {\frac {4x^{3}+4\cdot 3x^{2}\;dx+4\cdot 3x(dx)^{2}+4(dx)^{3}-7x^{2}-7\cdot 2x\;dx}{\text{Fortsetzung naechste Zeile}}}$

$\textstyle {\frac {-7(dx)^{2}+9x+9dx-26-4x^{3}+7x^{2}-9x+26}{dx}}=$

und nach Weglassung aller Kleinheiten höherer Ordnung bzw. Addition und Subtraktion:

$\textstyle ={\frac {4\cdot 3x^{2}\;dx-7\cdot 2x\;dx+9dx}{dx}}$$=12x^{2}-14x+9$.

Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn wir gliedweise differentiiert hätten. Denn der Differentialquotient von $4x^{3}$ ist $4\cdot 3x^{2}=12x^{2}$, der von $-7x^{2}$ ist gleich $-7\cdot 2x=-14x$ und der von $9x$ ist $9\cdot 1\cdot x^{0}=9$. Die Konstante (-26) fällt natürlich weg. Also wissen wir jetzt, daß der Differentialquotient einer Summe gleich ist der Summe der Differentialquotienten der einzelnen Summanden.

(„Summe“ ist hier stets als „arithmetische Summe“ aufgefaßt, schließt also die Subtraktion in sich, die man als Addition von Gliedern mit negativen Koeffizienten auffassen kann.)

Zur Warnung sei nachdrücklichst angemerkt, daß man bei Differentiation eines Produktes oder eines Quotienten, etwa $y=(x^{2}+3x+1)(5x-16)$ oder $\textstyle {\frac {2x^{2}-7}{3x+9}}$ durchaus nicht analog verfahren darf. In diesen Fällen gelten eigene Formeln, die jedoch über unseren Rahmen hinausgehen. Wir dürfen aber, wo es möglich ist, stets versuchen, vor der Differentiierung auszumultiplizieren oder auszudividieren, da wir dadurch eine unseren Kenntnissen zugängliche ganze Funktion erhalten können.

Nun, da wir eigentlich rechnerisch alles erledigt haben, was wir von der Differentialrechnung wissen müssen, ist es Zeit, die geometrische Deutung des Differentialquotienten zu geben, aus der ein großes Anwendungsgebiet unseres Algorithmus, nämlich die Bestimmung der Maxima und Minima, der Höchst- und Mindestwerte, oder, wie man auch sagt, der Extremwerte sich ergibt. Wir wissen, daß der Differentialquotient nichts anderes ist als das Verhältnis des infinitesimalen (besser: des beliebig kleinen) Ordinatenzuwachses zum beliebig kleinen Abszissenzuwachs. Anders ausgedrückt: Wie verhält sich der Ordinatenzuwachs zum Abszissenzuwachs, wenn irgendein x um einen beliebig kleinen Betrag wächst? (s. Fig. 55)

Da das bekanntlich nichts anderes ist als ein Stück der Tangente, so kann ich dieses Stück verlängern, bis es die x-Achse schneidet.

Fig. 55

Der Winkel, unter dem die Tangente aber die Abszissenachse schneidet, ist gleich mit dem Winkel zwischen ds und dx, da der eine Schenkel (ds und dessen Verlängerung) identisch sind, während der andere Schenkel dx voraussetzungsgemäß mit der x-Achse parallel ist. Wenn ich nun weiter den Differentialquotienten $\textstyle {\frac {dy}{dx}}$ als trigonometrische Funktion auffasse, dann muß ich zugeben, daß das Verhältnis zwischen der dem Winkel gegenüberliegenden und der dem Winkel anliegenden Kathete nichts anderes ist als die Tangensfunktion des Winkels $\alpha$. Der ziffernmäßige Wert des Differentialquotienten ist also an jeder Stelle der Kurve gleich dem Wert der Tangensfunktion des Winkels, die die Tangente dieses Punktes mit der durchwegs als positiv gedachten Abszissenachse bildet. Daraus ergibt sich die ungeheuer wichtige Folgerung, daß die analytische Gleichung einer Kurve die Punktkoordinaten jedes Kurvenpunktes zu errechnen gestattet, während der Differentialquotient aus dieser analytischen Gleichung (Funktion) gleichsam das allgemeine Gesetz des Kurvenverlaufes, das heißt ihrer jeweiligen Tangentenneigung in sich enthält. Wir brauchen in die Funktion bloß eine beliebige Zahl für x einzusetzen und wissen dadurch sofort das y, das heißt, wir wissen, wo der betreffende Kurvenpunkt liegt. Wenn wir jedoch in das x des Differentialquotienten dieser Funktion denselben Wert einsetzen, wissen wir überdies, welche Neigung die Tangente an diesem Punkt der Kurve hat. Wir werden diese Zauberei, die uns gestattet, ohne die Kurve zu sehen, eine Tangente zu zeichnen, an einem konkreten Beispiel demonstrieren. Eine Parabel $\textstyle {\frac {x^{2}}{10}}+3$ soll für den Punkt $x=4$ bestimmt werden.

Fig. 56

Für $x=4$ ist $\textstyle y={\frac {16}{10}}+3={\frac {46}{10}}=4,6$.

Der Punkt P hat also die Koordinaten $x=4$, $y=4,6$. Differentiieren wir die Funktion $\textstyle y={\frac {x^{3}}{10}}+3$, so erhalten wir $\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{10}}\cdot 2x={\frac {x}{5}}$ als Differentialquotienten. Bei $x=4$ ist also der Werl der Tangensfunktion des von der Tangente in diesem Punkt P mit der Abszissenachse gebildeten Winkels gleich $\textstyle {\frac {4}{5}}$ oder 0,8. Diesem Wert entspricht ein Winkel von etwa 38 Grad 40 Minuten. Die Tangente hat also die in der Zeichnung gezeigte Lage. Würden wir jetzt die ganze Parabel zeichnen, müßte die Tangente haargenau an der richtigen Stelle in richtiger Art der Parabel anliegen.

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