Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 125c

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Geschichte der Mathematik (Teil 25)

Es ist allbekannt, daß Aristoteles, als „der Philosoph“ schlechtweg, das Denken aller dieser Jahrhunderte, von denen wir sprachen, nicht bloß beeinflußte, sondern gleichsam überschattete. Dieser Einfluß des Stagiriten blieb jedoch nicht allein auf Logik und Philosophie beschränkt. Er griff auch auf viele andere Gebiete über, nicht zuletzt auf das Gebiet der Naturwissenschaften. Nun deuteten wir schon an, daß in der damaligen Welt leidenschaftliche Sehnsucht nach vertiefter Naturerkenntnis erwacht war, die auch durch die folgenden Jahrhunderte nicht mehr versiegen sollte. Es war also nur natürlich, daß man zur Befriedigung dieser Sehnsucht dort Aufklärung suchte, wo man größte und endgültigste Autorität vermutete. Und dies war eben bei Aristoteles der Fall. Wir können nur andeuten, daß hierbei der Formbegriff, die „forma“, eine ungeheure Rolle spielte, daß eine lebhafte Diskussion über das Wesen dieses Begriffes zwischen Franziskanern und Dominikanern ausbrach, deren größte Exponenten wieder Duns Scotus und Thomas von Aquino waren. Aus all diesen tiefgründigen Untersuchungen löste sich zum Schluß eine Bedeutung der „forma“ für die Naturbetrachtung ab, die wir etwa als „meßbare Naturerscheinung“ übersetzen könnten. Wie aber sollte man nun den Grad, die „intensio“, dieser Formen darstellen? Darauf gab ein neuer Lehrgegenstand der Universitäten Antwort, der von den „Langen und Breiten der Formen“ handelt und den wir zu Ende des vierzehnten nachchristlichen Jahrhunderts bereits in den Vorlesungsverzeichnissen der Universitäten von Köln und Wien als Pflichtgegenstand zur Erlangung des Bakkalaureats finden.

Wieder würde es uns viel zu weit führen, zu prüfen, ob damit bloß das Anknüpfen an eine ältere Tradition oder schon eine Auswirkung der Lehren des Nicole von Oresme gegeben ist. Dessen Lebenszeit währte etwa von 1323 bis 1382 und er war zuerst Schüler, dann Lehrer, schließlich Vorsteher am College de N avarre in Paris. Gestorben ist er als Bischof von Lisieux. Sein Werk aber führt den Titel „Tractatus de latitudinibus formarum“ (Traktat über die „Breite“ der „Formen“) und erregt unser Interesse im allerhöchsten Maß. Ganz abgesehen davon, daß dieses Interesse auch bei den Zeitgenossen bestand, unter denen das Werk zuerst handschriftlich und nach Erfindung der Buchdruckerkunst in vier rasch aufeinanderfolgenden Ausgaben verbreitet wurde. Es handelt sich bei diesen „Breiten“ nämlich um nichts weniger als um die ersten allgemeinen Koordinaten.

Gehen wir wieder zu unseren „Formen“ zurück. Eine solche Form wäre etwa die Wärme, und die Veränderung dieser Form erfolgt in der Zeit. Wie soll nun die Art dieser Veränderung, der „Grad der Breite“, wie Oresme es nennt, dargestellt und näher untersucht werden? Was für ein allgemeines Bild liefert schließlich diese weiterschreitende Veränderung? Uns Heutigen erscheint die Beantwortung dieser Frage einfach und selbstverständlich, da wir, etwa wie bei einer Fieberkurve, die Zeiteinheiten auf eine horizontale Linie in gleichen Abständen auftragen würden, während wir die zur jeweiligen Zeiteinheit gehörigen Temperaturen als zu dieser horizontalen Linie senkrechte Größen darstellen müßten. Wir würden aber nun weiters annehmen, daß sich der Ablauf der ganzen Erscheinung womöglich „stetig“ vollzieht und würden als Ausdruck dieser Fiktion die Endpunkte der „Ordinaten“, also die Temperaturhöhen, miteinander durch eine Kurve verbinden.

In diesem Vorgehen liegt zweierlei. Vor allem eine graphische Darstellung des Verlaufes einer größenmäßig faßbaren Erscheinung. Weiters aber auch die Feststellung einer Abhängigkeit, eines Zusammenhanges zwischen Zeit und gemessener Größe. Wenn sich drittens noch etwa herausstellt, daß zwischen Messungszeit und Meßresultat nicht bloß der formale Zusammenhang besteht, daß eben diese und jene Temperatur zu dieser und jener Zeiteinheit gehört, sondern wenn erforscht werden kann, daß die Bewegung der Temperatur gesetzmäßig von der Messungszeit abhängt, indem etwa deutliche Tageskurven des Fiebers oder ein Verlauf über die ganze Krankheit hinweg zu konstatieren sind, dann liegt bereits das vor, was wir im eigentlichsten Sinne als Funktion bezeichnen. Eine unabhängig oder willkürlich gewählte Größe, wie etwa die Zeit, steht in einem Zusammenhang mit einer zweiten, von ihr durchaus und eindeutig abhängigen Größe, der Temperatur. Dadurch aber wird die „Kurve“ weit mehr als eine graphische Verlaufsdarstellung, sie wird geradezu zum Ausdruck eines Gesetzes. Und es bleibt, mathematisch gesprochen, nur mehr ein Schritt, dieses Gesetz wirklich zu fassen. Indem man nämlich den Verlauf der Kurve durch einen rechnerischen Ausdruck fixiert und bannt.

Wir wollen nun untersuchen, wie weit Nicole von Oresme in diese Gedankengange vordrang, da es ja eine auch heute noch verbreitete Mär ist, daß Descartes gleichsam aus dem Nichts den Koordinatenbegriff geschaffen hatte. Die historische Forschung des neunzehnten Jahrhunderts hat diese Mar widerlegt, ohne daß dadurch das Verdienst des Cartesius wesentlich geschmälert wurde.

Nicole von Oresme also hat in dem bereits erwähnten Traktat auseinandergesetzt, „daß das Ausmaß der Erscheinungen (latitudines formarum) vielfachem Wechsel unterworfen sei und daß solche Vielfältigkeit nur schwer unterschieden werden könne, wenn ihre Betrachtung nicht auf die Betrachtung von geometrischen Figuren zurückgeführt werde.“ Diese Ankündigung Oresmes ist im Zusammenhang mit unseren obigen Ausführungen geradezu verblüffend. Enthält sie doch nicht weniger als das Versprechen einer graphischen Darstellung der meßbaren Naturerscheinungen. Nun kann man die beiden Umstände, die unsere Erscheinung erzeugen, teils als „Länge“ (longitudo), teils als „Breite“ (latitudo) ansehen. Die Länge ist eine horizontale Linie, die unsrer Abszisse entspricht, während die Breite die jeweilige Ordinate ist. Der Unterschied aufeinanderfolgender Ordinaten heißt „Grad der Breite“.

Daß Oresme sehr tief in seinen Gegenstand eingedrungen ist, ersieht man aus der weiteren Einteilung seiner Erkenntnisse. Es gibt bei ihm eine „Breitelosigkeit“ und eine „bestimmte Breite“, je nachdem an der betreffenden Stelle die Ordinate Null ist oder einen bestimmten Wert hat. Es gibt weiters eine ganze Terminologie für die Arten der Veränderung, für die Einförmigkeit der Erscheinung, für das Gleichbleiben oder die Veränderung der Veränderlichkeit. Sein „excessus graduum“ ist bereits ein Veränderlichkeitsmaß. Ändert sich der „excessus“, dann liegen die Ordinaten-Endpunkte nicht mehr auf einer Geraden, sondern auf einer Kurve. Für eine solche Veränderung der Veränderlichkeit gibt Oresme sogar ein Zahlenbeispiel, indem sich die „Breiten“ ändern, wie 0, 1, 2, 4, 7, ll, 16 usf. Dabei ist allerdings die Null nicht zutreffend.

Wenn wir noch beifügen, daß Oresme unter „Figura“ das Resultat versteht, das sich ergibt, wenn man die Länge (den Abszissenabschnitt), die beiden Endordinaten des Bereiches und das zwischen ihnen liegende Stück der Kurve zu einem Gebilde vereinigt, haben wir einen guten Begriff von diesen Anfängen einer echten Koordinatengeometrie.

Oresme ist aber, wenigstens als Ahnender, noch tiefer in die Geheimnisse gedrungen, die sich durch die neue Methode plötzlich zu erschließen begannen. Wäre nämlich etwa die „Figur“ ein über der „Länge“ stehender Halbkreis, dann fällt es auf, daß die „Breiten“ an den Punkten, wo der Halbkreis anzusteigen beginnt, bzw. zur „Länge“ (Abszissenachse) zurückkehrt, sehr rasch wachsen bzw. absinken. Dieses Wachstum oder, wie man sagen könnte, der Rhythmus, das Tempo des Wachstums, verzögert sich stets mehr und mehr, bis es in der Nähe des Maximums der „Breite“, also in der Umgebung des Kurvenscheitels, fast verschwindet.

In diesem ahnenden Erkennen Oresmes tauchten erstmalig das „Tangentenproblem“ und der „Differentialquotient“ auf. Das heißt, auf unsrer vorläufigen Stufe erläutert, eine Betrachtungsweise, die den Verlauf einer Erscheinung als Kurve darstellt und sich diese Kurve gleichsam als von verschieden geneigten Tangenten umhül.lt vorstellt, so daß jeder Kurvenpunkt durch die Neigung der durch ihn laufenden Kurventangente charakterisiert ist.

Wie gesagt, blieb es noch durch Jahrhunderte bei dieser vorläufigen Ahnung. Und auch die vollendet vorliegende Koordinatengeometrie des Descartes mußte sich erst mit ganz anderen Elementen verbinden, um wirklich zur Infinitesimalgeometrie zu werden. Wir haben also bei Oresme eher die philosophische als die mathematische Seite des Problems zu prüfen. Zuvor aber noch eine kleine Einschaltung. Es fällt uns auf, daß die Fachausdrücke „Länge“ und „Breite“ genau so gebraucht werden wie in der Geographie oder Astronomie, in denen man den Ort eines Erdoberﬂächenpunktes (etwa einer Stadt) oder eines Sternes durch „Länge“ und „Breite“ festlegt. Oresme hat seine „longitudines“ und „latitudines“ sicherlich aus solchen Bereichen entlehnt, denn es sind bereits aus dem zehnten nachchristlichen Jahrhundert Darstellungen von Gestirnsbahnen nachweisbar, bei denen man die Hohlkugel des Himmels zuerst auf eine Ebene projizierte und in diese Ebene dann die (scheinbare) Sternbahn nach »Lange und Breite eintrug. Diese Zwischenbemerkung aber führt uns sofort auf unsere Kernfrage zurück. Und erlaubt uns, das eigentliche Verdienst Oresmes zu würdigen. Denn es ist ein sehr großer Unterschied, ob man eine Bahn als Kurve darstellt oder den Verlauf von Intensitatsschwankungen innerhalb der Zeit. Wenn man nämlich die zweite, höchst abstrakte Überlegung noch verallgemeinert, dann gelangt man zwangsläufig zum Begriff der Funktion. Alles, was irgendwie eine Größe oder einen Grad hat, kann jetzt als zeitliche oder als räumliche Verteilung in der Form von „Breiten“ aufgetragen werden. Jeder Veränderung entspricht plötzlich eine „Figura“, eine von der Kurve und ihren Koordinaten begrenzte Fläche, und - eine weitere Verallgemeinerung - jeder solchen „Figura“ entspricht umgekehrt wieder eine Veränderung.

Mit dieser „latitudo formarum“ ist etwas umwalzend Neues in die abendländische Kultur eingedrungen, ein ganz neuer Zahlbegriff, wie Oswald Spengler sagt, der die Funktion als „faustische Zahl“ bezeichnet. Wir können diese verblüffende Formulierung an dieser Stelle noch nicht überprüfen, werden jedoch bald sehen, daß eben die Funktion eine Überbrückung der eleatischen und der heraklitischen Weltansicht in sich schließt. Der Begriff der Funktion ist - man verzeihe den Ausdruck - ein Umschalter, der es an jeder Stelle gestattet, Sein in Werden und Werden in Sein zu verwandeln. Er ist eine ebensowohl statische als dynamische Erkenntnishilfe, die sich, wie nichts andres vorher, als Werkzeug zur Erforschung der Natur und ihrer Gesetzmäßigkeiten eignet. Aber zur vollen Durchdringung dieser Zusammenhänge sollte es noch Jahrhunderte währen, wenn sich auch das werdende Werkzeug in der Hand eines Mathematikers befunden hatte, der, gleich Oresme, bereits gebrochene Potenzexponenten gebrauchte und deren Bedeutung durchschaute.

Nun kam dieses geistige Vordringen, zu dem die germanischen Völker die mystischen Schauer des Unendlichen und die romanischen die strenge ,Formphantasie der analytischen Darstellung beitrugen, auch im nächsten, dem fünfzehnten Jahrhundert noch nicht zum Stillstand. Würdig schließt sich den großen Ordensmännern der Kardinal Nicolaus von Cusa an, der, zu Cues am Ufer der Mosel als Sohn eines armen Fischers geboren, den Namen Crypffs oder Krebs führte und eine der bedeutendsten geistigen Erscheinungen seiner Zeit wurde. Der Tatmensch Cusanus, der Jurist, Theologe, Gesandter in Byzanz, Staatsmann, Feldherr, Delegierter auf dem Konzil von Basel und noch manches andre war, beschäftigte sich mit Mathematik wohl nur nebenbei, obgleich er dort, wo er hingriff, sofort Großes leistete. Uns erscheinen jedoch seine streng mathematischen Schriften weniger epochal als seine Einblicke in die Schwierigkeiten und Offenbarungen des Unendlichkeitsbegriffes. In zwei sehr merkwürdigen und undurchsichtigen, sicherlich jedoch tiefenschwangeren Schriften, der „Docta ignorantia“ und dem „De Beryllo“, setzte er seine mathematisch-philosophischen Gedanken auseinander. „Docta ignorantia“, die „gelehrte Unwissenheit“, ist ein Symboltitel, der des Cusaners Grundansicht spiegelt, daß die Vereinigung der Gegensätze Grundlage der Erkenntnis sei. Später nennt er diese Erkenntnismethode auch die „Kunst der Coincidenzen“, die darin besteht, in scheinbar Gegensätzlichem einen gemeinsamen Oberbegriff zu finden. So koinzidieren etwa das Kleinste mit dem Größten, weil bei beiden eine weitere Fortsetzung in der von jedem eingeschlagenen Richtung unmöglich sei. So koinzidiere auch eine unendliche Gerade mit dem Dreieck und dem Kreis. Denn ein Dreieck, das eine unendliche Seite besitze, müsse auch zwei andere unendliche Seiten haben, da diese zusammen ja größer sein müßten als die erste Seite. Nun sei das Unendliche schon eine Grenze und Größeres gebe es nicht. Folglich müßten in einem Dreieck mit einer unendlichen Seite alle drei Seiten in eine einzige unendliche Gerade fallen oder mit ihr koinzidieren. Dasselbe gelte für einen Kreis, der größer und größer werde, um schließlich als unendlicher Kreis keine Krümmung mehr zu besitzen. Auch er müsse mit der Geraden koinzidieren.

Der „Beryll“ als Titel der zweiten Schrift ist ebenfalls sinnbildhaft gemeint. Von „Beryll“ in diesem Sinne stammt unser Wort Brille, da es sich dabei um einen konkav oder konvex geschliffenen Stein handelt, der das bessere Sehen ermöglichen soll. Wenn wir nun, meint Cusanus, einen geistigen Beryll hätten, der zugleich Größtes und Kleinstes offenbaren könnte, so würde man den geheimnisvollen Ursprung aller Dinge erkennen. In diesem Werke befaßt sich Cusanus vorwiegend mit dem Stetigen und dem Kleinsten, und zwar in einer Art, die uns im Wesen schon von Bradwardinus her geläufig ist. So interessant es nun auch wäre, näher in all diese ungeheuer wichtigen und ebenso subtilen Fragen einzugehen, wollen wir nur noch kurz bemerken, daß Cusanus, wahrscheinlich als erster in der Geschichte der Mathematik, den Kreis deutlich und ungeschminkt als „Unendlichvieleck“ bezeichnet.

Gewiß sind mit solchen Feststellungen sofort wieder alle Schwierigkeiten in die Welt gesetzt, die schon die alten Griechen seit Eudoxos zum „beliebig“ Großen oder Kleinen und zum Exhaustionsbeweis drängten. Gleichwohl ergibt jedoch auch der polare Gegensatz und seine Überbrückung durch die Koinzidenz wieder ganz neue Gesichtspunkte. Und wir können uns nicht enthalten, beizufügen, daß gerade die neueste Geometrie mit ihren unendlich fernen Punkten, Geraden u. dgl. sich kaum wesentlich von der Auffassung des Cusaners unterscheidet, geschweige denn ihr widerspricht. Und wir arbeiten auch heute seelenruhig mit unendlich großen Kreisen, deren Krümmung Null ist, und mit Unendlichvielecken, die Kreise sind. Ob wir diesen Vorgang mit Vaihinger eine Fiktion oder mit Cusanus eine Koinzidenz nennen, ist dabei ziemlich gleichgültig. Und es ist auch gleichgültig, daß man bei jeder solchen Gelegenheit sofort von der Unklarheit und Verschwommenheit des „Grenzüberganges“ spricht. Gleichgültig nämlich in

einem höheren Sinne. Denn wenn die einen behaupten, daß sich das Vieleck höchster Seitenanzahl noch stets als gebrochene Linie darstellen, also sich im eigensten Wesen von der ungebrochenen, an jeder Stelle krummen Linie des Kreises unterscheiden muß, dann können die andern wieder antworten, daß im Unendlichen vielleicht andre Gesetze gelten als im Endlichen. Und daß irgendeinmal die Polygonseite ausdehnungsmäßig mit einem Kreisumfangspunkt zusammenfallen muß.

»Bei all diesen Betrachtungen wird man den Unterschied des aktual und des potentiell Unendlichen nicht umgehen können. Und wird auf die Begriffe des Stetigen, des Diskreten und an die Antinomie zwischen Teilbarkeit und Atom stoßen. Schließlich wird man wohl mit Kant zugeben, daß unser Verstand gleichsam für die eine Ansicht zu lang, für die andre zu kurz sei. Das ist aber, so wichtig es sein mag, nicht das Wichtigste. Wichtiger ist anscheinend, soweit es die Geschichte unsrer Wissenschaft beweist, daß das Heraklit-Wort vom Widerstreit als Vater des Allgeschehens und das Cusanus-Wort von der Fruchtbarkeit der Überbrückung der Gegensätze sehr viel für sich hat.

Und wir können abschließend behaupten, daß die Verbindung dieser beiden in sich gegengesetzlichen Begriffe der Funktion, die Sein und Werden vereint, und der Koinzidenz, die wieder imstande ist, das Endliche zum Unendlichen und das Unendliche zum Endlichen zu machen, der Sprengstoff war, der eruptiv unser ganzes äußeres und inneres Weltbild umgestaltete. Diese beiden rein abendländisch-faustischen, und zwar speziell germanischen und französischen Errungenschaften verschwisterten sich aber noch einmal, um voll zur Entfaltung gelangen zu können, mit der magischen und kabbalistischen Kategorie des Algorithmischen, die allerdings in letzter Linie ein indisches Denkergebnis war.

Das nächste Kapitel wird uns zeigen, wie sich dieser letzte Ansturm vollzog, um plötzlich den Weg zum vorläufigen Gipfel des Erreichbaren freizumachen.

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