Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 221c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Einundzwanzigstes Kapitel

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Das Doppelverhältnis

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Wir hatten seinerzeit historisch den ersten schüchternen Anfang der Lage-Geometrie bis in die Zeit Riehelieus, zu Desargues, zurückversetzt. Wir konnten damals aus pädagogischen Gründen nicht von einem anderen, noch weit früheren Vorläufer Poncelets sprechen, nämlich vom großen Geometer Menelaos aus Alexandria, der etwa um 80 n. Chr. Geburt, also zur Zeit der letzten Blutcäsaren wirkte. Sein Lehrsatz betrifft die Fundamente einer über Euklid hinaus durch die sogenannte „Harmonik“ oder durch die Lehre vom „Doppelverhältnis“ grundlegend erweiterten Proportionen-Geometrie.

Bevor wir seinen berühmten Lehrsatz näher untersuchen, wollen wir uns über das Wesen des Doppelverhältnisses Klarheit verschaffen. Vorläufig wird es allerdings wie eine recht gewaltsame mathematische Konstruktion anmuten. Wenn wir aber später die ungeheure Wichtigkeit dieses unseres neuen Handwerkszeuges einsehen, werden wir über diese „unnötige Komplikation“ anders denken, da uns gerade die Harmonik erlaubt, fast unzugängliche Probleme in verhältnismäßig spielend einfacher Art zu behandeln.

Das Doppelverhältnis, dies sei zuerst festgestellt, betrifft Streckenlängen. Es enthält die Forderung, daß sich die beiden Verhältnisse $AC:BC$ und $DF:EF$ zueinander irgendwie verhalten sollen. Also entweder wie ein einfaches Verhältnis oder wie ein zweites Doppelverhältnis. Rein arithmetisch gesprochen, ist das Doppelverhältnis nichts anderes als das Verhältnis zweier Brüche zueinander, in denen sowohl die Zähler als auch die Nenner Strecken oder Streckenteile bedeuten. Natürlich kann man auch, wie bei jeder Proportion, eine der Seiten „ausrechnen“, wodurch man etwa behaupten könnte, das Doppelverhältnis betrage so und so viel.

Auf unsere oben gezeichneten Strecken angewandt, schreiben wir als Doppelverhältnis $(AC:BC):(DF:EF)$ oder ${\frac {AC}{BC}}:{\frac {DF}{EF}}$.

Dabei müssen die „Teilpunkte“ von Strecken, wie C und F in unserem Falle durchaus nicht innerhalb der Strecken liegen, sondern können auch in der Verlängerung der Strecken gedacht sein. Insbesondere ist es wichtig festzustellen, daß wenn ein Doppelverhältnis den Wert 1 annimmt, das Doppelverhältnis dann unmittelbar in eine gewöhnliche Proportion von Strecken übergeht. Wäre nämlich etwa ${\frac {AC}{BC}}:{\frac {DF}{EF}}=1$, dann folgt sogleich ${\frac {AC}{BC}}:{\frac {DF}{EF}}=1$ oder $AC:BC=DF:EF$.

Da wir nun den Begriff des Doppelverhältnisses einmal festgelegt haben, können wir unmittelbar zum Lehrsatz des Menelaos übergehen. Er behauptet? „Wenn zwei Strahlen der Ebene von zwei nicht parallelen Geraden in der Art geschnitten werden, daß die Abschnitte, die die eine dieser Geraden auf den beiden Strahlen erzeugt, durch die andere Gerade in je zwei Teile zerfallen, dann ist das Doppelverhältnis unter diesen Teilen gleich dem umgekehrten Verhältnis unter den Teilen der ersten Geraden.“

Das sieht nun reichlich unheimlich aus. Darum wollen wir uns schnell eine Figur zeichnen und uns, Voraussetzung und Behauptung formelmäßig notieren.

Voraussetzung: AC teilt die Abschnitte MB und MD.

Behauptung: ${\frac {MA}{AB}}:{\frac {MC}{CD}}=DE:BE$. Um diesen Satz zu beweisen, hat man vorerst von M gegen die Gerade g₂ eine Hilfslinie zu ziehen, die der Geraden g₁ parallel ist. Dadurch entsteht der neue Schnittpunkt F. Nun sind die Dreiecke AFM und ABE nach dem WWW-Satz ähnlich, da ihre Winkel bei A als Scheitelwinkel, die Winkel bei B und M als Wechselwinkel und die dritten Winkel bei E und F als Wechselwinkel ebenfalls gleich sind. Aus den gleichen Erwägungen sind die beiden Dreiecke CDE und AFM ähnlich. Da sich aber in ähnlichen Dreiecken homologe Seiten der beiden Dreiecke ebenso verhalten wie die anderen homologen Seiten dieser Dreiecke, darf ich die beiden Proportionen aufstellen:

$MA:AB=FM:BE$ und

$MC:CD=FM:DE$

Wenn wir die beiden Gleichungen (Proportionen) durcheinander dividieren, so erhalten wir

${\frac {MA}{AB}}:{\frac {MC}{CD}}={\frac {FM}{BE}}:{\frac {FM}{DE}}$

Nun kürzen wir die rechte Seite durch FM und erhalten

${\frac {MA}{AB}}:{\frac {MC}{CD}}={\frac {1}{BE}}:{\frac {1}{DE}}$,

worauf wir rechts die Brüche dadurch fortschaffen, daß wir beide Glieder mit $BE\cdot DE$ multiplizieren. Wir haben also jetzt:

${\frac {MA}{AB}}:{\frac {MC}{CD}}={\frac {1}{BE}}(BE\cdot DE):{\frac {1}{DE}}(BE\cdot DE)$,

woraus wir schließlich

${\frac {MA}{AB}}:{\frac {MC}{CD}}=DE:BE$

gewinnen, was als „Satz des Menelaos“ zu beweisen war.

Man kann nun durch Betrachtung anderer „homologer“ Stücke unserer Figur allerlei neue Doppelverhältnisse und Proportionen feststellen. Etwa ${\frac {MB}{BA}}:{\frac {MD}{DC}}=CE:AE$ usw. Im Ganzen müssen sich zwölf derartige Proportionen ergeben, was uns schon die unglaublich vielfältige Verwendbarkeit dieser Figur in der Proportionenlehre zeigt. Dabei müssen wir uns noch etwas anderes vor Augen halten, was wir bisher absichtlich verschwiegen. Was haben wir eigentlich, vom Standpunkte der projektiven Geometrie aus, gemacht? Nun, wir haben nichts anderes gemacht, als daß wir zwei zweistrahlige Ebenenbüschel miteinander zum Schnitt brachten und hierauf das Verhältnis und das Doppelverhältnis der abgeschnittenen Strecken untersuchten. Wenn wir nun weiter bedenken, daß es sich hier wieder nur um den Schnitt zweier „degenerierter Hyperbeln“ handelt, dann dürften wir schon ein wenig ahnen, was für Möglichkeiten hinter unserem „Menelaos“ in riesenhafter Vielfalt emportauchen und wie großartig sich auch hier wieder unsere „Geometrie des Auges“ zu entfalten beginnt.

Wir werden uns sogleich einen der wichtigsten Folgesätze unseres „Menelaos“ ansehen, der auch für die verschiedensten Anwendungen von Bedeutung ist. Wir wollen ihn für uns den „Folge-Menelaos“ benennen. Er lautet: „Wenn drei Strahlen die Eckpunkte eines Dreiecks treffen, so werden sie durch die diesen Eckpunkten gegenüberliegenden Dreieckseiten oder deren Verlängerungen so geschnitten, daß das Doppelverhältnis unter den Teilen je zweier Strahlen gleich dem umgekehrten Verhältnis unter den Teilen der die drei Strahlen verbindenden Dreieckseite ist.“

Wir zeichnen uns wieder die Figur mit Voraussetzung und Behauptung.

Voraussetzung: ABC wird in den drei Punkten von MA, MB, MC getroffen.

Behauptung: ${\frac {MD}{DA}}:{\frac {ME}{EB}}=BF:AF$.

Nach dem Menelaos gelten die beiden Proportionen

${\frac {MD}{DA}}:{\frac {MC}{CF}}=FB:AB$ und

${\frac {ME}{EB}}:{\frac {MC}{CF}}=FA:BA$.

Wenn wir nun diese beiden als Gleichungen betrachteten Proportionen einfach durcheinander dividieren, dann erhalten wir:

${\frac {MD}{DA}}:{\frac {ME}{EB}}=BF:AF$,

was als der „Folge-Menelaos“ zu beweisen war.

Es sei bloß erwähnt, daß sich auch aus diesem Lehrsatz eine Reihe anderer Proportionen ergeben, wie etwa

${\frac {MD}{DA}}:{\frac {MF}{FC}}=CE:AE$ usw.

Auch dieser Lehrsatz kann durch zwölf verschiedene Proportionen ausgedrückt werden.

Man wird nun schon mit Recht fragen, zu welchem Zweck stets verwickeltere Proportionen ersonnen werden. Wir müssen uns also beeilen, irgendwelche Anwendungen vorzuweisen, sonst wirft man uns vor, wir betrieben nichts anderes als „Proportionalitäts-Sport“.

Gut, wir werden also zwei merkwürdig einfache Konstruktionen zeigen, die sich unmittelbar auf unsere Sätze stützen. Vorher aber müssen wir noch einige kurze Einführungsworte zum Begriff „Konstruktion“ sagen. Das Wort ist aus der Umgangssprache hinlänglich bekannt und ist auch, wie so viele Worte, dadurch ausgezeichnet, daß es sowohl für eine Tätigkeit als für das Ergebnis dieser Tätigkeit gebraucht wird. Konstruktion kommt vom lateinischen construere und bedeutet soviel wie zusammensetzen, zusammenfügen. Von der Wurzel „struere“ ist etwa auch das Wort Struktur (Gefüge) abgeleitet. Konstruktion ist also sowohl eine Tätigkeit des Zusammensetzens als das Ergebnis dieser Zusammensetzung. Der zweite Fall geht zum Beispiel aus solchen Sätzen hervor: „Die Fabrik N. N. hat neuerlich wieder eine gelungene Automobil-Konstruktion auf den Markt gebracht.“ Geometrisch versteht man unter Konstruktion auch sowohl das Konstruieren als das Konstruierte. Es wäre aber anzuempfehlen, die Hervorbringung der Figur durch Konstruktion eher in den Vordergrund unserer Wortbedeutung zu rücken. Wir definierten es soeben: Konstruktion ist die Hervorbringung, richtige Zusammensetzung einer Figur im weitesten Sinne. Gleichsam die mechanische Erzeugung geometrischer Gebilde mit gewissen Hilfsmitteln, wobei nicht immer gezeichnet werden muß. Man kann etwa auch Schnüre oder Pflöcke zu geometrischen Konstruktionen gebrauchen oder auch Visierstangen und Fadenkreuzfernrohre. Im engeren Sinne allerdings meinen wir mit dem Wort Konstruktion die zeichnerische Erzeugung geometrischer Gebilde. Als Hilfsmittel haben wir bisher eigentlich bloß die Zeichen-Ebene (das Papier) und das Lineal kennengelernt, dessen Kante für uns die Schablone der Geraden war. Wenn man die Geschicklichkeit besäße, im „Freihandzeichnen“ genaue Gerade zu ziehen, könnte man auch das Lineal entbehren. Da dies aber nur bei sehr wenigen Menschen zutrifft, sprechen wir von der „Konstruktion nur mit dem Lineal“, wenn es sich um Konstruktionen handelt, die bloß mit Hilfe von Geraden durchgeführt werden sollen. Da wir nun später über das Thema „Konstruktion“ uns noch auf viel höherem Niveau unterhalten werden, brechen wir für jetzt unseren theoretischen Exkurs ab und stellen kurzerhand die Aufgabe, es solle „nur mit dem Lineal“ zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt eine Parallele gelegt werden. Dabei ist es uns nicht gestattet, den rechten Winkel als Konstruktionselement zu benützen, da dieser sich für uns vorläufig ohne Zirkel nicht konstruieren läßt.

Gegeben wären die Gerade g₁ und der Punkt C, durch den die Parallele g₂ gezogen werden soll. Man geht nun folgendermaßen vor: Man wählt auf der Geraden g₁ willkürlich einen Punkt A, von dem aus man auf der Geraden g₁ das ebenfalls willkürliche Stück AF mit dem „Eichmaß“ zweimal abträgt. Das „Eichmaß“ ist in unserem Falle durch zwei willkürliche Marken auf dem Lineal oder auf einem Papierstreifchen herzustellen. Nun zieht man eine Hilfslinie von A durch C und wählt auf ihr jenseits von C irgendeinen Punkt M. Von diesem zieht man dann zwei Gerade durch F und durch B und eine weitere Gerade von C nach B, die den Strahl in einem Punkt E schneidet. Wenn man nun von A aus durch diesen Punkt E eine letzte Gerade zieht und diese mit MB zum Schnitt bringt, so wird dieser Schnittpunkt D ein zweiter Punkt der gesuchten Parallelen sein. Durch C und D ist also die Gerade g₂ bestimmt, die voraussetzungsgemäß durch C läuft und zu g₁ parallel ist.

Der Beweis für die Richtigkeit unserer Konstruktion laßt sich mit Hilfe des „Folge-Menelaos“ sofort führen. In unserer Figur ist nämlich:::${\frac {MC}{CA}}:{\frac {MD}{DB}}=BF:AF$.

Außerdem ist nach der Konstruktion $BF=AF$, was zur Folge hat, daß $BF:AF=1$. Folglich ist auch das Doppelverhältnis

${\frac {MC}{CA}}:{\frac {MD}{DB}}=1$, also $MC:CA=MD:DB$.

Eine derartige Proportion für ein zentrisches Strahlenbüschel aus den Strahlen MA und MB kann aber nur bestehen, wenn das schneidende Büschel g₁ und g₂ ein parallelstrahliges Büschel ist, weshalb auf Grund der letzten Proportion g₁ und g₂ (g₂ geht überdies gemäß der Konstruktion durch C) parallele Gerade sein müssen, was zu beweisen war.

Eine zweite, zu dieser gleichsam duale Aufgabe bestände darin, eine gegebene Strecke AB ohne Gebrauch des Zirkels in zwei gleiche Strecken zu teilen.

Unser scheinbar verworrenes Gebilde wird sofort durchsichtig, wenn wir betonen, daß die links stehende Figur mit _dem Scheitel S nichts ist als unsere eben ausgeführte Parallelen-Konstruktion, wobei wir von A aus zweimal die Strecke a abgetragen haben. Nun besteht unsere jetzige Aufgabe darin, die Strecke AB in zwei gleiche Teile zu teilen. Dazu wählen wir ein zweites Strahlenzentrum M, das 'ganz willkürlich ist. Dieses verbinden wir mit A und mit B und' bringen die beiden Strahlen MA und MB mit der zu AB parallelen Geraden g in den Punkten C und D zum Schnitt. Wenn wir weiters A mit D und B mit C verbinden und durch den Schnittpunkt E dieser beiden Verbindungsgeraden von M einen Strahl gegen AB ziehen, wird er diese Strecke, im Punkte F schneiden und sie genau in zwei gleiche Teile zerlegen.

Der Beweis wird wieder durch den „Folge-Menelaos“ geführt; es besteht nämlich die Proportion

${\frac {MC}{CA}}:{\frac {MD}{DB}}=BF:AF$;

ferner folgt aus der Parallelenlegung von g, daß $MC:CA=MD:DB$, was nichts anderes heißt als ${\frac {MC}{CA}}:{\frac {MD}{DB}}=1$. Da nun die linke Seite der ersten Proportion gleich ist eins, muß es auch die rechte sein.

Also: $BF:AF=1$ oder $BF=AF$ oder $BF=AF={\frac {AB}{2}}$, was zu beweisen war.

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