Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 235c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Fünfunddreißigstes Kapitel

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Analytische Geometrie von Ellipse, Hyperbel und Parabel

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Nun zur Ellipse. Um die Gleichung dieser zweiten Kegelschnittskurve zu finden, müssen wir ihre Eigenschaften als bekannt voraussetzen. Jeder weiß, daß die einfachste Art, eine Ellipse gleichsam mechanisch zu erzeugen, die ist, daß man zwei Nadeln in ein Blatt Papier steckt und um diese zwei „Brennpunkte“ der Ellipse einen geschlossenen Bindfaden anbringt, dessen Umfang größer sein muß als die doppelte Entfernung der zwei Nadeln voneinander.

Zieht man hierauf die Fadenschlinge mit einem senkrecht zum Papier gehaltenen Bleistift straff, dann entsteht eine Ellipse, wenn man unter fortwährender Straffhaltung des Fadens den Bleistift weiterbewegt.

Würde ich beide Nadeln soweit zusammenrücken, daß sie schließlich durch eine Nadel ersetzt werden können, dann entstände ein Kreis und die beiden Leitstrahlen p und q würden zu Radien r bzw. zu einem Doppelradius. Man kann ohneweiters aus der Figur sehen, daß die Summe der Leitstrahlen, also $(p+q)$ in jedem Punkt der Ellipse die gleiche sein muß, da in jeder Lage ein Dreieck aus dem gegebenen Faden sich bildet, dessen eine Seite FF', also die Distanz der Brennpunkte voneinander darstellt, während die beiden anderen Seiten eben p und q sind. Ist aber bei einem Dreieck der Umfang und die eine Seite konstant, dann muß es auch die Summe der beiden anderen Seiten sein. Im Fall des Kreises, der ein Grenzfall der Ellipse ist, also bei $FF'=O$ entsteht ein unendlich schmales Dreieck, dessen zwei Seiten, die von 0 verschieden sind, die Summe 2r oder den Durchmesser d bilden. In der Ellipse entspricht diesem Durchmesser die sogenannte „große Achse“, die mit 2a bezeichnet und die dadurch gewonnen wird, daß man die Verbindungsgerade der Brennpunkte mit der Ellipse zweimal zum Schnitt bringt (rechts und links der Brennpunkte). Wie man aus unserer Zeichnung sieht, ist tatsächlich $(p+q)$ gleich der großen Achse oder $(p+q)=2a$, was beim Kreis der Formel $2r=d$ entspricht. Die Ellipse ist eben ein Kreis mit auseinandergezogenem Mittelpunkt oder der Kreis ist eine Ellipse mıt zusammengerückten Brennpunkten. Die „kleine Achse“ der Ellipse oder 2b steht senkrecht auf der großen und ist die Streckenhalbierende der Distanz FF' oder der doppelten Exzentrizität der Ellipse 2e. Exzentrizität oder „Auskreisung“, „Kreisunähnlichkeit“ ist also die Strecke vom Ellipsenmittelpunkt (der aber bei der Ellipse geometrisch für uns nur ein Symmetriepunkt ist bis zu einem der Brennpunkte F oder F'.

Nach diesen Vorbemerkungen sind wir imstande, mit Hilfe des „Pythagoräers“ die Mittelpunktsgleichung der Ellipse aufzustellen, wozu wir zuerst die Leitstrahlen analytisch bestimmen müssen.

Wir wissen schon, daß ${\displaystyle }$(p + q) = 2a, und wir benennen ferner die Koordinaten eines beliebigen Ellipsenpunktes M mit x und y. Wenn wir uns weiter vor Augen halten, daß $FP=(e+x)$ und $PF_{1}=(e-x)$, dann darf ich nach dem Pythagoras die zwei Gleichungen bilden:

$p^{2}=(e+x)^{2}+y^{2}$, und

$q^{2}=(e-x)^{2}+y^{2}$,

woraus folgt, daß $p^{2}-q^{2}=4e\cdot x$ oder $(p+q)(p-q)=4e\cdot x$. Da aber weiters $(p+q)=2a$, so ist ${\textstyle (p-q)={\frac {4e\cdot x}{2a}}={\frac {2e\cdot x}{a}}}$, und p ist sodann, da $(p+q)=2a$ und ${\textstyle (p-q)={\frac {2e\cdot x}{a}}}$ gleich ${\textstyle p=a+{\frac {e\cdot x}{a}}}$ und ${\textstyle q=a-{\frac {e\cdot x}{a}}}$. Nun habe ich die Leitstrahlen bloß durch Koordinaten des Punktes M und durch die halbe Großachse bzw. Exzentrizität der Ellipse ausgedrückt. Da diese Beziehungen, die wir bloß für den ersten Quadranten abgeleitet haben, für alle vier Quadranten dieselben sind, wie man sich leicht überzeugen kann, so darf ich weiter für jeden Ellipsenpunkt die Bedingungsgleichung aufstellen:

$y^{2}=p^{2}-(e+x)^{2}$

oder

${\begin{aligned}y^{2}&=(a+{\frac {ex}{a}})^{2}-(e+x)^{2}\\&=a^{2}+{\frac {2e\cdot x}{a}}\cdot a+{\frac {e^{2}x^{2}}{a^{2}}}-e^{2}-2e\cdot x-x^{2}\\&=a^{2}+{\frac {e^{2}x^{2}}{a^{2}}}-x^{2}-e^{2}\end{aligned}}$.

Dies ist aber weiter gleich ${\textstyle a^{2}-e^{2}-{\frac {a^{2}-e^{2}}{a^{2}}}\cdot x^{2}=y^{2}}$, woraus folgt $(a^{2}-e^{2})\cdot x^{2}+a^{2}\cdot y^{2}=a^{2}\cdot (a^{2}-e^{2})$. Da nun 2a stets größer sein muß als 2e oder $a>e$, so ist $(a^{2}-e^{2})$ stets positiv. Nun kann ich weiters $(a^{2}-e^{2})$ wieder nach dem Pythagoras durch $b^{2}$ ersetzen, da $FC$ und $F_{1}C$ gleich und je gleich a sein müssen, weil sie ja Leitstrahlen des Punktes $C$ und überdies noch Verbindungen eines Punktes der Streckensymmetrale $CD$ mit den Endpunkten der Strecke $F$ und $F_{1}$ sind. Wir gewinnen also eine Gleichung der Ellipse, die nur mehr aus den laufenden Koordinaten x und y und aus der großen und kleinen Halbachse a und b besteht und die lautet $b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$. Für $a=b=r$, also für den Kreis, gewinnen wir sofort $r^{2}x^{2}+r^{2}y^{2}=r^{2}r^{2}$ oder die Mittelpunktsgleichung des Kreises $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Wenn wir weiters die Gleichung der Ellipse durch $a^{2}b^{2}$ dividieren, dann erhalten wir eine andere Form der Gleichung ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$, die man sich leicht merken kann, da jeder Koordinate dabei die Halbachse zugeordnet ist, auf der die Koordinate liegt.

Die Tangente und die Normale der Ellipse werden für einen Berührungspunkt $P_{1}(x_{1},y_{1})$ durch die Verbindung der Geradengleichung $y=a\cdot x+c$ mit der Ellipsengleichung gewonnen. Um Verwechslungen der Richtungskonstanten a der Geraden mit der großen Ellipsenhalbachse a zu vermeiden, nennen wir jetzt die Richtungskonstante m. Sonach ist die Gleichung der Geraden $y=m\cdot x+c$. Da die Ableitung genau analog der der Kreistangente ist, wollen wir nur das Ergebnis notieren. Die Ellipsentangente für den Berührungspunkt $P_{1}(x_{1},y_{1})$ hat die Gleichung ${\textstyle y-y_{1}=-{\frac {b^{2}\cdot x_{1}}{a^{2}\cdot y_{1}}}(x-x_{1})}$, woraus sofort die Analogie mit der Kreistangente zu sehen ist. Und die Normale entspricht der Gleichung ${\textstyle y-y_{1}={\frac {a^{2}\cdot y_{1}}{b^{2}\cdot x_{1}}}(x-x_{1})}$.

Wenn wir nun zur Hyperbel übergehen, so werden wir nicht viele Schwierigkeiten zu überwinden haben. Denn die Hyperbel ist eine Art von negativem Spiegelbild der Ellipse. Auch sie besitzt Brennpunkte $F$ und $F_{1}$ und zwei Leitstrahlen p und q. Nur ist bei der Hyperbel nicht die Summe, sondern die Differenz der beiden Leitstrahlen eine Konstante, die wir als Hauptachse der Hyperbel $(p-q)=2a$ bezeichnen. Wenn wir weiters die Abstände $FO$ und $F_{1}O$ als Exzentrizität der Hyperbel $FO=F_{1}O=e$ bezeichnen, dann haben wir allenthalben genaue Entsprechungen zur Ellipse.

Nur die Tatsache, daß die Hyperbel die Ordinatenachse nicht schneidet, bildet bezüglich der sogenannten Nebenachse 2b eine Ausnahme. Diese Nebenachse bzw. ihre Hälfte gewinnt man dadurch, daß man von den „Scheiteln“ der Hyperbel A oder B die Exzentrizität e mit der Ordinatenachse zum Schnitt bringt.

Da die Hyperbel keine geschlossene Kurve ist, „spricht man von ihren beiden „Ästen“. Wir nehmen nun etwa auf dem rechten Ast einen Punkt $M$ an und bestimmen, genau wie bei der Ellipse, zuerst die beiden Leitstrahlen. Wir erhalten für p den Wert ${\textstyle {\frac {e\cdot x}{a}}+a}$ und für q den Wert ${\frac {e\cdot x}{a}}-a$. Für den zweiten Ast würden wir ${\textstyle -a-{\frac {e\cdot x}{a}}}$ bzw. ${\textstyle a-{\frac {e\cdot x}{a}}}$ erhalten, wobei man x negativ setzen müßte, so daß sich die Ausdrücke für p und q gegenüber dem rechten Ast vertauschen würden. Wenn wir nun das Dreieck FMP zur Grundlage unserer Bedingungsgleichung nehmen, dann erhalten wir auf dieselbe Art wie bei der Ellipse $(a^{2}-e^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-e^{2})$, und zwar unabhängig vom Ast der Hyperbel. Da nun hier die Differenz $(a^{2}-e^{2})$ auf jeden Fall negativ sein muß, da stets $a<e$, so muß man aus dem Dreieck $(a,b,e)$ auch gewinnen: $e^{2}=a^{2}+b^{2}$ oder $a^{2}-e^{2}=-b^{2}$. Dadurch ergibt sich als gesuchte Gleichung der Hyperbel $-b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=-a^{2}b^{2}$ oder $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}$, wenn man die erste Gleichung mit $(-1)$ multipliziert. Diese Gleichung läßt sich wieder durch Division durch $a^{2}b^{2}$ auf die Form ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ bringen, wobei, wie bei der Ellipse, die Koordinaten den Achsen zugeordnet sind, auf denen sie liegen bzw. mit denen sie parallel laufen. Tangente und Normale der Hyperbel für den Berührungspunkt $P_{1}(x_{1},y_{1})$ haben die Gleichungen: ${\textstyle y-y_{1}={\frac {b^{2}\cdot x_{1}}{a^{2}\cdot y_{1}}}(x-x_{1})}$ für die Tangente und ${\textstyle y-y_{1}=-{\frac {a^{2}\cdot y_{1}}{b^{2}\cdot x_{1}}}(x-x_{1})}$ für die Normale.

Nun gibt es aber bei der Hyperbel noch zwei sehr merkwürdige Gerade, deren Existenz wir schon angedeutet haben. Es sind dies die sogenannten Asymptoten oder Näherungsgeraden der Hyperbel. Hiezu sei vorangeschickt, daß man schon der Gleichung der Hyperbel entnehmen kann, daß sich bei wachsendem x auch das y vergrößert, so daß die beiden Hyperbeläste sich stets mehr öffnen und gleichsam jeder für sich nach beiden Seiten ins Unendliche läuft. Dies ist auch daraus klar, daß ja die Hyperbel ein Kegelschnitt ist, und zwar ein sogenannter nicht geschlossener oder offener. Die beiden „Schenkel“ jedes Astes müssen sich also analog der Öffnung des Kegels stets weiter öffnen. Wenn wir uns eine Gerade durch den Koordinatenursprungspunkt 0 gezogen denken, muß diese Gerade die allgemeine Gleichung $y=m\cdot x$ haben. Ihr Schnittpunkt mit der Hyperbel hat durch Verbindung dieser Gleichung mit der Hyperbelgleichung die Koordinaten ${\textstyle x={\frac {\pm a\cdot b}{\sqrt {b^{2}-a^{2}m^{2}}}}}$ und ${\textstyle y={\frac {\pm a\cdot m\cdot b}{\sqrt {b^{2}-a^{2}m^{2}}}}}$ Folglich ist ein Schnitt einer solchen Geraden mit der Hyperbel nur möglich, wenn $b^{2}$ größer ist als $a^{2}m^{2}$, da sich sonst imaginäre Schnittpunkte ergäben, was in der analytischen Sprache das Nichtvorhandensein der Schnittpunkte bedeutet. Aus unserer Ungleichung $b^{2}>a^{2}m^{2}$ kann ich weiters entnehmen, daß man die Bedingung für den Schnitt der Geraden mit der Hyperbel auch ausdrücken kann ${\textstyle m^{2}>{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ oder (ohne Vorzeichenberücksichtigung, also absolut) ${\textstyle m>{\frac {b}{a}}}$. Wenn wir nun fragen, was in dem Fall geschieht, daß ${\textstyle m={\frac {b}{a}}}$, oder mit Berücksichtigung der Vorzeichen, ${\textstyle m=\pm {\frac {b}{a}}}$, so müssen wir die jeweilige Ordinate dieser Geraden ${\textstyle y=\pm {\frac {b}{a}}\cdot x}$ mit der entsprechenden Ordinate der Hyperbel vergleichen. Diese ist für dasselbe $x$ wohl ${\textstyle y'=\pm {\frac {b}{a}}x{\sqrt {1-({\frac {a}{x}})^{2}}}}$, wenn man gewisse Umformung vornimmt. Die Ausrechnung ergäbe sofort

${\begin{aligned}y'&=\pm {\frac {b}{a}}\cdot x{\sqrt {\frac {x^{2}-a^{2}}{x^{2}}}}\\&=\pm {\frac {b}{a}}\cdot {\frac {x}{x}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\\&=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}},\end{aligned}}$

was man aus der Hyperbelgleichung leicht gewinnt. Nun sieht man aus der Gegenüberstellung von ${\textstyle y=\pm {\frac {b}{a}}\cdot x}$ und ${\textstyle y'=\pm {\frac {b}{a}}\cdot x{\sqrt {1-({\frac {a}{x}})^{2}}}}$, daß der Bruch ${\textstyle ({\frac {a}{x}})^{2}}$ desto kleiner werden muß, je größer man das x wählt. Denn a ist ja konstant. Er wird schließlich stets mehr nach 0 „konvergieren“, sich der Null nähern. Dadurch aber würde der Ausdruck unter der Wurzel stets näher an die Eins heranrücken, allerdings immer etwas kleiner bleiben, solange x noch endlich ist.

Dadurch aber haben wir den Begriff der Asymptote gewonnen. Denn die Gerade und die Hyperbel nähern sich zunehmend, ohne einander zu erreichen. Wir wollen unsere Asymptoten, deren es zwei geben muß, da die Hyperbel eine symmetrische Figur ist, konstruktiv gewinnen. Wir brauchen dabei bloß darauf zu achten, daß die Richtungskonstante m der Asymptoten, also $tg\ \alpha$ entweder ${\textstyle +{\frac {b}{a}}}$ oder ${\textstyle -{\frac {b}{a}}}$ sein muß. Der zweite, die Gerade bestimmende Punkt ist ja der Koordinatenursprungspunkt 0.

Tatsächlich ist bei unserer Konstruktion, die fordert, daß man an die Scheitel der Hyperbel (senkrecht) Tangenten legt, und diese dann durch Parallele zur Abszissenachse schneidet, die durch die Endpunkte von b gehen, die Bedingung erfüllt, daß $tg\ \alpha$ überall entweder ${\textstyle {\frac {b}{a}}}$ oder ${\textstyle -{\frac {b}{a}}}$. Folglich sind $as_{1}$ und $as_{2}$ die beiden Asymptoten der Hyperbel.

Wenn $a=b$, dann nennt man die Hyperbel eine gleichseitige, und die Asymptoten müssen bei dieser als Diagonalen eines Quadrates aufeinander senkrecht stehen; wie sich überhaupt auch die Hyperbelgleichung in $a^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}a^{2}$ oder $x^{2}-y^{2}=a^{2}$ ändert, was manche schon als gleichsam negativen Kreis bezeichnet haben, da ja die Kreisgleichung $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ lautet.

Nun zur letzten Kegelschnittskurve, zur Parabel. Als Schnitt des Kegels betrachtet, ist sie ein Grenzfall zwischen Ellipse und Hyperbel. Und zwar der Kegelschnitt, der nur zu einer „Seite“ des Kegels parallel erfolgt, während die Hyperbel stets zu zwei Seiten parallel geschnitten wird.

Diese Ebene, die durch die zwei Seiten begrenzt wird, ist nichts anderes als selbst eine degenerierte, also durch den Kegelscheitel gehende Hyperbel, wie wir dies schon beim speziellen Pascal-Satz gezeigt haben.

Kreis und Ellipse sind zu keiner Seite des Kegels parallel, das heißt sie schneiden alle Seiten des Kegels.

Für die Analysis definieren wir die Parabel als eine Kurve der Eigenschaft, daß jeder ihrer Punkte stets von einer Geraden (der Leitlinie) und von einem Punkt (dem Brennpunkt) denselben Abstand hat. Unter Leitstrahl der Parabel dagegen versteht man den jeweiligen Abstand des Brennpunktes von einem Parabelpunkt. Alle Parabeln sind symmetrische Kurven und alle Parabeln sind einander ähnlich, wie es auch alle Kreise untereinander sind. Die beiden, nicht als Grenzfälle auftretenden Kegelschnitte Ellipse und Hyperbel haben diese Ähnlichkeitseigenschaft nicht. Natürlich gibt es auch ähnliche Ellipsen und Hyperbeln. Aber nicht alle sind einander ähnlich. Derartige allgemeine Ähnlichkeit gibt es stets nur bei Grenzfällen, wie etwa bei den regelmäßigen Dreiecken, bei den Quadraten und überhaupt bei allen regulären n-Ecken, sofern sie keine einspringenden Ecken haben, also Kreis-n-Ecke sind.

Als Koordinatensystem wählen wir bei der Parabel ein Achsen-Doppel, dessen Ursprungspunkt auf der Symmetrieachse der Parabel auf halbem Wege, zwischen der Leitlinie und dem Brennpunkt liegt. Wir nennen üblicherweise den Abstand der Leitlinie vom Parabelscheitel (auf der Abszissenachse) p, woraus sich als Leitstrahl des Parabelpunktes M der Wert ${\textstyle x+{\frac {p}{2}}}$ ergibt, da der Leitstrahl ja gleich sein muß CP bzw. QM.

Wenn wir den Leitstrahl FM mit q bezeichnen, dann ist, wieder nach dem „Pythagoras“ ${\textstyle q^{2}=y^{2}+(x-{\frac {p}{2}})^{2}}$ oder ${\textstyle q^{2}=(x+{\frac {p}{2}})^{2}}$, da q gleich ist ${\textstyle (x+{\frac {p}{2}})}$. Daher ist weiters ${\textstyle y^{2}+(x-{\frac {p}{2}})^{2}=(x+-{\frac {p}{2}})^{2}}$oder

${\begin{aligned}y^{2}&=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}\\&=x^{2}+p\cdot x+{\frac {p^{2}}{4}}-x^{2}+p\cdot x-{\frac {p^{2}}{4}}\\&=2p\cdot x.\end{aligned}}$

Also erhalten wir als Gleichung der Parabel $y^{2}=2p\cdot x$ oder $y=\pm {\sqrt {2p\cdot x}}$. Da nun bei wachsendem x auch y wachsen muß, laufen beide Äste der Parabel ins Unendliche. Für negatives x wird y imaginär, was bedeutet, daß kein Punkt der Parabel links der Ordinate liegen kann.

Falls der Scheitel im Ursprungspunkt oder rechts vom Ursprungspunkt des Achsensystems angenommen wird.

Aus $y^{2}=2p\cdot x$ folgt $2p:y=y:x$, das heißt, die Ordinate jedes Parabelpunkts ist die mittlere Proportionale zwischen dem „Parameter“ 2p und der Abszisse des Punktes. Schließlich kann man für zwei Punkte einer Parabel, die den Parameter 2p hat, aus den Gleichungen $y_{1}^{2}=2p-x_{1}$ und $y_{2}^{2}=2p-x_{2}$ feststellen, daß $x_{1}:x_{2}=y_{1}^{2}:y_{2}^{2}$, das heißt, daß sich die Abszissen zweier Punkte der Parabel so verhalten wie die Quadrate der Ordinaten dieser Punkte.

Als Tangente für den Berührungspunkt $P_{1}(x_{1},y_{1})$ erhalten wir in analoger Art wie bei der Ellipse und der Hyperbel ${\textstyle y-y_{1}={\frac {p}{y_{1}}}(x-x_{1})}$ und für die Normale ${\textstyle y-y_{1}=-{\frac {y_{1}}{p}}(x-x_{1})}$.

Damit hätten wir unsere kurze Einführung in die analytische Geometrie eigentlich beendigt. Wer sich in dieses herrliche Gebiet der Geometrie weiter vertiefen will, wird überall hiezu leichte und ausführliche Behelfe finden. Insbesondere ist ja auch von hier der Übergang zur höheren Analysis, zur Differential- und Integralrechnung zu gewinnen, für den wir in unserem Buche „Mathematik von A bis Z“ eine Brücke zu schlagen versuchten.

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