Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 080b

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Mathematik auf Deutsch - 30

BM1451 - BM1460

BM1451

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a) 1; 2; 3; 4; 5; 6

b) 3; 6; 9; 12; 15; 18

BM1452

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a) 2; 4; 6; 8; 10; 12

b) 3; 5; 7; 9; 11; 13

BM1453

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a) 48; 42; 36; 30; 24; 18

b) 24; 21; 18; 15; 12; 9

BM1454

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a) 3; 5; 7; 9; 11

b) 2;

{\tfrac {10}{3}}

;

{\tfrac {14}{3}}

; 6;

{\tfrac {22}{3}}

BM1455

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a)

{\tfrac {5}{3}}

;

{\tfrac {7}{5}}

;

{\tfrac {9}{7}}

;

{\tfrac {11}{9}}

;

{\tfrac {13}{11}}

b)

{\tfrac {3}{5}}

;

{\tfrac {5}{7}}

;

{\tfrac {7}{9}}

;

{\tfrac {9}{11}}

;

{\tfrac {11}{13}}

BM1456

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a) 1; 2; 3; 4; 5; 6

b) 4; 8; 12; 16; 20; 24

BM1458

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a) 1; 3; 5; 7; 9; 11

b) 2; 4; 6; 8; 10; 12

BM1459

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a) 46; 40; 34; 28; 22; 16

b) 23; 20; 17; 14; 11; 8

BM1460

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a) 2; 5; 8; 11; 14

b) 3;

{\tfrac {15}{2}}

; 12;

{\tfrac {33}{2}}

; 21

BM1461 - BM1470

BM1461

Stelle fest, ob die Zahlenfolgen „a“ und „b“ proportional sind! Begründe Deine Feststellung! Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

a)

{\tfrac {3}{2}}

;

{\tfrac {5}{4}}

;

{\tfrac {7}{6}}

;

{\tfrac {9}{8}}

;

{\tfrac {11}{10}}

b)

{\tfrac {2}{3}}

;

{\tfrac {4}{5}}

;

{\tfrac {6}{7}}

;

{\tfrac {8}{9}}

;

{\tfrac {10}{11}}

BM1462

Wie lauten die Glieder der 2. Folge?

---

a)

1. Folge	x	1	2	3	4	5	6
2. Folge	${\tfrac {2}{3}}$ x

---

b)

1. Folge	x	1	2	3	4	5	6
2. Folge	${\tfrac {3}{4}}$ x

---

c)

1. Folge	p	2	4	6	8	10	12
2. Folge	p - ${\tfrac {3}{2}}$

---

d)

1. Folge	p	1	3	5	7	9	11
2. Folge	p - ${\tfrac {1}{2}}$

BM1463

Gegeben ist eine Zahlenfolge und ein Proportionalitätsfaktor k.

Schreibe jeweils zu der gegebenen Zahlenfolge die zu ihr proportionale auf!

---

Zahlenfolge:

{\tfrac {7}{5}}

; 2;

{\tfrac {16}{3}}

; 6; 8,2

a) k = 3

b) k =

{\tfrac {2}{5}}

BM1464

Gegeben ist eine Zahlenfolge und ein Proportionalitätsfaktor k.

Schreibe jeweils zu der gegebenen Zahlenfolge die zu ihr proportionale auf!

---

Zahlenfolge: 3;

{\tfrac {9}{4}}

;

{\tfrac {17}{5}}

; 8; 9,3

a) k = 4

b) k =

{\tfrac {3}{5}}

BM1465

Gegeben sind sind die Mengen M und N.

Elemente der Menge N sollen den Elementen der Menge M jeweils so zugeordnet werden, dass Proportionalit entsteht!

Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

M = {2; 0,5; 1; 5;

{\tfrac {2}{3}}

; 11}

M = {1,5; 2; 15; 3; 33; 6}

BM1466

Gegeben sind sind die Mengen M und N.

Elemente der Menge N sollen den Elementen der Menge M jeweils so zugeordnet werden, dass Proportionalit entsteht!

Gib den jeweiligen Proportionalitätsfaktor an!

---

M = {2;

{\tfrac {3}{4}}

; 1; 5; 0,5; 9}

N = {36; 2; 8; 20; 3; 4}

BM1467

Proportionalität

---

Zwei Größen heißen zueinander proportional, wenn sich jede Maßzahl der einen Größe aus der zugehörigen Maßzahl der anderen Größe durch Multiplikation mit einem einheitlichen Faktor, dem Proportionalitätsfaktor, ergibt.

Arbeitszeit t	in h	1	2	3	4	5	6	7	8
Anzahl der Motoren	n	30	60	90	120	150	180	210	240

---

Wertetabelle (= eine Tabelle mit Werten)

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Als Zeichen für die Proportionalität verwenden wir das Symbol „~“ (lies: „proportional zu“).

Die Anzahl der Motoren n ist proportional zur Arbeitszeit t.

n ~ t

---

Mit Hilfe der Proportionalitätsfaktoren können wir diese Proportionalitäten auch als Gleichung schreiben:

n = 30 * t

Der Proportionalitätsfaktor 30 ist die Anzahl der Motoren in 1 h.

BM1468

Koordinatensystem

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Ein Koordinatensystem dient zur eindeutigen Bezeichnung der Position von Punkten und Objekten in einem geometrischen Raum.

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Verwendung:

Koordinatensysteme sind Hilfsmittel der Mathematik zur Positionsangabe. Sie werden in vielen Wissenschaften und in der Technik verwendet. Auch im Alltag werden Koordinatensysteme häufig verwendet:

Längen- und Breitengrade bilden ein geographisches Koordinatensystem der Erde.
In Spielnotationen wie bei Schiffe versenken oder beim Schachbrett und in Tabellenkalkulationen werden Felder mit Koordinaten wie B3 bezeichnet.
Wanderkarten und Stadtpläne sind meist in Koordinaten-Quadrate eingeteilt.
Die Lage von Hydranten wird durch ein vom Hinweisschild ausgehendes Koordinatensystem beschrieben.

Hydrant (Schild)
Schachbrett
Ortsplan

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Koordinate:

Eine Koordinate ist eine von mehreren Zahlen, mit denen man die Lage eines Punktes in einer Ebene oder in einem Raum angibt. Jede der zur Beschreibung erforderlichen Dimensionen wird durch eine Koordinate ausgedrückt. Wird ein Ort durch zwei Koordinaten beschrieben, beispielsweise auf der Landkarte, spricht man von einem „Koordinatenpaar“.

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Koordinatenursprung:

Der Koordinatenursprung bezeichnet den Punkt in einem Koordinatensystem oder einer Karte, an dem alle Koordinaten den Wert Null annehmen. Er wird auch Nullpunkt genannt.

Das am häufigsten verwendete Koordinatensysteme – dies gilt besonders für die Schulmathematik – ist das kartesische Koordinatensystem.

BM1469

Kartesisches Koordinatensystem

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orthogonal = rechtwinklig

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Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem. Es ist nach dem latinisierten Namen Cartesius des französischen Mathematikers René Descartes benannt, der das Konzept der „kartesischen Koordinaten“ bekannt gemacht hat. Im zwei- und dreidimensionalen Raum handelt es sich um das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, da sich viele geometrische Sachverhalte in diesem anschaulich und übersichtlich beschreiben lassen.

---

René Descartes [ʁəˈne deˈkaʁt] (latinisiert Renatus Cartesius) war ein französischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler.

BM1470

Die beiden Richtungsachsen stehen orthogonal aufeinander, schneiden sich also im 90°-Winkel. Die Koordinatenlinien sind Geraden in konstantem Abstand voneinander. Die die horizontale Achse bezeichnet man als Abszissenachse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“). Die vertikale Achse heißt Ordinatenachse (von lat. linea ordinata „geordnete Linie“).

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Häufig werden in der Mathematik die Variablen x und y zur Bezeichnung der Koordinaten verwendet, zum Beispiel dann, wenn Geraden oder Kurven durch Gleichungen beschrieben werden. Man spricht dann auch von der x-Achse statt Abszissenachse und der y-Achse statt Ordinatenachse. Den x- bzw. y-Wert eines Punktes bezeichnet man als Abszisse bzw. Ordinate. Manchmal werden auch die Koordinatenachsen abkürzend Abszisse oder Ordinate genannt.

BM1471 - BM1480

BM1471

Das rechtwinklige Koordinatensystem

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Je zwei einander entsprechende Glieder zweier Zahlenfolgen bilden ein Zahlenpaar. So bilden die in Tabelle 1 jeweils übereinander stehenden Zahlen solche Zahlenpaare.

Tabelle 1:

1. Folge	5	10	15	20	25	30
2. Folge	7	13	19	25	31	37

Wenn festgelegt wird, welche Zahl eines Zahlenpaares als erste genannt werden soll, so nennen wir ein solches Zahlenpaar geordnet.

geordnetes Zahlenpaar

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Beispiel für ein Zahlenpaar:

(7, 5)

Achtung: Mengen weden in geschweiften Klammern geschrieben

{7, 5}

---

Deshalb gilt:

(7, 5) ≠ (5, 7)

ABER:

{7, 5} = {5, 7}

BM1472

Eine Menge A enthält 3 Elemente und eine Menge B 4 Elemente. Die Elemente sind Zahlen.

Wie viel mögliche Paare kann ich bilden, wenn aus jeder der beiden Mengen jeweils eine Element genommen wird?

BM1473

a)

Bilde aus den Elementen von M und N alle möglichen geordneten Paare!

Dabei soll die erste Zahl des Zahlenpaares aus der Menge M sein und die zweite Zahl des Zahlenpaaes aus der Menge N.

---

M = {2;

{\tfrac {1}{2}}

; 0,7}

N = {1,5; 9}

Lösung BM1473a
Die möglichen Paare aus den Mengen M und N sind: (2; 1,5) (2; 9) ( ${\tfrac {1}{2}}$ ; 1,5) ( ${\tfrac {1}{2}}$ ; 9) (0,7; 1,5) (0,7; 9)

---

b)

Ordne die geordneten Paare in Tabellenfom an!

Lösung BM1473b

Tabelle 1:

x	2	2	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	0,7	0,7
y	1,5	9	1,5	9	1,5	9

BM1474

Ähnlich, wie man gebrochene Zahlen durch Punkte auf einem Teil einer Geraden, nämlich einem Zahlenstrahl darstellen kann, kann man auch geordnete Zahlenpaare durch Punkte in einem Teil der Zeichenebene graphisch darstellen.

a)

Welche geordneten Zahlenpaare gehören zu den Punkten A und B im kartesischen Koordinatensystem in Bild 2?

Lösung BM1474 a)
A = (4; 2,5) B = (2; 4)

---

Verständnisfrage:

b)

„Ein Zahlenstrahl ist ein Teil einer Geraden.“ Was ist damit gemeint? Warum ist ein Zahlenstrahl nur ein Teil einer Geraden? Was unterscheidet die Gerade vom Zahlenstrahl?

Lösung BM1474 b)
Darstellung von Geraden im kartesischen Koordinatensystem Gerade: Eine gerade Linie oder kurz Gerade ist ein Element der Geometrie. Die kürzeste Verbindung zweier Punkte ist gerade und wird als Strecke bezeichnet. Eine gerade, unendlich lange, unendlich dünne und in beide Richtungen unbegrenzte Linie nennt man eine Gerade. --- Strahl Strahl: Ein Strahl bzw. eine Halbgerade ist in der Geometrie - anschaulich gesprochen - eine gerade Linie, die auf einer Seite begrenzt ist, sich aber auf der anderen Seite ins Unendliche erstreckt. Eine Halbgerade ist ein geometrisches Objekt, das entsteht, wenn ein Punkt eine Gerade, auf der er liegt, teilt. Ein Strahl verfügt über eine Orientierung: Er geht von einem Anfangspunkt aus. Strahlen und Halbgeraden müssen demnach unterschieden werden von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Strecken, die auf beiden Seiten begrenzt sind. --- Strecke [AB] zwischen den beiden Punkten A und B Strecke: Eine Strecke ist eine gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird; sie ist die kürzeste Verbindung ihrer beiden Endpunkte. Die Begrenzung einer Strecke durch diese Punkte unterscheidet sie von Geraden, die beidseitig unbegrenzt sind, und von Halbgeraden, die nur auf einer Seite begrenzt sind. --- Zahlengerade Zahlengerade: Unter Zahlengerade versteht man im Mathematikunterricht die Veranschaulichung der Zahlen als Punkte auf einer Geraden. Eine Zahlengerade geht in beiden Richtungen (positive und negative Zahlen) unendlich weiter. --- Zahlenstrahl: Der Zahlenstrahl startet an einem Punkt (meist bei der Null) und geht in eine Richtung unendlich weiter. Dagegen geht die Gerade in beide Richtungen unendlich weiter.

---

c)

Warum werden geordnete Paare nur auf einem Teil der Zeichenebene dargestellt? Wo ist der andere Teil der Zeichenebene? Was ist mit dem anderen Teil der Zeichenebene?

Lösung BM1474 c)
Bild 1: Ebene (Zwei sich schneidende Ebenen) Ebene: Die Ebene ist ein Grundbegriff der Geometrie. Allgemein handelt es sich um ein unbegrenzt ausgedehntes flaches zweidimensionales Objekt. Man kann sie sich eine Ebene als Abstraktion der Zeichenebene (Papier) vorstellen - als unendlich ausgedehnt und unendlich flach. So wie die Gerade eine als unendlich dünn und unendlich lang vorgestellte Abstraktion des gezeichneten Strichs (Bleistiftlinie) ist. --- Bild 2: Kartesisches Koordinatensystem Bild 3: Kartesisches Koordinatensystem - nur mit positiven Zahlen Bild 4 Eine Ebene geht in alle Richtungen unendlich weiter. In wie viel Richtungen geht eine Ebene? Eine Ebene ist zweidimensional (beispielsweise: rechts-links und oben-unten) Wir können also sagen, dass eine Ebene in 4 Richtungen unendlich weiter geht: nach rechts, nach links Ein Koordinatensystem für positive Zahlen (bisher haben wir die negativen Zahlen nur abgehandelt) geht nur in zwei Richtungen unendlich weiter: nach rechts und nach oben. Durch den Nullpunkt ist es aber nach unten und nach links begrenzt. Deshalb ist eine Koordinatensystem für positive Zahlen nur ein Teil der Zeichenebene.

BM1475

Wir zeichnen zwei senkrecht aufeinander stehende Zahlenstrahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt Null.

Diese beiden Zahlenstrahlen nennen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

---

Es gibt neben rechtwinkligen zweidimensionalen Koordinatensystemen (Bild 1: b) auch schiefe Koordinatensysteme (Bild 1: a), krummelinige Koordinatensysteme (krummlinig = mit krummen Linien) (Bild 1: d),

rechtwinklige dreidimensionale Koordinatensysteme (Bild 2)

Polarkoordinatensysteme (Bild 3),

Kugelkoordinatensysteme (Bild 4),

elliptische Koordinatensyssteme (Bild 5),

Torus-Koordinatensysteme (Bild 6),

Zylinderkoordinatensysteme (Bild 7) u. a.

BM1476

Rechtwinkliges Koordinatensystem

---

Wir zeichnen zwei senkrecht aufeinander stehende Zahlenstrahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt Null. Diese beiden Zahlenstrahlen nennen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

Jeder der beiden Strahlen heißt Koordinatenachse. Die Achsen bezeichnen wir häufig mit „x“ und „y“.

Die mit „x“ bezeichnete Koordinatenachse heißt Abszissenachse, die mit „y“ bezeichnete Ordinatenachse.

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BM1477

Um ein geordnetes Zahlenpaar (x; y) in einem Koordinatensystem darzustellen, markieren wir auf der Abszissenachse die erste Zahl und auf der Ordinatenachse die zweite Zahl des Paares durch je einen Punkt. (Bild 1)

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In jedem dieser beiden Punkte errichten wir die Senkrechte auf der betreffenden Achse. (Bild 2)

---

Der Schnittpunkt dieser Senkrechten ist dann die graphische Darstellung des betreffenden geordneten Zahlenpaares.

Diesen Schnittpunkt bezeichnen wir mit P (x; y). (Bild 3)

„P“ steht für „Punkt“. Wir können natürlich auch andere Buchstaben zur Bezeichung von Buchstaben verwenden.

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Wir nennen die Zahlen x und y die Koordinaten des Punktes P (x; y).

Die Zahl x heißt Abszisse des Punktes P, und die Zahl y heißt Ordinate des Punktes P.

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Der Punkt

O(0\mid 0)

, in dem sich die beiden Achsen treffen, wird Koordinatenursprung oder origo (lat. „Ursprung“) genannt.

Für einen Punkt

P

mit den Koordinaten

x

und

y

schreibt man

P=(x,y)

oder auch

P(x|y)

.

BM1478

Es sollen die geordneten Zahlenpaare (3; 5) und (5; 3) in einem Koordinatensystem veranschaulicht werden.

Die Abszisse des Punktes P₁ ist 3, seine Ordinate 5.

Die Abszisse des Punktes P₂ ist 5, seine Ordinate 3.

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Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt der Achsen?

Lösung BM1478
Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt der Achsen? (0; 0)

BM1479

Darstellung von Proportionalität im Koordinatensystem

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Der Zusammenhang, in dem zwei Größen stehen, lässt sich in einem Koordinatensystem graphisch darstellen.

Dazu wählen wir für jede der beiden Größen eine Achse, bezeichnen diese mit der entsprechenden Variablen und tragen Paare einander entsprechender Maßzahlen als Punkte in das Koordinatensystem ein. Dabei ist es mitunter günstig, auf beiden Achsen verschieden große Einheitsstrecken zu wählen.

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Bild 1 zeigt den Zusammenhang zwischen der Stückzahl n und der Anzahl der Stunden h - beispielsweise bei der Produktion von irgendwelchen Teilen.

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Bild 2 zeigt den Zusammenhang zwischen Liter und Minuten - beispielsweise wie viel Wasser durch eine Leitung fließt.

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Wenn Proportionalität besteht (wenn es ein proportionales Verhältnis ist), liegen aller Punkte auf einer gemeinsamen Geraden, die durch den Anfangspunkt Null geht.

Das trifft für die grafische Darstellung aller Proportionalitäten zu.

---

Liegt keine Proportionalität vor, so liegen die Punkte der graphischen Darstellung auch nicht auf einer solchen Geraden. (Bild 3)

BM1480

direkte Proportionalität

direkt proportional

---

indirekte Proportionalität

indirekt proportional

---

Proportionalität = direkte Proportionalität

Zwischen zwei veränderlichen Größen besteht Proportionalität, wenn sie immer in demselben Verhältnis zueinander stehen.

Proportionale Größen sind verhältnisgleich, das heißt, bei proportionalen Größen ist die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der einen Größe stets mit einer Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der anderen Größe verbunden, oder allgemein gesagt: Die eine Größe geht aus der anderen durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervor. Das Verhältnis der beiden Größen wird Proportionalitätsfaktor oder Proportionalitätskonstante genannt.

Der Quotient (das Ergebnis der Division) ist immer gleich.

y : x = k

---

indirekte Proportionalität:

Indirekte Proportionalität besteht zwischen zwei Größen, wenn sich eine proportional zum Kehrwert der anderen verhält, oder gleichbedeutend, das Produkt der Größen konstant ist.

y * x = k

---

indirekte Proportionalität = umgekehrte Proportionalität = reziproke Proportionalität

indirekt proportional = umgekehr proportional

Warum indirekt proportional?

y * x = k // :x

y = k : x

y =

{\tfrac {k}{x}}

(indirekt proportional)

---

y : x = k // *x

y = k * x (direkt proportional)

---

Die eine Größe ist dann eine reziprok proportionale Funktion der anderen Größe.

Die Verdopplung (Verdreifachung, Halbierung, ...) der einen ist mit einer Halbierung (Drittelung, Verdopplung, ...) der anderen verbunden.

Beispiel: Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Fahrtdauer.

---

Bild 1: Funktionsgraph einer indirekten Proportionalität

Beispiel: Gegeben ist ein Rechteck, 8 cm breit und 0,5 cm hoch.

Gesucht ist ein flächengleiches Rechteck der Breite 5 cm.

Die konstante Fläche ist A = 8 cm · 0,5 cm = 4 cm².

Die gesuchte Höhe ist A/5 cm = 0,8 cm.

Nebenstehendes Diagramm (Bild 1) zeigt die beiden Wertepaare als markierte Punkte.

An der Hyperbel y = A/x kann man weitere flächengleiche Rechtecke ablesen, z.B. 1 cm breit, 4 cm hoch.

---

Schreibweise:

Für „a ist umgekehrt proportional zu b“ schreibt man mit dem Proportionalitätszeichen kurz:

a\sim {\frac {1}{b}}

---

Für „a ist direkt proportional zu b“ schreibt man mit dem Proportionalitätszeichen kurz:

a\sim {\frac {b}{1}}

oder besser

a\sim b

BM1481 - BM1490

BM1481

Wir untersuchen die Zahlenfolgen

I) 5; 10; 20; 25; 30 und

II) 2; 1;

{\tfrac {2}{3}}

;

{\tfrac {1}{2}}

;

{\tfrac {2}{5}}

;

{\tfrac {1}{3}}

auf Proportionalität.

Dazu müssen wir feststellen, ob sich jedes Glied der einen Folge aus dem entsprechenden Glied der anderen Folge durch Multiplikation mit demselben Faktor ergibt.

Es gilt aber z. B.:

2 =

{\tfrac {2}{5}}

* 5 und

{\tfrac {1}{2}}

=

{\tfrac {1}{40}}

* 20

Die ersten und vierten Glieder gehen also durch Multiplikation mit verschiedenen Faktoren auseinander hervor. Ohne noch weitere Gleider untersuchen zu müssen, wissen wir damit, dass die beiden Folgen nicht proportional zueinander sind.

BM1481

Wir ändern die Folge I) aus der vorherigen Übung ab, indem wir alle Glieder durch deren Reziproke ersetzen:

Ia)

{\tfrac {1}{5}}

;

{\tfrac {1}{10}}

;

{\tfrac {1}{15}}

;

{\tfrac {1}{20}}

;

{\tfrac {1}{25}}

;

{\tfrac {1}{30}}

;

II) 2; 1;

{\tfrac {2}{3}}

;

{\tfrac {1}{2}}

;

{\tfrac {2}{5}}

;

{\tfrac {1}{3}}

Jetzt gehen die Glieder aus Folge II) aus den entsprechenden Gleidern der Folge Ia) durch Multiplikation mit einem einheitlichen Faktor, nämlich mit 10, hervor.

Die Folgen Ia) und II) sind also zueinander proportional.

---

Wir können auch die Folge II) durch Übergang zu den Reziproken abändern:

I) 5; 10; 20; 25; 30

IIa)

{\tfrac {1}{2}}

; 1;

{\tfrac {3}{2}}

; 2;

{\tfrac {5}{2}}

; 3

Die Folgen I) und IIa) sind ebenfalls zueinander proportional, da sich die Glieder der Folge IIa) aus den entsprechenden der Folge I) durch Multiplikation mit

{\tfrac {1}{10}}

ergeben.

---

Diese Beziehung zwischen den ursprünglichen Folgen I) und II) aus der Übung BM1480 nennt man umgekehrte Proportionalität.

BM1482

graphische Darstellung einer umgekehrten Proportionalität

Definition:

Zwei Zahlenfolgen heißen zueinander umgekehrt proportional, wenn sich jedes Glied der einen Folge aus dem Reziproken des entsprechenden Gliedes der anderen Folge durch Multiplikation mit einem einheitlichen Faktor ergibt.

---

Im Unterschied zur umgekehrten Proportionalität nennt man die von uns zuerst untersuchte Proportionalität auch direkte Proportionalität.

Um festzustellen, ob zwei Zahlenfolgen zueinander umgekehr proportional sind, bildet man die Produkte je zweier entsprechender Zahlen. Sind dann diese Produkte alle einander gleich, so sind die bieden Zahlenfolgen zueinander umgekehrt proportional.

BM1483

Stelle den Zusammenhang zwischen den Zahlenfolgen I) und II) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar!

Ermittle den Proportionalitätsfaktor, falls die Zahlenfolgen zueinander proportional sind!

---

I) 1; 2; 3; 4; 5; 6

II) 3; 6; 9; 12; 15; 18

Lösung BM1483
Proportionalitätsfaktor: 3 1 * 3 = 3 2 * 3 = 6 3 * 3 = 9 4 * 3 = 12 5 * 3 = 15 6 * 3 = 18 I) 1; 2; 3; 4; 5; 6 II) 3; 6; 9; 12; 15; 18

BM1484

Stelle den Zusammenhang zwischen den Zahlenfolgen I) und II) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar!

Ermittle den Proportionalitätsfaktor, falls die Zahlenfolgen zueinander proportional sind!

---

I) 2; 3,5; 5; 6,5; 8

II) 3; 5,25; 7,5; 9,75; 12

Lösung BM1484
Proportionalitätsfaktor: 1,5 2 * 1,5 = 3 3,5 * 1,5 = 5,25 5 * 1,5 = 7,5 6,5 * 1,5 = 9,75 8 * 1,5 = 12 I) 2; 3,5; 5; 6,5; 8 II) 3; 5,25; 7,5; 9,75; 12

BM1485

Stelle den Zusammenhang zwischen den Zahlenfolgen I) und II) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar!

Ermittle den Proportionalitätsfaktor, falls die Zahlenfolgen zueinander proportional sind!

---

I) 2; 4; 6; 8; 10

II) 18; 9; 6; 4,5; 3,6

Lösung BM1485
Ein indirektes Verhältnis (indirekte Proportionalität) zweier Größen x und y liegt vor, wenn bei einer Verdopplung von x die andere Größe y halbiert wird, wenn bei einer Verdreifachung von x die andere Größe y gedrittelt wird, wenn sich bei einer Halbierung von x die andere Größe y verdoppelt, wenn dem k-Fachen von x das 1/k-Fache von y entspricht. --- Proportionalitätsfaktor der indirekten Proportionalität: 36 2 * 18 = 36 4 * 9 = 36 6 * 6 = 36 8 * 4,5 = 36 10 * 3,6 = 36 --- y * x = k // :x y = k : x y = ${\tfrac {k}{x}}$ (indirekt proportional) k heißt Proportionalitätsfaktor, besser: Antiproportionalitätsfaktor. y = K * ${\tfrac {1}{x}}$ --- ${\tfrac {36}{2}}$ = 18 ${\tfrac {36}{4}}$ = 9 ${\tfrac {36}{6}}$ = 6 ${\tfrac {36}{8}}$ = 4,5 ${\tfrac {36}{10}}$ = 3,6 I) 2; 4; 6; 8; 10 II) 18; 9; 6; 4,5; 3,6

BM1486

Stelle den Zusammenhang zwischen den Zahlenfolgen I) und II) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar!

Ermittle den Proportionalitätsfaktor, falls die Zahlenfolgen zueinander proportional sind!

---

I) 1; 2; 3; 4; 5; 6

II) 2; 4; 6; 8; 10; 12

Lösung BM1486
Proportionalitätsfaktor: 2 1 * 2 = 2 2 * 2 = 4 3 * 2 = 6 4 * 2 = 8 5 * 2 = 10 6 * 2 = 12 I) 1; 2; 3; 4; 5; 6 II) 2; 4; 6; 8; 10; 12

BM1487

Stelle den Zusammenhang zwischen den Zahlenfolgen I) und II) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar!

Ermittle den Proportionalitätsfaktor, falls die Zahlenfolgen zueinander proportional sind!

---

I) 2; 4,5; 7; 9,5; 12

II) 3; 6,75; 10,5; 14,25; 18

Lösung BM1487
Proportionalitätsfaktor: 1,5 2 * 1,5 = 3 4,5 * 1,5 = 6,75 7 * 1,5 = 10,5 9,5 * 1,5 = 14,25 12 * 1,5 = 18 I) 2; 4,5; 7; 9,5; 12 II) 3; 6,75; 10,5; 14,25; 18

BM1488

Stelle den Zusammenhang zwischen den Zahlenfolgen I) und II) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar!

Ermittle den Proportionalitätsfaktor, falls die Zahlenfolgen zueinander proportional sind!

---

I) 2; 4; 6; 8; 10

II) 12; 6; 4; 3; 2,4

Lösung BM1488
Ein indirektes Verhältnis (indirekte Proportionalität) zweier Größen x und y liegt vor, wenn bei einer Verdopplung von x die andere Größe y halbiert wird, wenn bei einer Verdreifachung von x die andere Größe y gedrittelt wird, wenn sich bei einer Halbierung von x die andere Größe y verdoppelt, wenn dem k-Fachen von x das 1/k-Fache von y entspricht. --- Proportionalitätsfaktor der indirekten Proportionalität: 24 2 * 12 = 24 4 * 6 = 24 6 * 4 = 24 8 * 3 = 24 10 * 2,4 = 24 --- y * x = k // :x y = k : x y = ${\tfrac {k}{x}}$ (indirekt proportional) k heißt Proportionalitätsfaktor, besser: Antiproportionalitätsfaktor. y = K * ${\tfrac {1}{x}}$ --- ${\tfrac {24}{2}}$ = 12 ${\tfrac {24}{4}}$ = 6 ${\tfrac {24}{6}}$ = 4 ${\tfrac {24}{8}}$ = 3 ${\tfrac {24}{10}}$ = 2,4 I) 2; 4; 6; 8; 10 II) 12; 6; 4; 3; 2,4

BM1489

Indirekte Proportionalität

---

Ein indirektes Verhältnis (indirekte Proportionalität) zweier Größen x und y liegt vor:

wenn bei einer Verdopplung von x die andere Größe y halbiert wird,

wenn bei einer Verdreifachung von x die andere Größe y gedrittelt wird,

wenn sich bei einer Halbierung von x die andere Größe y verdoppelt,

wenn dem k-Fachen von x das 1/k-Fache von y entspricht.

---

direkte proportional:

Wenn 2 kg Äpfel 3,10 Euro kosten, dann kosten 4 kg 6,20 Euro.

---

indirekt proportional:

Wenn 2 Handwerker 8 Stunden für eine bestimmte Arbeit brauchen (z. B. um eine Wan zu reparieren), dann brauchen 4 Handwerker nur 4 Stunden.

---

Wenn 2 kg Äpfel 3,10 Euro kosten, dann kosten 4 kg 6,20 Euro. (direkt proportional)

1. Folge	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆
1. Folge (kg)	1	2	3	4	5	6

2. Folge	y₁	y₂	y₃	y₄	y₅	y₆
2. Folge (Preis)	1,55	3,10	4,65	6,20	7,75	9,30

---

Wenn 2 Handwerker 8 Stunden für eine bestimmte Arbeit brauchen, dann brauchen 4 Handwerker nur 4 Stunden. (indirekt proportional)

1. Folge	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆
1. Folge (n Handwerker)	1	2	3	4	5	6

2. Folge	y₁	y₂	y₃	y₄	y₅	y₆
2. Folge (Stunden)	16	8	5,3	4	3,2	2,6

BM1490

direkt oder indirekt proportional?

---

direkt proportional	indirekt proportional
gleichmäßiges Wachstum	gegenläufiges Wachstum
je mehr (Folge I), desto mehr (Folge II)	je mehr (Folge I), desto weniger (Folge II)
y/x = konstant	x * y = konstant

nicht Proportional

Nicht Proportional bedeutet, dass keine indirekte oder direkte Proportionalität besteht.

---

indirekt proportional wird auch als produktgleich bezeichnet

BM1491 - BM1500

BM1491

In Abb. 1 ist durch die Strahlen (a), (b), (c) und (d) der Zusammenhang je zweier zueinander proportionaler Zahlenfolgen dargestellt.

Gib für die Strahlen (a) und (b)von jeder Zahlenfolge fünf Glieder an und ermittle den Proportionalitätsfaktor an.

Führe die gleichen Schritte für Strahl (c) und (d) aus!

Lösung BM1491
a) I) 0,5; 1; 1,5; 1,7; 2 II) 1,8; 3,5; 5,3; 6; 7 --- b) I) 1; 2; 4; 6; 8 II) 0,25; 0,5; 1; 1,5; 2 --- c) I) 1; 2; 3; 5;6 II) 0,7; 1,4; 2; 3,3; 4 --- d) I) 1; 1,5; 2; 3;4 II) 1,5; 2,3; 3; 4,5; 6

BM1492

Verhältnis

Verhältnisgleichung

---

direkte Proportionalität

indirekte Proportionalität

---

Verhältnislgeichung

x₁ : y₁ = x₂ : y₂

Lies: x₁ verhält sich zu y₁ wie x₂ zu y₂

Oder kürzer: x₁ zu y₁ wie x₂ zu y₂

----

Wir können die Verhältnisgleichung noch anschaulicher mit Brüchen darstellen:

{\tfrac {x_{1}}{y_{1}}}

=

{\tfrac {x_{2}}{y_{2}}}

1. Folge	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆
1. Folge	5	10	15	20	25	30

2. Folge	y₁	y₂	y₃	y₄	y₅	y₆
2. Folge	15	30	45	60	75	90

{\tfrac {x_{1}}{y_{1}}}

=

{\tfrac {x_{2}}{y_{2}}}

---

In unserem konkreten Fall (mit den gegebenen Folgen 1 und 2):

{\tfrac {5}{15}}

=

{\tfrac {10}{30}}

denn:

{\tfrac {5}{15}}

= 1/3

und

{\tfrac {10}{30}}

= 1/3

----

Bei indirekter Proportionalität gilt die Gleichung:

x₁ * y₁ = x₂ * y₂

BM1493

a)

{\tfrac {a}{b}}

=

{\tfrac {c}{d}}

Stelle diese Gleichung so um, dass a und c isoliert auf der linken Gleichungsseite stehen!

Lösung BM149??? a)
${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$ // * b a = ${\tfrac {b*c}{d}}$ // : c ${\tfrac {a}{c}}$ = ${\tfrac {b}{d}}$

b)

{\tfrac {x_{1}}{y_{1}}}

=

{\tfrac {x_{2}}{y_{2}}}

(direkte Proportionalität)

Stelle diese Gleichung so um, dass x₁ und x₂ allein auf der linken Gleichungsseite stehen!

Lösung BM149??? b)
${\tfrac {x_{1}}{y_{1}}}$ = ${\tfrac {x_{2}}{y_{2}}}$ // * y₁ x₁ = ${\tfrac {x_{2}*y_{1}}{y_{2}}}$ // : x₂ ${\tfrac {x_{1}}{x_{2}}}$ = ${\tfrac {y_{1}}{y_{2}}}$

c)

a * b = c * d

Stelle diese Gleichung so um, dass a und b allein auf der linken Gleichungsseite stehen!

Lösung BM149??? c)
a * b = c * d // : c ${\tfrac {a*b}{c}}$ = d // : b ${\tfrac {a}{c}}$ = ${\tfrac {d}{b}}$

d)

x₁ * y₁ = x₂ * y₂ (indirekte Proportionalität)

Stelle diese Gleichung so um, dass x₁ und x₂ allein auf der linken Gleichungsseite stehen!

Lösung BM149??? d)
x₁ * y₁ = x₂ * y₂ // : x₂ ${\tfrac {x_{1}*y_{1}}{x_{2}}}$ = ${y_{2}}$ // : y₁ ${\tfrac {x_{1}}{x_{2}}}$ = ${\tfrac {y_{1}}{y_{2}}}$

BM1494

direkte Proportionalität:

{\tfrac {x_{1}}{y_{1}}}

=

{\tfrac {x_{2}}{y_{2}}}

oder:

{\tfrac {x_{1}}{x_{2}}}

=

{\tfrac {y_{1}}{y_{2}}}

---

indirekte Proportionalität:

x₁ * y₁ = x₂ * y₂

oder

{\tfrac {x_{1}}{x_{2}}}

=

{\tfrac {y_{1}}{y_{2}}}

---

Bild 1: Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 10 cm² kann beispielsweise die Seitenlängen a=5 cm und b=2 cm haben.

Bild 2: Ein Rechteck mit dem Flächeninhalt 10 cm² kann aber auch viele andere Seitenlängen a und b haben.

I) Seite a [cm]	1,5	1,75	2	2,5	3	3,33	4	5	5,75	6,5
II) Seite b [cm]	6,66	5,71	5	4	3,33	3	2,5	2	2,33	1,54

(auf zwei Nachkommastellen gerundet)

In den angegebenen Zahlenfolgen zu Bild 2 gibt es einen oder mehrere Fehler. Kannst Du sie finden?

Lösung BM1494

I) Seite a [cm]	1,5	1,75	2	2,5	3	3,33	4	5	5,75	6,5
II) Seite b [cm]	6,66	5,71	5	4	3,33	3	2,5	2	1,74	1,54

Seite b, an der vorletzten Stelle 1,74 statt 2,33.

BM1495

Zwei Städte liegen 60 km voneinander entfernt. Legt man diese Entfernung mit einem Bus zurück, der mit gleichbleibender Geschwindigkeit von 60 km/h fährt, so benötigt man 1 h für diese Strecke. Fährt man auf einem Motorroller und hält die Geschwindigkeit 30

{\tfrac {km}{h}}

ein, so benötigt man 2 h. Ein Radfahrer würde bei der Geschwindigkeit 15 km/h sogar 4 h benötigen.

60 km/h
30 km/h
15 km/h

Geschwindigkeit v [km/h]	10	15	20	30	40	50	60
Zeit t [h]	6	4	3	2	${\tfrac {3}{2}}$	${\tfrac {6}{5}}$	1

Wir ergänzen die Tabelle um eine weitere Zeile in der Mitte:

Geschwindigkeit v [km/h]	10	15	20	30	40	50	60
Reziproke der Geschw. ${\tfrac {1}{v}}$	${\tfrac {1}{10}}$	${\tfrac {1}{15}}$	${\tfrac {1}{20}}$	${\tfrac {1}{30}}$	${\tfrac {1}{40}}$	${\tfrac {1}{50}}$	${\tfrac {1}{60}}$
Zeit t [h]	6	4	3	2	${\tfrac {3}{2}}$	${\tfrac {6}{5}}$	1

Jetzt gehen die Maßzahlen der zeit in der dritten Zeile durch Multiplikation mit einem einheitlichen Faktor aus den Reziproken der Maßzahlen für die Geschwindigkeit hervor.

Es gilt also: t ~

{\tfrac {1}{v}}

.

Die Zeit und die Geschwindigkeit sind also zueinander umgekehrt proportional.

Der Proportionalitätsfaktor 60 ist die Maßzahl der zurückgelegten Entfernung. Bezeichnen wir ihn mit s, so erhalten wir:

t = s *

{\tfrac {1}{v}}

oder

t =

{\tfrac {s}{v}}

---

Durch die graphische Darstellung der umgekehrten Proportionalität erhält man Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen - sondern auf einer Hyperbel.

BM1496

Geschwindigkeit

---

Geschwindigkeit ist ein grundlegender Begriff der klassischen Mechanik. Er beschreibt, wie schnell und in welcher Richtung ein Körper oder ein Phänomen (beispielsweise ein Wellenberg) im Lauf der Zeit seinen Ort verändert. Eine Geschwindigkeit wird durch ihren Betrag und die Bewegungsrichtung angegeben, es handelt sich um eine vektorielle Größe. Als Formelzeichen ist

{\vec {v}}

üblich, welches sich an das lateinische bzw. englische Wort für Geschwindigkeit anlehnt (lateinisch velocitas, englisch velocity).

---

Oft wird mit dem Wort Geschwindigkeit nur ihr Betrag gemeint (Formelzeichen „v“), der anschaulich gesprochen das momentane „Tempo“ der Bewegung wiedergibt, wie es beispielsweise im Auto vom Tachometer angezeigt wird. „v“ gibt an, welche Wegstrecke ein Körper innerhalb einer bestimmten Zeitspanne zurücklegt, wenn die Geschwindigkeit entsprechend lange konstant bleibt. Die international verwendete Einheit ist Meter pro Sekunde (m/s), gebräuchlich sind auch Kilometer pro Stunde (km/h) und – vor allem in der See- und Luftfahrt – Knoten (kn).

---

v =

{\tfrac {s}{t}}

---

v = s : t

---

v = s/t

---

v - Geschwindigkeit

s - Wegstrecke

t - Zeit

---

Beispiel:

v = 60 km/h

v = 7 m/s

---

a)

Stelle die Formel für die Geschwindigkeit (v =

{\tfrac {s}{t}}

) nach t um!

Lösung BM1496 a)
v = ${\tfrac {s}{t}}$ // * t // : v t = ${\tfrac {s}{v}}$

b)

Stelle die Formel für die Geschwindigkeit (v =

{\tfrac {s}{t}}

) nach s um!

Lösung BM1496 b)
v = ${\tfrac {s}{t}}$ // : t ${\tfrac {v}{t}}$ = s s = ${\tfrac {v}{t}}$

BM1497

Zweisatz

---

Der Zweisatz ist ein Begriff aus der Mathematikdidaktik. Er liefert ein Berechnungsverfahren für proportionale Wertepaare ausgehend vom Proportionalitätsfaktor (Grundwert). Der Begriff kommt daher, dass man dieses Proportionalitätsproblem typischerweise in zwei Sätzen formuliert und löst.

I. Das gegebene Grund-Verhältnis (entsprechender Wert für die Basiseinheit).
II. Der entsprechende Wert für eine Vielfachheit der Grundmenge.

Vor der Anwendung des Zweisatzes ist stets zu prüfen, ob die Voraussetzung einer proportionalen Zuordnung (in Beispiel 1: keine progressiven Preisrabatte, in Beispiel 2: konstante Geschwindigkeit) gegeben ist.

Zur Berechnung wird der Grundwert mit der Vielfachheit multipliziert.

---

Beispiel 1:

Ein kg Äpfel kostet 2 Euro. Wie viel kosten 3 kg?

Rechnung:

	Äpfel in kg	Preis in €	Rechne:
1.	1	2	*3
2.	3	6

Lösung: 3 kg Äpfel kosten 6 Euro.

---

Beispiel 2:

Ich fahre mit 80 km/h. Wie weit komme ich in 3 Stunden?

Rechnung:

	Zeit in Stunden	Strecke in km	Rechne:
1.	1	80	·3
2.	3	240

Lösung: Ich komme 240 km weit.

---

Variante 1:

Manchmal können auch mehrere Größen variiert werden.

Beispiel: Jedes Huhn legt pro Tag ein Ei. Wie viele Eier legen 10 Hühner in einer Woche?

---

Variante 2:

Auch die umgekehrte Richtung (Berechnung des Durchschnitts) spielt häufig eine Rolle, wenn der Wert für eine größere Menge gegeben ist.

Beispiel: Meine 20 Mitarbeiter erwirtschaften im Monat 200.000 Euro. Wie viel erwirtschaftet jeder Mitarbeiter durchschnittlich im Monat (am Tag)?

Diese Durchschnittswerte werden benötigt, wenn man von einem Verhältnis auf ein anderes schließen will

BM1498

Satz

---

Ein Satz oder Theorem ist in der Mathematik eine widerspruchsfreie logische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.

---

Ein Satz wird nach seiner Rolle, seiner Bedeutung oder seinem Kontext oft auch anders bezeichnet:

1.) Ein Lemma ist eine Aussage, die als Hilfssatz nur im Beweis anderer Sätze verwendet wird.

2.) Ein Korollar ist eine triviale Folgerung, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergibt.

3.) Der Satz im engeren Sinn gibt eine wesentliche Erkenntnis wieder.

BM1499

Dreisatz

---

Der Dreisatz ist wesentlich bekannter, als der Zweisatz.

---

Der Dreisatz (auch Verhältnisgleichung, Proportionalität oder Schlussrechnung genannt) ist ein mathematisches Verfahren, um aus drei gegebenen Werten eines Verhältnisses den unbekannten vierten Wert zu berechnen. Eine (einfachere) Variante ist der Zweisatz. Der Dreisatz ist kein mathematischer Satz, sondern ein Lösungsverfahren für Proportionalaufgaben. Er wird insbesondere in der Schulmathematik gelehrt. Man kann mit dem Dreisatz Probleme aufgrund einfacher Einsichten oder auch ganz schematisch lösen, ohne die zugrunde liegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten vollständig zu durchschauen. Wer mit Proportionalitäten vertraut ist, benötigt den Dreisatz nicht mehr, weil er dann die Ergebnisse durch einfache mathematische Operationen erhalten kann.

---

Beispiel:

gegeben ist

{\tfrac {4}{6}}

=

{\tfrac {12}{x}}

gesucht ist x.

Lösung: wir stellen nach x um.

{\tfrac {4}{6}}

=

{\tfrac {12}{x}}

// * x

{\tfrac {4x}{6}}

=

{12}

// * 6

{4x}

=

{12*6}

// : 4

{x}

=

{\tfrac {12*6}{4}}

Das können wir jetzt ausrechnen.

x = 18

---

Besonders bei komplizierteren Zahlen rechnen wir erst zum Schluss aus:

{\tfrac {4{,}427}{6{,}3332}}

=

{\tfrac {12{,}73}{x}}

BM1500

Allgemein sind beim Dreisatz also drei Zahlen bekannt und wir suchen die vierte Zahl.

Allgemein ausgedrückt: die Zahlen für a, b und c sind bekannt und wir suchen die Unbekannte x.

---

{\tfrac {a}{b}}

=

{\tfrac {c}{x}}

---

a)

Stelle die Gleichung für den Dreisatz nach x um!

Lösung BM1500 a)
${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{x}}$ // * x ${\tfrac {ax}{b}}$ = ${c}$ // b ${ax}$ = ${cb}$ // : a ${x}$ = ${\tfrac {c*b}{a}}$

---

b)

Stelle

{\tfrac {a}{b}}

=

{\tfrac {x}{c}}

nach x um!

Lösung BM1500 b)
${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {x}{c}}$ // * c ${\tfrac {ac}{b}}$ = ${x}$ ${x}$ = ${\tfrac {ac}{b}}$

---

c)

Stelle

{\tfrac {a}{x}}

=

{\tfrac {b}{c}}

nach x um!

Lösung BM1500 c)
${\tfrac {a}{x}}$ = ${\tfrac {b}{c}}$ // * x ${a}$ = ${\tfrac {bx}{c}}$ // c ${ac}$ = ${bx}$ // : b ${\tfrac {ac}{b}}$ = ${x}$ ${x}$ = ${\tfrac {ac}{b}}$

---

d)

Stelle

{\tfrac {x}{a}}

=

{\tfrac {b}{c}}

nach x um!

Lösung BM1500 d)
${\tfrac {x}{a}}$ = ${\tfrac {b}{c}}$ // * a ${x}$ = ${\tfrac {a*b}{c}}$

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Lección 080