Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 082b

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Mathematik auf Deutsch - 32

BM1551 - BM1560

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Geschichte der Mathematik

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Die Geschichte der Mathematik reicht zurück bis ins Altertum und den Anfängen des Zählens in der Jungsteinzeit. Nachweise erster Anfänge von Zählverfahren reichen ca. 50.000 Jahre zurück.

Durch archäologische Zeugnisse ist belegt, dass Menschen seit mindestens 50.000 Jahren über Zählverfahren verfügen. Zählen wurde bereits in alten Kulturen verwendet, um die Anzahl und Vollständigkeit von sozialen und ökonomischen Zählobjekten wie Gruppenmitgliedern, Beutetieren, Besitz oder Schulden zu erfassen. Das Zählen führte mit zur Entwicklung von Zahlennotation, Zahlensystemen und der Schrift.

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Der Pyramidenbau im Alten Ägypten vor über 4500 Jahren mit seinen exakt berechneten Formen ist ein deutliches Anzeichen für das Vorhandensein von bereits weitreichenden mathematischen Kenntnissen. Im Gegensatz zur Mathematik der Ägypter, von der wegen der empfindlichen Papyri nur wenige Quellen existieren, liegen von der babylonischen Mathematik in Mesopotamien etwa 400 Tontafeln vor. Die beiden Kulturräume hatten zwar unterschiedliche Zahlensysteme, kannten aber beide die vier Grundrechenarten sowie Annäherungen für die Kreiszahl

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BM1553

Mathematische Belege aus China sind deutlich jüngeren Datums, da Dokumente durch Brände vernichtet wurden, ähnlich schlecht lässt sich die frühe indische Mathematik datieren.

Im antiken Europa wurde die Mathematik von den Griechen als Wissenschaft im Rahmen der Philosophie betrieben. Aus dieser Zeit datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und der erste Ansatz einer Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie.

BM1554

Arabische Mathematiker griffen die von den Römern eher vernachlässigten griechischen, aber auch indische Erkenntnisse auf und begründeten die Algebra. Von Spanien und Italien aus verbreitete sich dieses Wissen in die europäischen Klosterschulen und Universitäten.

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In der islamischen Welt bildete für die Mathematik die Hauptstadt Bagdad das Zentrum der Wissenschaft. Die muslimischen Mathematiker übernahmen die indische Positionsarithmetik und den Sinus und entwickelten die griechische und indische Trigonometrie weiter, ergänzten die griechische Geometrie und übersetzten und kommentierten die mathematischen Werke der Griechen. Die bedeutendste mathematische Leistung der Muslime ist die Begründung der heutigen Algebra. Diese Kenntnisse gelangten über Spanien, die Kreuzzüge und den italienischen Seehandel nach Europa. In der Übersetzerschule von Toledo etwa wurden viele der arabischen Schriften ins Lateinische übertragen.

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Mathematik der Maya

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Die Informationen zur Mathematik und Astronomie (Kalenderrechnung) der Maya stammt überwiegend aus dem Dresdner Kodex. Die Maya-Zahlschrift beruht auf der Basis 20. Als Grund dafür wird vermutet, dass die Vorfahren der Maya mit Fingern und Zehen zählten. Die Maya kannten die Zahl 0, aber verwendeten keine Brüche. Für die Darstellung von Zahlen verwendeten sie Punkte, Striche und Kreise, die für die Ziffern 1, 5 und 0 standen. Die Mathematik der Maya war hochentwickelt, vergleichbar mit den Hochkulturen im Orient. Sie verwendeten sie zur Kalenderberechnung und für die Astronomie. Der Maya-Kalender war der genaueste seiner Zeit.

BM1556

Mathematik im Alten Ägypten

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Die wichtigsten der wenigen erhaltenen Quellen, die uns Auskunft über die mathematischen Fähigkeiten der Ägypter geben, sind der Papyri.

Die Ägypter verwendeten die Mathematik meist nur für praktische Aufgaben wie die Lohnberechnung, die Berechnung von Getreidemengen zum Brotbacken oder Flächenberechnungen. Sie kannten die vier Grundrechenarten, so die Subtraktion als Umkehrung der Addition, die Multiplikation führte man auf das fortgesetzte Verdoppeln zurück und die Division auf das wiederholte Halbieren. Um die Division vollständig durchführen zu können, verwendeten die Ägypter allgemeine Brüche natürlicher Zahlen, die sie durch Summen von Stammbrüchen und dem Bruch 2/3 darstellten. Sie konnten auch Gleichungen mit einer abstrakten Unbekannten lösen. In der Geometrie waren ihnen u. a. die Berechnung der Flächen von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen bekannt.

BM1557

Die früheren Annahmen, dass sich die altägyptische Mathematik erst sehr spät entwickelte, sind heute nicht mehr haltbar. Nahezu gleichzeitig mit den ältesten Schriften in Mesopotamien und Vorderasien entstand etwa um 3000 v. Chr. in Ägypten die Hieroglyphenschrift aus der Notwendigkeit heraus, mit dem Entstehen des Zentralstaates den Anforderungen an das Festhalten von Vorgängen in Verwaltung und Wirtschaft durch Aufzeichnungen gerecht werden zu können. Damit entstanden auch die Zeichen für Zahlen und es begann sich die Mathematik zu entwickeln.

BM1558

Bereits im ausgehenden 4. Jt. v. Chr. besaßen die Ägypter mathematische Kenntnisse und Methoden zur Bewältigung täglicher Anforderungen, welche die quantitativen Verhältnisse und räumlichen Beziehungen in der objektiven Realität betrafen. So sind zugleich mit den ersten Belegen für die Benutzung der Hieroglyphenschrift auch die ersten Zahlenzeichen nachweisbar. Nach der Reichseinigung wurden etwa bis zur 3. Dynastie aufgrund der Anforderungen der Staatsverwaltung die für die ägyptische Mathematik erforderlichen Entdeckungen gemacht und die entsprechenden Rechenverfahren bildeten sich heraus. Später erfolgten nur noch Verfeinerungen.

BM1559

Ohne mathematische Kenntnisse wäre der Pyramidenbau ab ca. 2650 v. Chr. nicht möglich gewesen. Die exakt berechneten Pyramiden sind ein deutliches Anzeichen für die weitreichenden mathematischen Kenntnisse im Alten Ägypten. Ägyptische Zahlen beruhten, wie römische Zahlen, auf einem additiven System, das für die Null kein eigenes Zeichen und keine Positionswertbeschreibung kannte. Neben Addition und Subtraktion waren auch Stammbrüche und das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen bekannt. Auch für die Multiplikation und Division haben die alten Ägypter Verfahren gekannt, wie Rechenaufgaben des Papyrus Rhind zeigen.

BM1560

Das heutige Wissen über die altägyptische Mathematik ist hauptsächlich durch mathematische Papyri überliefert. Dabei handelt es sich um sehr ähnlich aufgebaute Übungs- oder Lehrbücher, die mathematische Grundregeln und praktische Übungsbeispiele für Schüler enthalten. Die Papyri sollten Schreibschüler auf die Bewältigung von praktischen Problemstellungen vorbereiten, die sie im späteren täglichen Arbeitsleben erwarteten.

BM1561 - BM1570

BM1561

Babylonische Mathematik

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Die Babylonier verwendeten ein Sexagesimal-Stellenwertsystem für die Darstellung von beliebigen Zahlen sowie die Rechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (Multiplikation mit dem Kehrwert).

Die Babylonische Mathematik wurde von den verschiedenen Bewohnern des Zweistromlandes (Mesopotamien, heute Irak) entwickelt. Ihr Beginn lag vermutlich in den Tagen der frühen Sumerer, und ihre Entwicklung setzte sich bis zur Eroberung von Babylon durch die Perser im Jahr 539 v. Chr. fort.

BM1562

Im Gegensatz zur Mathematik der Ägypter, von der wegen der empfindlichen Papyri nur wenige Quellen existieren, liegt von der babylonischen Mathematik ein Bestand von etwa 400 Tontafeln vor, der seit etwa 1850 ausgegraben wurde. Darauf beruht unser Wissen. Die Aufzeichnungen wurden mit Keilschrift in den noch weichen Ton geritzt und gebrannt oder in der Sonne getrocknet. Die Mehrzahl der gefundenen Tafeln stammen aus dem Zeitraum zwischen 1800 und 1600 v. Chr. und behandeln u. a. Themen wie Brüche, Algebra, quadratische und kubische Gleichungen und den Satz des Pythagoras.

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Mathematik der klassischen Antike

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In der Platonischen Akademie in Athen stand die Mathematik hoch im Kurs. Platon schätzte sie sehr, da sie dazu diente, wahres Wissen erlangen zu können. Die griechische Mathematik entwickelte sich danach zu einer beweisenden Wissenschaft.

Euklid fasste in seinem Lehrbuch „Elemente“ einen Großteil der damals bekannten Mathematik (Geometrie und Zahlentheorie) zusammen. Unter anderem wird darin bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dieses Werk gilt als Musterbeispiel für mathematisches Beweisen: aus wenigen Vorgaben werden alle Ergebnisse in einer Strenge hergeleitet, die es zuvor nicht gegeben haben soll. Euklids „Elemente“ wird auch noch heute nach über 2000 Jahren als Lehrbuch verwendet.

BM1564

Nach einer aus der Antike stammenden, aber unter Wissenschaftshistorikern umstrittenen Überlieferung beginnt die Geschichte der Mathematik als Wissenschaft mit Pythagoras von Samos. Ihm wird – allerdings wohl zu Unrecht – der Grundsatz „alles ist Zahl“ zugeschrieben. Er begründete die Schule der Pythagoreer, aus der später Mathematiker wie Hippasos von Metapont und Archytas von Tarent hervorgingen. Im Unterschied zu den Babyloniern und Ägyptern hatten die Griechen ein philosophisches Interesse an der Mathematik. Zu den Erkenntnissen der Pythagoreer zählt die Irrationalität geometrischer Streckenverhältnisse, die von Hippasos entdeckt worden sein soll. Die früher verbreitete Ansicht, dass die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoreern eine philosophische „Grundlagenkrise“ auslöste, da sie ihre früheren Überzeugungen erschütterte, wird jedoch von der heutigen Forschung verworfen.

BM1565

Römisches Reich

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Im Gegensatz zu den Griechen befassten sich die antiken Römer kaum mit höherer Mathematik, sie waren mehr an praktischen Anwendungen etwa im Vermessungs- und Ingenieurswesen interessiert. Bis zur Spätantike blieb die Mathematik weitgehend eine Domäne der griechischsprachigen Bewohner des Reichs, der Schwerpunkt mathematischer Forschung lag in römischer Zeit auf Sizilien und in Nordafrika, dort vor allem in Alexandria.

BM1566

Indische Zahlschrift

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Die indischen Ziffern (in Europa auch als indisch-arabische Ziffern oder umgangssprachlich arabische Ziffern bekannt) sind eine Zahlschrift, in der Zahlen positionell auf der Grundlage eines Dezimalsystems mit neun aus der altindischen Brahmi-Schrift herzuleitenden Zahlzeichen und einem eigenen, oft als Kreis oder Punkt geschriebenen Zeichen für die Null dargestellt werden.

BM1567

Als indische Ziffern im engeren Sinn bezeichnet man in heutiger deutscher Fachsprache zunächst nur die in Indien selbst entstandenen und gebrauchten Ausprägungen dieser Zahlschrift, in einem weiteren Sinn auch deren Adaptionen in anderen Schriftkulturen, soweit sie auf direktes indisches Vorbild zurückgehen.

BM1568

Hierzu zählen auch die im frühen Mittelalter nach indischem Vorbild entstandenen arabischen oder indisch-arabischen (auch indo-arabisch oder hindu-arabisch genannten) Ziffern, die ihrerseits seit dem 12. Jahrhundert (mit Vorläufern seit dem 10. Jahrhundert) von der lateinischen und griechischen Schriftkultur Europas adaptiert wurden und sich von Westeuropa aus in ihrer seit dem Spätmittelalter vereinheitlichten Schreibform durch den Buchdruck als heute weltweit vorherrschender oder neben lokal dominierenden anderen Zahlschriften zumindest weithin voraussetzbarer Standard etablierten.

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Aufgrund dieser Verbreitung aus dem arabischen hin in den europäischen Raum ist besonders im Westen heute eher der Begriff der arabischen Zahlen geläufig und vorherrschend.

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Arabische Varianten der indischen Zahlenschrift

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In der arabischen Schrift entwickelte sich die Schreibweise von rechts nach links aus einer ursprünglich senkrechten Beschriftung der Papyri von oben nach unten (sie waren aus Längsstreifen zusammengeklebt), das dann aber zum Lesen um 90 Grad gedreht wurde. Ebenso wurden die indischen Zahlzeichen notiert, die deshalb in der Schrift gegenüber dem indischen Original teilweise eine gedrehte Form erhielten und dann weiter dem graphischen Stil der arabischen Schrift angepasst wurden.

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Der Aufbau der arabischen Worte der indischen Zahlzeichen geht ähnlich wie in westlichen Sprachen vom höchsten Stellenwert (also der linken Ziffer) aus. Beispielsweise setzte sich das Wort für 10.000 (asharat alaf) aus dem Wort ashara für 10 und alf für 1000 zusammen.

Ähnlich wie in westlichen Sprachen gibt es aber auch Sonderregeln wie bei den Zehnern – beispielsweise ist der Name für 19 tisata-schar aus tisa für 9 und aschara für 10 wie auch bei der Neunzehn im Deutschen. Geschrieben werden Zahlen aber auch in Ziffernform von rechts nach links entsprechend der allgemeinen Schreibrichtung im Arabischen. Die Stellung der Ziffern ist wie sonst üblich im Dezimalsystem (also die Ziffern mit dem höchsten Stellenwert links).

BM1571 - BM1580

BM1571

Leonardo Fibonacci

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Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt (* um 1170 in Pisa; † nach 1240 ebenda), war Rechenmeister in Pisa und gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker des Mittelalters. Auf seinen Reisen nach Afrika, Byzanz und Syrien machte er sich mit der arabischen Mathematik vertraut und verfasste mit den dabei gewonnenen Erkenntnissen das Rechenbuch Liber ab(b)aci im Jahre 1202 (Überarbeitung 1228). Bekannt ist daraus heute vor allem die nach ihm benannte Fibonacci-Folge. (Für die Fibonacci-Folge siehe die „Kaninchenaufgabe“ in „Übung BM728“ in Lektion 065b (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

BM1572

Der Italiener Leonardo Fibonacci folgte um 1192 seinem Vater nach Algerien und lernte dort Abū Kāmils Algebra kennen. 1202 vollendete Fibonacci den Liber abaci, in welchem er unter anderem die indischen Ziffern vorstellt und diese in der Tat als „indische Ziffern“ und nicht als „arabische Ziffern“ bezeichnete. Von Italien aus fanden diese Ziffern dann auch Eingang in weitere europäische Länder.

BM1573

Leonardo Fibonacci wurde in der zweiten Hälfte des 12. Jahrhunderts als einer von mindestens zwei Söhnen des Guglielmo Bonacci in Pisa geboren, wo sich die Familie bis auf den Urgroßvater Leonardos, einen Anfang des 12. Jahrhunderts verstorbenen Bonito, zurückverfolgen lässt. Als der Vater von der Stadt als Notar in die Niederlassung der Pisaner Kaufmannschaft im algerischen Bougie, dem heutigen Bejaia, entsandt wurde – wofür man als Datum um 1192 annimmt –, ließ er auch Leonardo zu sich kommen, um ihn dort im Rechnen unterrichten zu lassen.

BM1574

Leonardo Fibonacci lernte in Algerien das Rechnen mit den novem figurae indorum („neun Ziffern der Inder“), unseren heutigen (indo-arabischen) Ziffern, die den arabischen Mathematikern in Bagdad seit der zweiten Hälfte des 8. Jahrhunderts aus Indien bekannt geworden waren und im 12. Jahrhundert von Spanien (Toledo) aus durch lateinische Übersetzungen aus den arabischen Schriften des Al-Chwarizmi auch im Westen allmählich verbreitet wurden.

BM1575

„Liber abbaci“

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Der „Liber abbaci“ legt den Schwerpunkt ausdrücklich mehr auf die Theorie als die Praxis (magis ad theoricam spectat quam ad practicam) und geht tatsächlich in seinen Ansprüchen weit über alles hinaus, was dem lateinischen Mittelalter bis dahin bekannt geworden war oder bis zum 16. Jahrhundert noch bekannt wurde. Die Besonderheit liegt dabei nicht so sehr in der Schwierigkeit der Aufgaben, sondern in der mathematischen Intelligenz des Autors, seiner Durchdringung der Materie und dem besonderen Wert, den er darauf legt, Lösungen und Regeln nicht nur vorzuführen, sondern auch mathematisch zu beweisen.

BM1576

Mathematik mit dem Beginn der Geldwirtschaft

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Mit dem Beginn einer Wirtschaft, die nicht auf Warentausch, sondern auf Geld basiert, entstanden neue Anwendungsgebiete der Mathematik. Dies gilt insbesondere für Italien, das zur damaligen Zeit ein Umschlagplatz für Waren von und nach Europa war, und dessen damals führende Rolle im Finanz- und Bankwesen sich noch heute in der Verwendung von Wörtern wie „Konto“, „brutto“ und „netto“ auswirkt.

BM1577

In diesem Zusammenhang ist besonders Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci, und sein Liber abbaci zu nennen, der nichts mit dem Abacus als Rechenbrett zu tun hat, sondern gemäß einem zu dieser Zeit in Italien aufkommenden Sprachgebrauch das Wort abacus oder „abbacco“ als Synonym für Mathematik und Rechnen verwendet. In der Mathematik Fibonaccis vollzog sich eine für das Mittelalter singuläre Synthese aus kaufmännischem Rechnen, traditioneller griechisch-lateinischer Mathematik und neuen Methoden der arabischen und (arabisch vermittelten) indischen Mathematik.

BM1578

Mathematisch weniger anspruchsvoll, dafür mehr an den praktischen Erfordernissen von Bank- und Kaufleuten ausgerichtet, waren die zahlreichen Rechenbücher, die als Lehrbücher zur praktischen und merkantilen Arithmetik seit dem 14. Jahrhundert in italienischer Sprache verfasst wurden.

BM1579

Arabische Mathematik kam über Spanien, wo im Zuge der Reconquista die Mauren aus Europa vertrieben wurden, und über Handelsbeziehungen nach Europa und ihre Mathematik beeinflusste in der Folge die europäische grundlegend. Begriffe wie Algebra, Algorithmus sowie die arabischen Ziffern gehen darauf zurück. In der Renaissance wurden die antiken Klassiker und andere Werke durch weite Verbreitung über den Buchdruck allgemein zugänglich.

BM1580

Die Kunst der Renaissance führte zur Entwicklung der Perspektive (u.a. Albrecht Dürer) und Darstellenden Geometrie und die damit zusammenhängende projektive Geometrie hatte ebenfalls im Architekturwesen ihren Ursprung.

Die Entdeckungsreisen führten zu Entwicklungen in Kartographie und Navigation (das lange akute Längengradproblem) und die Landvermessung (Geodäsie) war für die Entwicklung der Territorialstaaten von Bedeutung.

Praktische Erfordernisse von Ingenieuren (nicht zuletzt militärischer Art) und Astronomen führten zu Verbesserungen der Rechentechnik, insbesondere durch Erfindung der Logarithmen.

BM1581 - BM1590

BM1581

Adam Ries im 58. Lebensjahr (1550): die einzige zeitgenössische Abbildung des Rechenmeisters

Adam Riese

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In Deutschland erklärte der sprichwörtliche Adam Ries(e) seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen, und die Verwendung der indischen Ziffern statt der unpraktischen römischen wurde populär. In Frankreich entdeckte René Descartes, dass man Geometrie, die bis dahin nach Euklid gelehrt wurde, auch algebraisch beschreiben kann und umgekehrt algebraische Gleichungen geometrisch deuten kann (Analytische Geometrie) nach Einführung eines Koordinatensystems. Ein Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 über Probleme von Glücksspielen gilt als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung.

BM1582

Adam Ries (oft in der flektierten Form Adam Riese; * 1492 in Staffelstein, † 30. März 1559 vermutlich in Annaberg) war ein deutscher Rechenmeister.

Bekannt wurde er durch sein Lehrbuch Rechnung auff der Linihen und Federn [...], das bis ins 17. Jahrhundert mindestens 120-mal aufgelegt wurde.

Bemerkenswert ist, dass Adam Ries seine Werke nicht – wie damals üblich – in lateinischer, sondern in deutscher Sprache schrieb. Dadurch erreichte er einen großen Leserkreis und konnte darüber hinaus auch zur Vereinheitlichung der deutschen Sprache beitragen.

BM1583

Adam Ries gilt als der „Vater des modernen Rechnens“. Er hat mit seinen Werken entscheidend dazu beigetragen, dass die römische Zahlendarstellung als unhandlich erkannt und weitgehend durch die nach dem Stellenwertsystem strukturierten indisch-arabischen Zahlzeichen ersetzt wurde. Sein Name ist aus der Redewendung „Nach Adam Riese“ allgemein bekannt.

BM1584

„In Deutschland erklärte der sprichwörtliche Adam Ries(e) seinen Landsleuten ...“

sprichwörtlich: 5 * 8 ist/sind „nach Adam Riese“ 40

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Der Ausspruch „Das macht nach Adam Riese“ wird heute noch gebraucht, um die Richtigkeit eines Rechenergebnisses zu unterstreichen.

BM1585

Die ersten Jahrzehnte nach der Geburt Ries’ sind nicht dokumentiert, sodass nicht bekannt ist, welche Schule er besucht hat. Auch findet sich in den Matrikeln der damals bereits bestehenden Universitäten kein Hinweis auf ein Studium des späteren Rechenmeisters. 1509 hielt er sich mit seinem jüngeren Bruder Conrad in Zwickau auf, der dort die Lateinschule besuchte.

BM1586

Rechnen auf Linien

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Das Rechnen auf Linien ist ein historisches Rechen-Verfahren für die Grundrechenarten. Dabei werden Zahlen mit Rechenpfennigen oder Calculi ausgelegt, verändert und als Ergebnis abgelesen. Die Rechenpfennige werden auf oder zwischen horizontalen Linien positioniert. Je nach Position eines Rechenpfennigs ist ihm ein bestimmter Wert zugewiesen. Das Rechnen auf Linien war im Mittelalter die am meisten verbreitete Rechenmethode. Es wurde von Händlern und Kaufleuten benutzt. Das in Indien erfundene abstrakte schriftliche Rechnen war zu dieser Zeit in Europa noch ungebräuchlich.

BM1587

Beim Rechnen auf Linien werden auf einem Tuch, Tisch, Brett oder einer Bank parallele horizontale Linien gemalt oder geritzt. Die Linien dienen zum Kennzeichnen der Einer, Zehner, Hunderter usw. (von unten nach oben). Die Tausenderlinie wird mit einem X gekennzeichnet. Der Zwischenraum (Spatium) zwischen zwei Linien hat jeweils den fünffachen Wert der darunter liegenden beziehungsweise den halben Wert der darüber liegenden Linie, also fünf, fünfzig oder fünfhundert. Dies entspricht den Abstufungen in der römischen Zahlschrift.

BM1588

Durch vertikale Linien werden die Linien in Spalten eingeteilt. Je nach Rechnung haben die Spalten verschiedene Bedeutung als Rechenoperator (Summand, Minuend, Subtrahend, Faktor, Divisor) oder Rechenergebnis (Summe, Differenz, Produkt, Quotient). Bei einfachen Auslegungsübungen bedeuten sie auch beispielsweise Münzen verschiedener Wertigkeiten wie Gulden, Groschen und Pfennig.

BM1559

Rechenpfennig

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Ein Rechenpfennig, auch als Münzmeisterpfennig bezeichnet, war ein Rechenhilfsmittel, das beim Rechnen auf Linien Verwendung fand.

Das Rechnen auf Linien war eine Rechenmethode, die etwa vom 13. bis ins 17. Jahrhundert in Mitteleuropa in Gebrauch war. Auf ein mit Linien unterteiltes Brett oder Tuch wurden flache Scheiben zumeist aus Metall gelegt. Der Wert der Metallscheiben, die im Lauf der Zeit münzähnliches Aussehen erhielten, war von ihren Positionen auf dem Brett abhängig. Ab dem 15. Jahrhundert entwickelte sich neben den Niederlanden vor allem die freie Reichsstadt Nürnberg zu einem Zentrum der Herstellung von Rechenpfennigen. Der größte Teil der in Europa hergestellten Rechenpfennige wurde dort geprägt. Selbst nach dem Übergang von der römischen Zahlschrift auf die indische Zahlschrift, wodurch das schriftliche Rechnen wesentlich erleichtert wurde, wurden Rechenpfennige als Spielgeld noch bis ins 19. Jahrhundert geprägt.

BM1560

ein Rechenschieber

Rechenschieber

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Ein Rechenschieber oder Rechenstab ist ein analoges Rechenhilfsmittel (auch Analogrechner genannt) zur mechanisch-grafischen Durchführung von Grundrechenarten, vorzugsweise der Multiplikation und Division. Je nach Ausführung können auch komplexere Rechenoperationen (unter anderem Wurzel, Quadrat, Logarithmus und trigonometrische Funktionen oder parametrisierte Umrechnungen) ausgeführt werden.

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Das Prinzip eines Rechenschiebers besteht in der grafischen Addition oder Subtraktion von Strecken, die sich als logarithmische Skalen auf dem festen und dem beweglichen Teil des Rechenschiebers befinden. Bis zur weiten Verbreitung des Taschenrechners, die in den 1970er Jahren begann, waren Rechenschieber für viele Berechnungen in Schule, Wissenschaft und Technik unentbehrlich.

BM1591 - BM1600

BM1591

Abakus

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Ein Abakus (Mehrzahl Abakusse oder Abaki) ist ein einfaches mechanisches Rechenhilfsmittel. Er enthält Kugeln, meist Holz- oder Glasperlen; beim vergleichbaren Rechenbrett kommen auch Münzen (Rechenpfennige) oder Rechensteine (Calculi) zum Einsatz. Je nach Ausführung wird auch die Bezeichnung Zählrahmen oder Rechenrahmen verwendet.

BM1592

Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit Kugeln oder Steinen, die auf Stäben aufgefädelt sind beziehungsweise in Nuten, Rillen oder Schlitzen geführt werden. Die Variante mit Kugeln wird auch als russischer Abakus bezeichnet, weil er dort in dieser Ausführung verwendet wurde. Die Kugeln oder Rechensteine stellen dabei durch ihre Lage eine bestimmte Zahl dar, das heißt, es wird normalerweise ein Stellenwertsystem zu Grunde gelegt. Beim russischen Abakus gibt es nicht die Einteilung wie in anderen Ländern, bei der ein Teil der Kugeln abgetrennt ist, die einen höheren Wert (normalerweise den fünffachen) haben. Dafür wird bei der russischen Version normalerweise noch ein gesondertes Bruchrechnungsbrett verwendet.

BM1593

Ein Abakus ermöglicht die Durchführung der Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie das Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln. Die meisten Rechenoperationen können mit den römischen Ziffern nicht einfach durchgeführt werden. Deshalb gab es den leicht abgewandelten Römischen Abakus.

BM1594

Der Abakus ist eines der ältesten bekannten Rechenhilfsmittel und vermutlich sumerischen Ursprungs. Der erste Abakus tauchte etwa zwischen 2700 und 2300 v. Chr. auf und war eine Holz- oder Tontafel, die in Spalten unterteilt war, wobei jede Spalte eine Stelle im sumerischen Sexagesimalsystem repräsentierte. Auf diese wurden gleichgroße Steine aus Ton oder kurze Schilfrohre gelegt. Die Sumerer erkannten, dass das Rechnen auf Linien oder Spalten effizienter war als mit verschiedenartigen Rechensteinen, bei denen die Größe oder Form die Position im Zahlensystem angab.

BM1595

Rechenstein

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Calculus (lat. calculus, Diminutiv von calx, (Kalk)-Stein, Plural: calculi) bedeutet Rechenstein.

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Das Aufkommen der Tempelwirtschaft führte bereits im Vorfeld der Hochkulturentwicklung zum Abbilden von Zahlen und zu Hilfsmitteln, die das Rechnen erleichterten. Bei den Calculi oder auch Tokens handelt es sich um kleine Steinchen, später um Tonstückchen mit eingravierten geometrischen Zeichen, die beispielsweise in den Hochkulturen Mesopotamiens als Hilfsmittel zur Abrechnung bei Warenlieferungen dienten.

BM1596

Die ersten Hilfsmittel zur Verarbeitung von Sachen, Waren und Zahlen waren sicherlich die zehn Finger der Hände der Menschen. Unter diesem Gesichtspunkt wird erklärlich, dass noch frühe Hochkulturen sowohl mit Fünfer-Zahlensystemen (Griechen, Römer, Maya, Chinesen) als auch mit Zehner-Systemen (Ägypter, Sumerer und Babylonier) arbeiteten. Tokens werden in den Siedlungen des Nahen Ostens aus der Zeit von 8000 bis 3000 v. Chr. gefunden. Vor etwa 5200 Jahren wurde von den Sumerern im südlichen Mesopotamien (unabhängig davon etwa gleichzeitig auch in Ägypten) eine Schrift entwickelt. Sie bestand aus über tausend Zeichen. Etwa sechzig davon kann man als Vorläufer der späteren Zahlen ansehen. In dieser Proto-Keilschrift, wie die archaische Vorform der Keilschrift genannt wird, sind etwa 5000 Tontafeln und Tafelfragmente überliefert, die meisten aus Uruk.

BM1597

Noch vor Ausbildung der Schrift wurden die Ausdrucksmöglichkeiten dieses Hilfsmittels dadurch erweitert, dass man gewissen Formen der Tokens Zahlenwerte zuwies. Ein konischer Zählstein kann den Zahlenwert „1“, eine Kugel den Wert „10“ und ein großes kegelförmiges Tonstück den Wert „60“ bedeutet haben. Eine andere Möglichkeit ist, dass die Form bestimmte Waren oder Grundnahrungsmittel (etwa eine bestimmte Menge Korn) bezeichnete. Tokens finden sich auch noch gleichzeitig mit dem Aufkommen der Schrift und einige der Tokens ähneln in Form oder Zeichnung den Schriftzeichen, was ihre Deutung als konkrete Zahl ermöglichte. Zweifellos handelte es sich bei den Tokens um früheste Kontrollsysteme des Handels. Allerdings vermochten sie nur Aspekte wie Menge und Art von Objekten (z. B. Brotlaibe, Felle, Ölkrüge) festzuhalten.

BM1598

Um bei Handelsvorgängen sicherzustellen, dass der Empfänger eine Lieferung vollständig erhielt, konnte der Verkäufer die entsprechende Art und Anzahl von Tokens in eine hohle Tonkugel packen. Diese wurde mit frischem Ton verschlossen und versiegelt. Damit war eine Art „Frachtbrief“ erfunden und der Empfänger konnte nachprüfen, ob ihm der Karawanenführer auch alles ausgeliefert hat, was sein Handelspartner geschickt hatte.

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Bei den Griechen und Römern wurden Calculi beim Rechnen mit dem Abakus bzw. beim Rechnen auf Linien benutzt. Von dem lateinischen Begriff leiten sich die Wörter „kalkulieren“ und „Kalkül“ ab. Im Mittelalter sind Rechensteine auch als geprägte Rechenpfennige im Gebrauch.

BM1599

Taschenrechner

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Ein Taschenrechner ist eine tragbare, handliche elektronische Rechenmaschine, mit deren Hilfe numerische Berechnungen ausgeführt werden können. Einige neuere technisch-wissenschaftliche Taschenrechner beherrschen auch symbolische Mathematik mittels eines Computeralgebrasystems (CAS), können also etwa Gleichungen umstellen oder lösen.

Praktisch alle heutigen Taschenrechner verwenden elektronische Integrierte Schaltungen und LC-Displays als Anzeige und werden von einer Batterie oder Solarzelle mit Strom versorgt.

Bereits vor der Einführung der elektronischen Taschenrechner gab es einen Bedarf nach tragbaren Rechenhilfen. Dieser wurde mit mechanischen Taschenrechnern und Rechenschiebern befriedigt. Meist handelte es sich dabei um einfache Addiermaschinen.

BM1600

Vorläufer der elektronischen Taschenrechner waren elektronische Tischrechner, bei denen der Integrationsgrad der Schaltungstechnik noch geringer war und die deshalb größere Dimensionen aufwiesen.

Der erste elektronische, tatsächlich handflächengroße, 1,5 kg schwere Taschenrechner wurde 1967 von Texas Instruments entwickelt. Auch dieser lief schon mit Batterien, frühere Rechner benötigten einen Stromanschluss.

Die ersten kommerziell vertriebenen Taschenrechner wurden 1969 und 1970 von den japanischen Firmen Sanyo, Sharp und Canon hergestellt.

Als erster Taschenrechner, der mit einem Verkaufspreis von 10.000 Yen für die breite Masse erschwinglich war, gilt der 1972 veröffentlichte Casio Mini.

1971 stellte die Fa. Bowmar den ersten in den USA erhältlichen Taschenrechner her (Bowmar 901B/„Bowmar Brain“, Maße: 131 mm ×77 mm × 37 mm). Er hatte vier Funktionen und ein achtstelliges rotes LED-Display. Verkauft wurde er für 240 US$. Die Fa. Bowmar musste 1976 schließen.

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