Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 086b

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Lección 086

Mathematik auf Deutsch - 36

BM1751 - BM1760

BM1751

Viereck

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Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als Polygone mit vier Ecken, und (daher auch) vier Kanten (oder Seiten).

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Das regelmäßige (oder reguläre) Viereck ist das Quadrat.

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Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex (konvexes Viereck) - Bild 2, liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine konkave Ecke (nicht-konvexes Viereck) - Bild 3.

Überhaupt ist das Viereck des "erste" Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen (auch: verschränkten) Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks

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Überschlagenes oder verschränktes Trapez:

Beim überschlagenen oder verschränkten Trapez sind nicht die gleichseitigen Enden der Grundseiten durch die übrigen Seiten verbunden, sondern die gegenüberliegenden. Diese Seiten überkreuzen sich also im Mittelpunkt

M

des Trapezes - Bild 4 und 5. Man kann sich ein überschlagenes Trapez vorstellen als das Viereck, das aus den Grundseiten und den Diagonalen eines konvexen Trapezes gebildet wird. Die beiden Teilflächen sind einander ähnliche Dreiecke. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Trapezen gerechnet.

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Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.

BM1752

Spezielle Vierecke

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Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große (Innen-)Winkel (90°, siehe rechter Winkel) hat, ist ein Rechteck. Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und auch vier gleich große (Innen-)Winkel (90°). Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.

BM1753

Verschränktes Viereck

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Drei Punkte A, B und C, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, können nur auf eine Weise durch drei Strecken miteinander verbunden werden. (Bild 1)

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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um vier Punkte A, B, C und D, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, durch vier Strecken miteinander zu vebinden. Wie viel Möglichkeiten gibt es? (Wir fangen immer bei A an!) (Bild 2)

Lösung BM1753
Bild 3: ABC wäre eine Startmöglichkeit Bild 4: Aber ABCA geht nicht, denn ein Viereck muss einen geschlossenen Streckenzug haben. Uns fehlt aber noch Punkt D. Bild 5 --- Theoretisch gibt es 6 Möglichkeiten, wenn man bei A beginnt und danach die übrigen 3 Punkte verbindet und dann wieder bei A endet. 1.) ABCDA 2.) ABDCA 3.) ACBDA 4.) ACDBA 5.) ADBCA 6.) ADCBA Allerdings ist 1. und 6. das gleiche Viereck. Der Streckenzug verläuft lediglich in die andere (entgegengesetzte) Richtung. Das Gleiche gilt für das Viereck 2 und 4. Ebenso gilt das für das Viereck 3 und 5. Es gibt also insgesamt 3 verschiedene Möglichkeiten, um vier Punkte mit vier Linien zu verbinden. (Bild 6 - 8) --- Bild 6 Bild 7 Bild 8

BM1754

Viereck

---

Definition: Unter einem Viereck

ABCD

versteht man eine Punktmenge mit folgenden Eigenschaften:

Von den Punkten $A$ , $B$ , $C$ und $D$ liegen je drei nicht auf ein und derselben Geraden.
Der Punktmenge gehören genau die Punkte der Strecken ${\overline {AB}}$ , ${\overline {BC}}$ , ${\overline {CD}}$ und ${\overline {DA}}$ an. Diese Strecken heißen die Seiten des Vierecks.

---

Die Strecken

{\overline {AC}}

und

{\overline {BD}}

heißen Diagonalen des Vierecks ABCD.

Ein Viereck, in dem die beiden Diagonalen innerhalb der Vierecksfläche liegen, heißt konvex.

Je zwei Seiten eines (konvexen) Vierecks, die keinen gemeinsamen Eckpunkt haben, nennen wir Gegenseiten.

Je zwei Seiten mit einem gemeinsamen Eckpunkt heißen benachbart.

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Bild 2: Viereck mit den Winkeln Alpha (α), Beta (β), Gamma (γ) und Delta (δ)

Wie bei den Dreiecken unterscheiden wir auch bei den Vierecken Innenwinkel und Außenwinkel. Je zwei Innenwinkel eines Vierecks, deren Scheitel Endpunkte ein und derselben Diagonalen sind, heißen Gegenwinkel.

Je zwei Innenwinkel eines Vierecks, deren Scheitel Endpunkte ein und derselben Seite sind, heißen benachbart.

Die Seiten, Diagonalen und Innenwinkel eines Vierecks sowie die Winkel, die von je zwei Seiten und eines Diagonalen mit einem gemeinsamen Eckpunkt bestimmt werden, nennt man die Stücke eines Vierecks.

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Ein Vieeck hat zwei Diagonalen.

Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke.

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Ein Vieeck lässt sich aus fünf geeigneten Stücken konstruieren: Für die Konstruktion des ersten Teildreiecks braucht man drei geeignete Stücke. (sss, sws, wsw oder ssw). Für die Konstruktion des zweiten Teildreiecks braucht man dann nur noch zwei geeignete Stücke, denn die Diagonal des Vierecks ist schon durch das erste Teildreieck bekannt.

Unter den fünf gegebenen Stücken muss also mindesten eine Seite oder Diagonale sein.

BM1755

konkav

konvex

---

gerade

gekrümmt

Krümmung

Bogen (Pl. Bögen)

gebogen

biegen - bog - hat gebogen

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Es gibt eine Vielzahl von verschiedenen Linsen. Die wichtigste Unterscheidung ist die zwischen Sammellinsen (konvexen Linsen) und Zerstreuungslinsen (konkaven Linsen)

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konvex (Synonym: gekrümmt, geschwungen, gewölbt, erhaben)

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Sammellinsen oder konvexe Linsen sind in der Mitte, im Bereich der Optischen Achse, dicker als am Rand

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bikonvex

plankonvex

konkavkonvex

konvexkonkav

Konvexität

Konvexlinse

Konvexspiegel

---

konkav (Synonym: vertieft)

---

Zerstreuungslinsen oder konkave Linsen sind am Rand dicker als in der Mitte.

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bikonkav

plankonkav

konkavkonvex

konvexkonkav

Konkavität

Konkavspiegel

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Eselsbrücke:

War die Tochter brav, bleibt der Bauch konkav. (nicht schwanger)

Hatte die Tochter Sex, so wird der Bauch konvex. (schwanger)

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Benenne die verschiedenen Linsenarte in Bild 9!

Lösung BM1755
1.) bikonvex 2.) bikokav 3.) konvexkonkav 4.) plankonkav 5.) plankonvex 6.) konvexkonkav 7.) konvexkonkav

BM1756

Innenwinkel im Viereck

---

SATZ:

Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck beträgt 360 Grad.

---

Beweise diesen Satz!

Lösung BM1756
Bild 2 Wie wählen ein beliebiges Viereck $ABCD$ Die Diagonale ${\overline {AC}}$ zerlegt das Vieeck in die Dreiecke $ABC$ und $ACD$ . Die Summe der Innenwinkel jedes der beiden Dreiecke beträgt 180°. Die Winkel der beiden Dreiecke bilden zusammen die Innenwinkel des Vierecks. Ihre Summe beträt also $180^{\circ }+180^{\circ }=360^{\circ }$ . w.z.b.w.

BM1757

Bild 1
Bild 2
Bild 3
Bild 4
Bild 5
Bild 6
Bild 7

Trapeze

---

Definition:

Jedes konvexe Viereck mit einem Paar zueinander paralleler Geraden heißt Trapez.

---

Besitzt ein Trapez genau ein Paar zueinander paralleler Gegenseiten, so heißen sie seine Grundseiten.

Die beiden anderen (nicht parallelen) Gegenseiten werden Schenkel des Trapezes genannt.

Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißen Mittellinie im Trapez.

Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Grundseite nennt man Höhe im Trapez.

Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Grundseite oder deren Verlängerung nennt man Höhe im Trapez. Ihre Länge ist gleich dem Abstand diese Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.

BM1758

Gegeben sind die 4 Seiten eines Trapezes.

Gegeben sind die vier Seitenlängen eines Trapezes.

---

a = 7 cm

b = 4,5 cm

c = 2,5 cm

d = 3 cm

---

Wie kann man das Trapez konstruieren?

(Beginne mit der Seite a!)

1. Lösung BM1758
Bild 2 Das Ergebnis soll also so ähnlich wie in Bild 2 aussehen. Im Gegensatz zu Dreiecken, wo der Eckpunkt A der Seite a gegenüberliegt, werden bei Vierecken, also auch beim Trapez, die Seiten und Eckpunkt üblicherweise so bezeichnet, dass die jeweilige Seite bei dem entsprechenden Punkt beginnt: also Seite a beginnt bei Punkt A, Seite b beginnt bei Punkt B usw. --- Hast Du eine Idee, wie man das Trapez mit vier gegebenen Seiten konstruieren kann?

2. Lösung BM1758
Bild 3 Die Grundidee bei der Konstruktion ist, dass man zuerst ein Dreieck konstruiert: mit den Seiten d, e und einem Teil der Basislinie a. Dabei ist die Seite e genauso lang wie die Seite b. Und der Teil der Basislinie a ist so lang, dass rechts neben dem Dreieck ein Parallelogramm entsteht. --- Bild 4 Bei diesem Parallelogramm (rechts vom Dreieck) sind die obere und untere Seite parallel und gleich lang: oben ist die Seite c und unten ein Teil der Seite a mit der Länge von c. Bei dem Parallelogramm sind die rechte und die linke Seite parallel und gleich lang: $b=e$ . Den Schnittpunkt von e mit a bezeichnen wir mit E. --- Bild 5 Die Strecke ${\overline {AE}}$ bezeichnen wir mit f. Und die Strecke ${\overline {EB}}$ mit $c'$ . --- Wenn wir jetzt wüssten wie lang f ist dann hätten wir drei Seiten um das Dreieck AED eindeutig zeichnen zu können. Wie lang ist f?

3. Lösung BM1758
Bild 6: $f=a-c'$ $a=f+c'$ also: $f=a-c'$ . Die Länge von $a$ und $c'$ ist bekannt. Also können wir auch die Länge von f mit Zirkel und Lineal konstruieren. Und schon haben wir drei Seiten, um das Dreieck zu konstruieren. --- Wie gehen wir dazu vor?

4. Lösung BM1758
Bild 7 Für die Konstruktion benötigen wir ein Lineal und einen Zirkel. Wir zeichnen die Grundlinie a (= Strecke ${\overline {AB}}$ ) Dann tragen wir mit dem Zirkel von B aus die Strecke c ab: Dazu schlagen wir mit unserem Zirkel um den Punkt B einen Kreisbogen mit dem Radius c (2,5 cm; grün). Der Schnittpunkt des Kreisbogens mit a gibt und den Punkt E. --- Bild 8 Um A schlagen wir einen Kreisbogen mit dem Radius d (blau). --- Bild 9 Um E schlagen wir einen Kreisbogen mit dem Radius c (rot). Der Schnittpunkt des roten und des blauen Kreisbogens gibt uns den Punkt D. --- Bild 10 Und schon haben wir das Dreieck $AED$ . Jetzt fehlt nur noch das Parallelogramm und fertig ist das Trapez. --- Wie geht es weiter?

5. Lösung BM1758
Bild 11 Um D schlagen wir einen Kreisbogen mit dem Radius c (grün). --- Bild 12 Um B schlagen wir einen Kreisbogen mit dem Radius b (rot). Der Schnittpunkt dieser beiden Kreisbögen (rot und grün) gibt uns den Punkt C. Der Schnittpunkt der Kreisbögen um D und B ergibt C. --- Bild 13 Damit haben wir alle 4 Punkte, um das Trapez zu zeichnen. --- Bild 14 Hier noch einmal das Trapez ohne überflüssige, zusätzliche Linien.

BM1759

Gegeben sind 3 Seiten a, b und c. Daraus soll ein Dreieck konstruiert werden.

Ist das in jedem Fall möglich? In welchen Fällen ist es nicht möglich aus drei gegebenen Seiten ein Dreieck zu konstruieren?

1. Lösung BM1759
Bild 2 Man kann nich in jedem Fall aus drei gegebenen Seiten a, b und c ein Dreieck konstruieren. Wir erinnern uns an die Dreiecksungleichung. - (s. Übung BM1680 in Lektion 084b) $c\leq a+b$ In Worten: Der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es populär auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“ --- Wenn also für drei gegebene Seiten a, b und c gilt, dass $c$ größer ist als $a+b$ , dann kann man mit diesen Seiten kein Dreieck konstruieren. --- Und wie ist es, wenn man die drei gegebenen Seiten beliebig anordnen darf?

2. Lösung BM1759
Bild 3 Die Sache sieht auch nicht anders sieht aus, wenn man die drei gegebenen Seiten beliebig anordnen darf, denn das ergibt nur eine spiegelverkehrte Figur, aus der man immer noch nicht ein Dreieck konstruieren kann. --- Wir können also ganz allgemein sagen: Um ein Dreieck konstruieren zu können darf keine Seite länger sein, als die Summe der anderen beiden Seiten. $a\ngtr b+c$ $b\ngtr a+c$ $c\ngtr a+b$

BM1760

In einem Trapez beträgt die Winkelsumme so wie in jedem anderen Viereck 360°.

---

SATZ:

Die Innenwinkel eines Trapezes, die ein und demselben Schenkel anliegen, betragen zusammen 180°.

(Als Schenkel werden die nicht parallelen Seiten bezeichnet.)

\alpha +\delta =180^{\circ }

\beta +\gamma =180^{\circ }

Wie könnte man das beweisen?

Lösung BM1760
Bild 2 Seite d schneidet zwei Parallelen (Seite a und c) Linke Seite: $\alpha =\alpha ^{\prime }$ (Stufenwinkel an Parallelen) $\delta +\alpha ^{\prime }=180^{\circ }$ (Nebenwinkel) --- Rechte Seite: $\gamma =\gamma ^{\prime }$ (Stufenwinkel an Parallelen) $\gamma ^{\prime }+\beta =180^{\circ }$ (Nebenwinkel) --- Bild 3 Alternativ könnte man auch den Beweis folgendermaßen führen: In einem Trapez verlaufen zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander (Seiten a und c). Wir zeichnen an einer beliebigen Stelle eine Senkrechte (= Normale) auf die Seite a bzw. Seite c. Dadurch entstehen zwei neue Vierecke, deren Winkelsumme jeweils wieder 360° beträgt. Wenn wir das linke Viereck betrachten, dann können wir sagen: Alle vier Winkel müssen 360° betragen. Zwei davon sind rechte Winkel (90°), also: $360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }=180^{\circ }$ Es bleiben also $180^{\circ }$ für die beiden Winkel $\alpha$ und $\delta$ übrig. Das gleiche gilt auch für das rechte Viereck.

BM1761 - BM1770

BM1761

SATZ:

In jedem Trapez ist die Mittellinie parallel zu den Grundseiten.

(Die Verbindungsstrecke der Mitten der Schenkel heißt Mittellinie m.)

---

Beweis:

E

und

F

seien die Mittelpunkte der Schenkel

{\overline {AD}}

und

{\overline {BC}}

in einem beliebigen Trapez

ABCD

.

Wir errichten in

E

und

F

die Senkrechte auf der Geraden

EF

und bezeichne ihre Schnittpunkte mit den Geraden

AB

und

CD

entsprechend Bild 1 mit

X

,

Y

,

U

bzw.

Y

.

1.) Die Dreiecke

AXE

und

DYE

sind nach dem Kongruenzsatz (wsw) kongruent. Daraus folgt:

{\overline {XE}}\cong {\overline {YE}}

.

---

„sind nach dem Kongruenzsatz (wsw) kongruent“

Welche Seiten und Winkel sind gemeint?

1. Lösung BM1761
1. Winkel: $\sphericalangle AEX\cong \sphericalangle DEY$ (Scheitelwinkel) 2. Seite: ${\overline {EA}}\cong {\overline {DE}}$ (E ist der Mittelpunkt des Schenkels) 3. Winkel: $\sphericalangle EAX\cong \sphericalangle EDY$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen)

Für die Dreiecke auf der rechten Seite des Trapezes gilt das Gesagte anlalog.

---

2.) Bei der Spiegelung an

EF

ist also

Y

das Bild von

X

. Und

V

ist das Bild von

U

. Demnach sind die Winkel

EXU

und

EYV

kongruent. Da sie außerdem als entgegengesetzt liegende Winkel an geschnittenen Parallelen zusammen 180° betragen, ist jeder von ihnen ein rechter.

3.) Aus der Kongruenz der Stufenwinkel

XEF

und

XYV

an den geschnittenen Geraden

EF

und

CD

folgt der Parallelität der Geraden

EF

und

CD

. Entsprechend ergibt sich die Parallelität der Geraden

EF

und

AB

.

w.z.b.w.

BM1762

SATZ:

In jedem Trapez ist die Mittelllinie halb so lang wie die Summe der beiden Grundseiten.

---

Wie geht der Beweis?

1. Lösung BM1762
Bild 2 Bild 3 Beweis: Wir wählen ein beliebiges Trapez ABCD mit den Grundseiten a und c sowie mit der Mittellinie $m={\overline {EF}}$ . Das Trapez $A'B'C'D'$ sei das Bild des Trapezes $ABCD$ bei der Drehung um F mit einem positiv orientierten Drehwinkel von 180°. Der Bildpunkt $E'$ liegt auf der Geraden $EF$ , der Bildpunkt $D'$ auf der Geraden AB. (Bild 2 und 3) --- Bild 4 Die Dreiecke $EAD'$ und $D'E'E$ sind kongrunte. Damit ergibt sich die Beziehung ${\overline {EE'}}\cong {\overline {AD'}}$ . Wegen ${\overline {EE'}}=m+m'$ und ${\overline {AD'}}=a+c'$ erhalten wir $m+m'=a+c'$ . Wegen $m=m'$ und $c=c'$ gilt also: $2\cdot m=a+c$ oder $m={\tfrac {a+c}{2}}$ . w.z.b.w. --- Stimmt das wirklich? Erkläre den letzten Abschnitt noch einmal ausführlich, Schritt für Schritt! Wegen ${\overline {EE'}}=m+m'$ und ${\overline {AD'}}=a+c'$ erhalten wir $m+m'=a+c'$ . Wegen $m=m'$ und $c=c'$ gilt also: $2\cdot m=a+c$ oder $m={\tfrac {a+c}{2}}$ .

2. Lösung BM1762
Bild 5 Wegen ${\overline {EE'}}=m+m'$ und ${\overline {AD'}}=a+c'$ erhalten wir $m+m'=a+c'$ . Wegen $m=m'$ und $c=c'$ gilt also: $2\cdot m=a+c$ oder $m={\tfrac {a+c}{2}}$ . --- Für $m+m'=a+c'$ können wir wegen $m=m'$ auch $m+m=a+c'$ oder noch kürzer $2m=a+c'$ schreiben. Für $2m=a+c'$ dürfen wir wegen $c=c'$ auch $2m=a+c$ schreiben. Nun dividieren wir auf beiden Seiten durch zwei, um auf der linken Seite das m zu isolieren und erhalten $m={\tfrac {a+c}{2}}$ . Genau so, wie in der 1. Lösung dargestellt.

BM1763

Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez

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Sind in einem Trapez die Schenkel gleich lang, so heißt es gleichschenklig. Gleichschenklige Trapeze sind achsensymmetrisch.

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In Lehrbüchern finden sich mehrere Varianten zur Charakterisierung eines gleichschenkligen Trapezes, insbesondere:

1.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Seiten, die nicht Grundseiten sind, gleich lang sind.

2.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich groß sind.

3.) Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn es eine zu einer Seite senkrechte Symmetrieachse besitzt.

Die erste Charakterisierung schließt formal auch Parallelogramme mit ein, die aber manchmal – wenn auch nicht ausdrücklich – ausgeschlossen werden. Die letzten beiden Charakterisierungen sind gleichwertig und in diesem Fall wird das gleichschenklige Trapez wegen der Achsensymmetrie auch symmetrisches Trapez genannt. Daher sind die Innenwinkel an beiden parallelen Seiten jeweils gleich groß. Die beiden Diagonalen sind im symmetrischen Trapez gleich lang.

Die Eckpunkte eines symmetrischen Trapezes liegen auf einem Kreis k, dem Umkreis des Trapezes. Das Trapez ist somit ein Sehnenviereck dieses Kreises. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Trapezes.

BM1764

Gleichschenklige Trapeze

---

Gleichschenklig heißt ein Trapez mit genau einem Paar paralleler Gegenseiten, dessen Schenkel gleich lang sind. (Bild 1)

---

Die Diagonalen des gleichschenkligen Trapezes sind gleich lang. Sie schneiden einander auf der Symmetrieachse. (Bild 2)

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SATZ:

In jedem gleichschenkligen Trapez sind die Winkel, die ein und derselben Grundseite anliegen, kongruent.

---

Beweis:

Wir wählen ein beliebiges gleichschenkliges Trapez

ABCD

, dessen Grundseite

{\overline {AB}}

größer als die Grundseite

{\overline {CD}}

sei. Die Fußpunkte der Lote von

D

und

C

auf die Seite

{\overline {AB}}

bezeichnen wir mit

L_{1}

bzw.

L_{2}

. (Bild 3)

Dann sind die Dreiecke

AL_{1}D

und

BL_{2}C

nach dem Kongruenzsatz (ssw) kongruent. Damit ergibt sich die Kongruenz der Winkel

DAB

und

CBA

.

Die Kongruenz der Winkel

ADC

und

BCD

folgt aus der Kongruenz der Winkel

ADL_{1}

und

BCL_{2}

.

w.z.b.w.

BM1765

Parallelogramm

---

Ein Parallelogramm (von griech. paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze.

Rechteck und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

---

Eigenschaften:

Ein nicht ausgeartetes Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
Die Diagonalen halbieren einander.
Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke.
Das Zentrum der Symmetrie ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind entweder Rechtecke oder Rauten.

BM1766

Parallelogramm

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DEFINITION: Jedes Viereck mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten heißt Parallelogramm.

---

Demnach ist das Parallelogramm ein Trapez, aber nicht umgekehrt jedes Trapes ein Parallleogramm.

Stelle diese Beziehung in einem Mengendiagramm dar!

Lösung BM1766
Bild 1 Die Menge der Paralleogramme ist in der Menge aller Trapeze enthalten. Parallelogramm sind eine Teilmenge der Trapeze.

---

Höhe im Paralleogramm:

Das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung heißt eine zu dieser Seite gehörende Höhe im Parallelogramm.

Ihr Länge ist gleich dem Abstand des Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite.

BM1767

SATZ:

Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind in diesem Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang.

---

Beweise diesen Satz!

1. Lösung BM1767
Bild 2 Beweis: Wir wählen ein beliebiges Parallelogramm $ABCD$ . Da dann $\triangle ABC\cong \triangle CDA$ gilt, sind einerseits die Strecken ${\overline {AB}}$ und ${\overline {CD}}$ sowie andererseits die Strecken ${\overline {BC}}$ und ${\overline {DA}}$ kongruent und damit gleich lang. w.z.b.w. --- Haben das alle verstanden? Der erste Satzteil war etwas kühn. „Da dann $\triangle ABC\cong \triangle CDA$ gilt ...“ Kannst du das noch mal detailliert belegen?

2. Lösung BM1767
Bild 3 Die Definition des Parallelogramms ist, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind. Wir können also die grüne Diagonale al Gerade betrachten, die zwei Parallelen (a und c schneidet). Folglich haben wir zwei Wechselwinkel (roter Winkel und grüner Winkel), wegen der Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. Die beiden Dreiecke $\triangle ABC\cong \triangle CDA$ haben eine gemeinsame Seite (die grüne Diagonale). Außerdem sind in beiden Dreiecken je zwei Winkel kongruent. Nach dem Kongruenzsatz (sws) sind also beide Dreiecke $\triangle ABC\cong \triangle CDA$ kongruent.

Auch die Umkehrung des obigen Satzes (Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind in diesem Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang.) gilt.

Formuliere sie!

3. Lösung BM1767
Wenn in einem konvexen Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang sind, dann ist es ein Parallelogramm.

BM1768

Der Schnittpunkt der Diagonalen eines Parallelogramms heißt der Mittelpunkt des Parallelogramms.

---

SATZ: Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann halbieren die Diagonalen einander.

---

Wer will sich an dem Beweis versuchen?

1. Lösung BM1768
Bild 2 Beweis: Wir bezeichnen den Schnittpunkt der Diagonalen eines beliebigen Parallelogramms mit $M$ . Dann sind die Dreiecke $AMB$ und $CMB$ kongruent. Folglich sind einerseits die Strecken ${\overline {AM}}$ und ${\overline {CM}}$ und andererseits die Strecken ${\overline {BM}}$ und ${\overline {DM}}$ kongruent und damit gleich lang. w.z.b.w. --- War das schon wieder zu schnell? Verständnistest: Warum sind die Dreiecke $AMB$ und $CMB$ kongruent?

2. Lösung BM1768
Bild 3 Verständnistest: Warum sind die Dreiecke $AMB$ und $CMB$ kongruent? Die Dreiecke $AMB$ und $CMB$ sind NICHT kongruent. Aus etwas extremeren Zeichnungen eines Parallelogramms ist das sofort ersichtlich. In Bild 3 ist deutlich, dass die sehr kurze Strecke b nur im Dreieck $CMB$ vorhanden ist, nicht jedoch im Dreieck $AMB$ . --- Das war ein Druckfehler. Es muss heißen: Die Dreiecke $AMB$ und $CDM$ sind kongruent. Kannst du das detailliert darlegen warum das zutrifft?

3. Lösung BM1768
Bild 4 Die Dreiecke $AMB$ und $CDM$ sind kongruent, weil ... 1.) ${\overline {AB}}\cong {\overline {CD}}$ (haben wir gerade weiter oben bewiesen: gegenüberliebende Seiten im Parallelogramm sind gleich lang. 2.) $\sphericalangle AMB\cong \sphericalangle CMD$ (Scheitelwinkel) 3.) $\sphericalangle MAB\cong \sphericalangle DCM$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen) 4.) $\sphericalangle ABM\cong \sphericalangle MDC$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen) Also sind die Dreiecke $AMB$ und $CDM$ wegen des Kongruenzsatzes (wsw) kongruent. --- Wir wiederholen hier noch mal den weiteren Beweis aus der 1. Übung: Folglich sind einerseits die Strecken ${\overline {AM}}$ und ${\overline {CM}}$ und andererseits die Strecken ${\overline {BM}}$ und ${\overline {DM}}$ kongruent und damit gleich lang. Dies war gerade die Behauptung.

BM1769

Beweise den folgenden Satz!

Wenn in einem konvexen Viereck die Diagonalen einander halbieren, dann ist es ein Parallelogramm.

Lösung BM1769
Bild 2 Beweis: Dafür drehen wir die Argumentationsschritte aus Übung BM1768 um und beginnen von hinten. Wir müssen aber überprüfen, ob jeder einzelne Schritt auch in umgekehrter Richtung logisch ist. 1.) ${\overline {BM}}\cong {\overline {DM}}$ (Die Diagonalen halbieren einander - laut Bedingung.) 2.) ${\overline {AM}}\cong {\overline {CM}}$ (Die Diagonalen halbieren einander - laut Bedingung.) 3.) $\sphericalangle AMB\cong \sphericalangle CMD$ (Scheitelwinkel) 4.) Daraus folgt $\triangle AMB\cong \triangle CMB$ (Kongruenzsatz (sws) ) 5.) ${\overline {AB}}\cong {\overline {CD}}$ (einander zugehörige Teile von kongruenten Dreiecken - laut 4.)) 6.) Analoge Argumentationskette wie 1. bis 4. für die Dreiecke $AMD$ und $BMC$ (einfach um 90° gedreht) 7.) ${\overline {AD}}\cong {\overline {BC}}$ (einander zugehörige Teile von kongruenten Dreiecken - laut 6.)) 8.) Die Bedingungen für ein Parallelogramm („jeweils gleich lange gegenüberliegende Seiten“) sind mit ${\overline {AB}}\cong {\overline {CD}}$ (s. 5.) und ${\overline {AD}}\cong {\overline {BC}}$ (s. 7.) erfüllt. w.z.b.w

BM1770

SATZ:

Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind jeweils die Gegenwinkel gleich groß.

---

\alpha =\gamma

und

\beta =\delta

Lösung BM1770
Bild 2 Es soll bewiesen werden, dass $\sphericalangle DAB\cong \sphericalangle DCB$ und dass $\sphericalangle ADC\cong \sphericalangle ABC$ . --- Bild 3 Die Diagonale $e$ schneidet die Parallelen $a$ und $c$ . Folglich sind die markierten grünen Winkel gleichgroß, denn sie sind Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. --- Bild 4 Die Diagonale $e$ schneidet die Parallelen $d$ und $b$ . Folglich sind die markierten roten Winkel gleichgroß, denn sie sind Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. --- Bild 5 Der rote und der grüne Winkel zusammen bilden jeweils den Winkel $\sphericalangle DAB$ und $\sphericalangle DCB$ . w.z.b.w. --- Bild 6 Nun beweisen wir analog, dass $\sphericalangle ADC\cong \sphericalangle ABC$ . Die Diagonale $f$ schneidet die Parallelen $a$ und $c$ . Folglich sind die markierten roten Winkel gleichgroß, denn sie sind Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. --- Bild 7 Die Diagonale $f$ schneidet die Parallelen $b$ und $d$ . Folglich sind die markierten grünen Winkel gleichgroß, denn sie sind Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen. --- Bild 8 Der rote und der grüne Winkel zusammen bilden jeweils den Winkel $\sphericalangle ADC$ und $\sphericalangle ABC$ . w.z.b.w.

---

Auch die Umkehrung gilt:

Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn die Gegenwinkel gleich groß sind.

BM1771 - BM1780

BM1771

Für die Innenwinkel im Parallelogramm gilt, wie bereits bewiesen,

\alpha =\gamma

und

\beta =\delta

.

Beweise, dass für die Innenwinkel im Parallelogramm außerdem gilt

\alpha +\beta =180^{\circ }

Lösung BM1771
Bild 2 Alpha und Alpha Strich sind Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen. Alpha Strich und Beta sind Nebenwinkel. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. w.z.b.w.

BM1772

Raute

Raute = Rhombus (Plural: Rhomben)

---

Eine Raute ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß.

---

Neben „Raute“ werden auch die Ausdrücke „Rhombus“ (Plural: Rhomben) und „Karo“ verwendet (z. B. „Karomuster“ für ein Webmuster bei Textilien).

Die Raute ist eine Spezialform des Parallelogramms. Ein Spezialfall der Raute wiederum ist das Quadrat,

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Eine Raute ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten (gleichseitiges Viereck). Alternativ lässt sie sich auch als orthodiagonales Parallelogramm definieren.

Weitere Eigenschaften der Raute, von denen wir in den folgenden Übungen einige beweisen werden, sind:

1.) Die Raute ist konvex.

2.) Gegenüberliegende Seiten sind parallel.

3.) Die beiden Diagonalen sind Symmetrieachsen.

4.) Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander.

5.) Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, benachbarte Winkel supplementär (d. h., ihre Summe ist 180°).

6.) Jeder Winkel wird durch eine Diagonale halbiert.

7.) Jede Raute besitzt einen Inkreis, aber nur die rechtwinkelige (also das Quadrat) auch einen Umkreis.

BM1773

Beweise folgende Aussage:

Ein beliebiger Rhombus besitzt zwei Spiegelungsachsen, das sind seine beiden Diagonalen.

Lösung BM1773
Bild 2 Bild 3 Zeichnet man in die Raute die Diagonale $e$ oder $f$ , dann entstehen nach dem Kongruenzsatz (sss) jeweils zwei kongruente gleichschenklige Dreiecke. (Bild 1 und 2) --- Jede Diagonale zerlegt die Raute in zwei kongruente gleichschenklige Dreiecke. Das ergibt sich a) aus dem Kongruenzsatz (sss) oder b) aus dem Kongruenzsatz (sws), wobei die Seiten die beiden Außenseiten sind, die jeweils die Länge $a$ haben und der zwischen ihnen liegende Winkel mit dem gegenüberliegende Winkel kongruent ist: $\alpha =\gamma$ und $\beta =\delta$ ). Also: $\triangle ABD\cong \triangle CBD$

BM1774

Beweise, dass bei einer Raute die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und einander halbieren!

Lösung BM1774
Bild 1 Beweis: ${\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}$ oder $e\perp f$ 1.) ${\overline {AD}}\perp {\overline {BC}}$ und ${\overline {AB}}\perp {\overline {DC}}$ 2.) ${\overline {AB}}\cong {\overline {BC}}\cong {\overline {CD}}\cong {\overline {DA}}$ 3.) Eine Raute ist ein spezielles Parallelogramm, hat also alle Eigenschaften eines Parallelogramms (und noch einige mehr). Wir hatten bereits weiter oben (Übung BM1768) bewiesen: „Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann halbieren die Diagonalen einander.“ Folglich trifft das auch für die Raute zu. 4.) Damit hätten wir schon mal bewiesen, dass die Diagonalen einander halbieren. 5.) ${\overline {AM}}\cong {\overline {CM}}$ (das folgern wir aus 4.) 6.) ${\overline {DM}}\cong {\overline {BM}}$ (das folget auch aus 4.) 7.) aus 5. folgt $\triangle ABM\cong \triangle CBM$ (Kongruenzsatz sss) 8.) $\sphericalangle AMB$ und $\sphericalangle CMB$ sind Nebenwinkel. Und da sie kongruente sind - schließlich sind es zugehörige Winkel in kongruenten Dreiecken - haben sie die gleiche Größe. 9.) Zwei Nebenwinkel ergeben zusammen 180°. Wenn sie beide die gleiche Größe haben, dann können sie nur 90° groß sein. Damit haben wir nun auch bewiesen, dass sie senkrecht aufeinander stehen. w.z.b.w.

BM1775

Beweise, dass in einer Raute jeder Winkel durch eine Diagonale halbiert wird!

Lösung BM1775
Bild 1 In Übung BM1774 hatten wir bereits bewiesen, dass bei einer Raute die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und dass die Dreiecke $AMB$ und $AMD$ kongruent sind. Folglich sind auch die Winkel $MAD$ und $MAB$ gleich groß. w.z.b.w.

BM1776

Nach welcher Formel berechnet man den Umfang U einer Raute mit der Kantenlänge a?

Lösung BM1776
$U=4a$

BM1777

Jede Raute besitzt einen Inkreis, aber nur die rechtwinkelige (also das Quadrat) auch einen Umkreis.

Der Mittelpunkt des Inkreises bzw. des Umkreises liegt im Schnittpunkt der Diagonalen.

Bild 1: Raute mit Inkreis (grün). Die Raute hat keinen Umkreis (rot). Der dargestellt rote Kreis berührt die Raute nur an zwei statt an allen vier Eckpunkten, ist folglich also kein Umkreis.

Bild 2: Quadrat mit Innenkreis (grün) und Umkreis (rot).

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In der ebenen Geometrie ist ein Umkreis ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Polygons (Vielecks) geht. Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis.

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Der Inkreis eines Polygons (Vielecks) ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt, er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen).

BM1778

Rechteck

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In der Geometrie ist ein Rechteck (ein Orthogon) ein ebenes Viereck, dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind. Es ist ein Spezialfall des Parallelogramms (gleichwinkeliges Parallelogramm) und damit auch des Trapezes. Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat, bei dem alle Seiten gleich lang sind (gleichseitiges Rechteck).

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Eigenschaften:

Für jedes Rechteck gilt:

1.) Die Winkelsumme beträgt 360°.

2.) Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel.

3.) Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander.

4.) Es besitzt einen Umkreis und ist daher ein Sehnenviereck. Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.

5.) Es ist achsensymmetrisch bezüglich der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen) der Rechtecksseiten. Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander.

6.) Es ist punktsymmetrisch (zweizählig symmetrisch) bezüglich des Diagonalenschnittpunkts.

(Es wird davon ausgegangen, dass alle Seiten länger als 0 sind.)

BM1779

Rechteck

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Definition: Jedes Parallelogramm mit einem rechten Winkel heißt Rechteck.

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SATZ: Wenn ein Parallelogramm ein Rechteck ist, dann sind die Gegenseiten gleich lang.

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Beweise den Satz!

1. Lösung BM1779
In Übung BM1767 hatten wir bereits folgenden Satz bewiesen: Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind in diesem Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang. --- Das hilft Dir vielleicht weiter den Beweis selbständig zu führen.

2. Lösung BM1779
Beweis: Wir teilen das Rechteck mit der Diagonalen e in zwei Dreieck ABC und ACD. Diese Dreiecke sind kongruent - Kongruenzsatz (sww). 1. Seite: Diagonale e. Sie ist eine gemeinsame Seite der beiden Dreiecke. 1. Winkel: Beta = Delta = 90° (Definition eines Rechtecks.) 2. Winkel: $\alpha _{1}=\gamma _{1}$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen) --- Das ist FALSCH! Finde den Fehler!

3. Lösung BM1779
Es gibt KEINEN Kongruenzsatz (sww). --- Die 4 Kongruenzsätze sind: Kongruenzsatz (sss) Kongruenzsatz (ssw) (Achtung: Gegenwinkel der größeren Seite ) Kongruenzsatz (sws) Kongruenzsatz (wsw) (die Winkel müssen der Seite anliegen) --- Also, versuche den Beweis noch mal!

4. Lösung BM1779
Beweis: Wir teilen das Rechteck mit der Diagonalen e in zwei Dreieck ABC und ACD. Diese Dreiecke sind kongruent - Kongruenzsatz (wsw). 1. Winkel: $\alpha _{1}=\gamma _{1}$ (Wechselwinkel an den geschnittenen Parallelen a und c) Seite: Diagonale e. Sie ist eine gemeinsame Seite der beiden Dreiecke. 2. Winkel: $\alpha _{2}=\gamma _{2}$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen a und c) --- Und schon hat sich wieder ein Fehler eingeschlichen. Finde ihn!

5. Lösung BM1779
2. Winkel: $\alpha _{2}=\gamma _{2}$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen a und c) Das ist falsch. Wir haben zwar die Parallelen a und c, aber die Winkel $\alpha _{2}$ und $\gamma _{2}$ haben nicht einen gemeinsamen Schenkel mit den Parallelen. Es genügt nicht, dass der Scheitelpunkt auf den Parallelen liegt. Es muss richtig lauten. 2. Winkel: $\alpha _{2}=\gamma _{2}$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen b und d) --- Hier noch mal der ganze Beweis: Wir teilen das Rechteck mit der Diagonalen e in zwei Dreieck ABC und ACD. Diese Dreiecke sind kongruent - Kongruenzsatz (wsw). 1. Winkel: $\alpha _{1}=\gamma _{1}$ (Wechselwinkel an den geschnittenen Parallelen a und c) Seite: Diagonale e. Sie ist eine gemeinsame Seite der beiden Dreiecke. 2. Winkel: $\alpha _{2}=\gamma _{2}$ (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen a und c) --- Da die Dreieck ABC und ACD kongruent sind, sind sie in allen einander entsprechenden Seitenlängen und Winkeln identisch. Also sind die Seiten a und c gleich lang. Ebenso sind die Seiten b und d gleichlang. ${\overline {AB}}={\overline {CD}}$ ${\overline {BC}}={\overline {AD}}$ w.z.b.w.

BM1780

SATZ: Wenn ein Parallelogramm ein Rechteck ist, dann sind die beiden Diagonalen gleich lang und halbieren einander.

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Beweise den Satz!

Lösung BM1780
Abgucken zählt nicht!

BM1781 - BM1790

BM1781

Quadrat

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Jedes Parallelogramm mit einem rechten Winkel und einem Paar gleich langer benachbarte Seiten heißt Quadrat.

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Jedes Quadrat ist also sowohl ein Rechteck als auch eine Raute.

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In der Geometrie ist ein Quadrat ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes, konvexes und regelmäßiges Viereck. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, des Trapezes, des Rechtecks und der Raute. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonale.

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Eigenschaften:

Für das Quadrat gilt:

Die vier Seiten sind gleich lang – es ist gleichseitig.
Die vier (Innen-)Winkel sind gleich – es ist gleichwinklig (alle Winkel 90°).
Es hat vier Symmetrieachsen: die beiden Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten) und die beiden Diagonalen.
Es ist 4-zählig drehsymmetrisch und daher auch punktsymmetrisch.
Die beiden Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und stehen aufeinander senkrecht.
Der Schnittpunkt der Diagonalen ist Umkreis- und Inkreismittelpunkt – das Quadrat ist sowohl Sehnen- als auch Tangentenviereck.
Der Flächeninhalt des Umkreises ist doppelt so groß wie der des Inkreises.

BM1782

Gegeben ist die Diagonale eines Quadrates.

Wie konstruiert man damit das Quadrat?

1. Lösung BM1782
Erkläre die Konstruktionsschritte an Hand des animierten Bildes!

2. Lösung BM1782
Auf der Diagonale wird die Mittelsenkrechte errichtet. Der so gefundene Schnittpunkt der Diagonalen dient als Mittelpunkt für einen Kreis mit dem Radius der halben Diagonalen. Der Schnittpunkt des Kreise mit der Diagonalen gibt uns zwei gegenüberliegende Ecken des gesuchten Quadrates. Der Schnittpunkt des Kreise mit der Mittelsenkrechten gibt uns die zwei restlichen gegenüberliegende Ecken des gesuchten Quadrates. Der Kreis ist identisch mit dem Umkreis des Quadrates.

BM1783

Drachenviereck

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Jedes konvexe Viereck, bei dem die Verbindungsgerade zweier gegenüberliegender Ecken Symmetrieachse dieses Viereck ist, heißt Drachenviereck.

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Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es symmetrisch zu einer Diagonalen ist.

Ein Viereck heißt Drachenviereck, wenn es symmetrisch zu mindestens einer Diagonalen ist.

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Spiegelt man ein beliebiges Dreieck an einer Dreiecksseite, so entsteht ein Drachenviereck

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Wie viel Stücke benötigt man zur Konstruktion eines Drachenvierecks?

Lösung BM1783
3 voneinander unabhängige Stücke: z. B. zwei unterschiedliche lange Seiten und eine Diagonale zwei Diagonalen und eine Seite zwei Seiten und ein Winkel (Man benötigt zwei Seiten und einen Winkel.)

BM1784

Wenn ein Drachenviereck vier gleich lange Seiten hat, ist es eine Raute.

Wenn ein Drachenviereck vier rechte Winkel und außerdem vier gleich langen Seiten hat, ist es ein Quadrat.

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Rauten und Quadrate sind Teilmengen von Drachenvierecken.

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Begründe, warum Rauten und Quadrate spezielle Drachenvierecke sind!

Lösung BM1784
Bild 2: Raute ${\overline {AC}}$ ist die Symmetrieachse der Raute. Auch ${\overline {BD}}$ wäre eine mögliche Symmetrieachse. --- Bild 3: Quadrat ${\overline {AC}}$ ist die Symmetrieachse der Raute. Auch ${\overline {BD}}$ wäre eine mögliche Symmetrieachse. --- Die Definition der Raute ist: "Die Verbindungsgerade zweier gegenüberliegender Ecken ist Symmetrieachse des Vierecks."

BM1785

Drachenviereck

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Ein Drachenviereck (auch: Deltoid) ist ein ebenes Viereck,

bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist,

oder (äquivalent)

das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten ${\overline {AB}}={\overline {AD}}$ und ${\overline {BC}}={\overline {DC}}$ besitzt.

Oft wird nur die konvexe Form des Deltoids als Drachenviereck bezeichnet und die nicht-konvexe Form als Pfeilviereck. (Die Bezeichnung „Drachenviereck“ verweist auf die Form vieler Flugdrachen.)

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Ein spezielles Drachenviereck ist der Rhombus (auch die Raute): Es ist ein gleichseitiges Drachenviereck .

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Eine Verallgemeinerung des Drachenvierecks ist der schiefe (schräge) Drachen, bei dem nur verlangt wird, dass eine Diagonale durch die andere halbiert wird. Das Deltoid ist dann ein gerader Drachen.

BM1786

Eigenschaften des Drachenvierecks:

Für jedes Deltoid gilt mit den Bezeichnungen aus der Grafik:

Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander (sie sind orthogonal: Das Deltoid ist ein orthodiagonales Viereck).
Die Diagonale $AC$ , die die Symmetrieachse ist, halbiert die andere Diagonale $BD$ .
Die einander gegenüberliegenden Winkel in den Eckpunkten $B$ und $D$ sind gleich groß.
Die Diagonale durch die Eckpunkte $A$ und $C$ halbiert in diesen die Winkel.

Für jedes konvexe Deltoid gilt:

Es hat einen Inkreis und ist daher ein Tangentenviereck.
Es ist ein Sehnenviereck, wenn die beiden gleichen Eckwinkel (in $B$ und $D$ ) rechte Winkel sind.

Die Diagonale

AC

ist Symmetrieachse und halbiert die Diagonale

BD

. Sie teilt das Viereck

ABCD

in zwei kongruente spiegelsymmetrische Dreiecke (

ABC

und

ACD

).

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Die Diagonale

BD

teilt das Viereck in zwei gleichschenklige Dreiecke (

ABD

und

BCD

). Die Innenwinkel bei

B

und bei

D

sind gleich groß.

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Die Winkel bei

A

und bei

C

werden von der Diagonale halbiert.

BM1787

Inkreis und Umkreis am Drachenviereck

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Um den Mittelpunkt für den Inkreis eines Drachenvierecks zu konstruieren, müssen die Winkelhalbierenden des Drachenvierecks konstruiert werden.

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.

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Da die eine Diagonale - als Symmetrieachse des Drachenvierecks - bereits die Winkelhalbierende für zwei gegenüberliegende Winkel darstellt, muss nur noch für einen dritten Winkel eine Winkelhalbierende konstruiert werden (rot). Die blaue Winkelhalbierende hätte man auch weglassen können.

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Der Mittelpunkt des Inkreises liegt auf der Symmetrieachse.

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Am Drachenviereck lässt sich nur im Ausnahmefall ein Umkreis konstruieren.

Um den Umkreis zu erhalten, müssen die Mittelsenkrechten des Drachenvierecks konstruiert werden. Nur wenn sich diese in einem Punkt schneiden hat man den Mittelpunkt für einen Umkreis.

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Bild 10: Inkreis und Umkreis am konvexen und konkaven Drachenviereck

Wenn die beiden Winkel, welche nicht an der Symmetrieachse liegen, jeweils rechte Winkel sind, dann gibt es einen Umkreis.

In Bild 1 sind das der Winkel rechts und links im Bild.

Das rechte halbe Drachenviereck - auf der rechten Seite der Symmetrieachse - ist also ein rechtwinkliges Dreieck. Das linke halbe Drachenviereck - auf der linken Seite der Symmetrieachse - ist ebenfalls ein rechtwinkliges Dreieck.

Ansonsten hat das Drachenviereck keinen Umkreis. Ein Umkreis ist also nur ein Spezialfall. Im Allgemeinen hat das Drachenviereck keine Umkreis. Dagegen hat es immer einen Inkreis.

Der Mittelpunkt eines Umkreises muss auf der Symmetrieachse liegen.

BM1788

SATZ: In jedem Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

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Beweise diesen Satz!

Lösung BM1788
Ein Drachenviereck besteht aus zwei kongruenten Dreiecken. (Def. des Drachenvierecks: eine Diagonale ist Symmetrieachse) Deshalb ist D das Bild von B nach der (senkrechten) Spiegelung an der Symmetrieachse (der Diagonalen e). Die Verbindungslinie (Diagonale f) zwischen Bildpunkt (D) und Originalpunkt (B) steht senkrecht auf der Spiegelachse (Diagonale e) w.z.b.w. --- Man kann den Beweis auch anders angehen: Die Dreiecke ABE und ADE sind konkruent (Kongruenzsatz sws: gemeinsame Seite AE; der Winkel BAD wird durch die Symmetrieachse genau halbiert; die Seite AB ist so lang wie AD) Wegen der kongruenten Dreieck sind auch die Winkel AEB und AED kongruent. Da sie gleichzeitig Nebenwinkel sind, sind sie genau 90° große. Die Gerade BD steht also rechtwinklig auf AC. w.z.b.w. --- Oder man könnte diesen Beweis noch anders führen: Die Diagonale f teilt das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Dreiecke. Im weiteren Verlauf wollen wir uns nur das gleichschenklige Dreieck ABD anschauen. Wenn wir in diesem Dreieck die Mittelsenkrechte auf BD errichten, dann teilt diese den Winkel BAD genau zur Hälfte, fällt also mit der Diagonalen AC zusammen. Und die Mittelsenkrechte AE steht genau senkrecht auf BD. w.z.b.w.

BM1789

Beim Drachenviereck halbiert die längere Diagonale die kürzere.

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Stimmt das?

Lösung BM1789
Bild 2 Nein, das stimmt nicht, wie die nebenstehende Zeichnung zeigt. --- Der Satz müsste also lauten: Beim Drachenviereck halbiert eine Diagonale die andere Diagonale.

BM1790

Beim Drachenviereck halbiert die längere Diagonale die anliegenden Winkel.

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Stimmt das?

Lösung BM1790
Bild 2 Nein, das stimmt nicht, wie nebenstehende Zeichnung zeigt. --- Der Satz müsste also lauten: Beim Drachenviereck halbiert eine Diagonale die anliegenden Winkel.

BM1791 - BM1800

BM1791

Die kürzere Diagonale teilt das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Dreiecke.

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Stimmt das?

Lösung BM1791
Bild 2 Nein, das stimmt nicht, wie die nebenstehende Zeichnung zeigt. --- Der Satz müsste also lauten: Eine der beiden Diagonalen teilt das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Dreiecke. --- Umgekehrt ergibt sich daraus: Zwei gleichschenklige Dreiecke mit gleicher Grundseite bilden ein Drachenviereck, wenn man sie Grundseite an Grundseite zusammenfügt.

BM1792

Die Raute ist allgemeiner ein Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten. Eine Raute mit einem rechten Winkel ist schon ein Quadrat. Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke (z. B. die Seitenlänge und ein Winkel) notwendig.

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Kombinationen mehrerer Rauten:

Bild 4: sechszackiger Rautenstern

Zum Stern („Rautenstern“) schließen sich nur Rhomben, deren Zentriwinkel (also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt) gleich

360^{\circ }/n

mit einer natürlichen Zahl

n

ist. Sie bilden dann einen

n

-zackigen Stern.

BM1793

Rechtwinkliges Trapez

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Ein Trapez heißt rechtwinklig (oder auch orthogonal), wenn es mindestens einen rechten Innenwinkel besitzt. Da in einem Trapez alle Winkel an einer der parallelen Grundseiten anliegen, muss ein rechtwinkliges Trapez immer mindestens zwei rechte Winkel besitzen, die nebeneinander liegen. Ein Rechteck ist der Spezialfall eines rechtwinkligen Trapezes; es besitzt sogar vier rechte Innenwinkel.

BM1794

Tangentenviereck

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Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks.

Die (hier grün dargestellten) Senkrechten vom Inkreismittelpunkt (M) auf die vier Seiten zerlegen das Tangentenviereck in vier Drachenvierecke (mit grau gezeichneten Symmetrieachsen).

In einem Tangentenviereck ist die Summe zweier gegenüberliegender Seiten (z. B. a und c) gleich der Summe der anderen beiden Seiten (b und d). Es gilt also

a+c=b+d

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Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Inkreis.

Die Seiten sind Tangenten. So entsteht der Name.

BM1795

Sehnenviereck

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Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises. Üblicherweise meint man mit Sehnenviereck ein nicht überschlagenes Sehnenviereck, dieses ist notwendigerweise konvex.

BM1796

Erkläre die Konstruktion eines Trapezes an Hand der Abbildung!

BM1797

Satz: Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich stets.

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Beweise diesen Satz!

Lösung BM1797
Sei ABCD ein Parallelogramm. (Es sei ABCD ein Parallelogramm.) (ABCD sei ein Parallelogramm.) Sei ABCD ein Parallelogramm. Sei M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen. Es soll gezeigt werden, dass ${\overline {AM}}$ und ${\overline {CM}}$ die gleiche Länge haben, und dass ${\overline {BM}}$ und ${\overline {DM}}$ die gleiche Länge haben. Bild 2 Wir betrachten die Dreiecke $ABM$ und $CDM$ . 1.) ${\overline {AB}}$ und ${\overline {CD}}$ sind gleich lang, nach Eigenschaften eines Parallleogramms. (Übung BM1767; SATZ: Wenn ein konvexes Viereck ein Parallelogramm ist, dann sind in diesem Viereck jeweils die Gegenseiten gleich lang.) 2.) $\sphericalangle AMB$ und $\sphericalangle CMB$ sind gleich groß als Scheitelwinkel. 3.) $\sphericalangle MBA$ und $\sphericalangle MDC$ sind gleich groß als Stufenwinkel. 4.) $\sphericalangle BAM$ und $\sphericalangle MCD$ sind gleich groß als Stufenwinkel. Nach Kongrunzsatz (wsw) ist $\triangle ABM\cong \triangle CDM$ . Also gilt insbesondere ${\overline {AB}}={\overline {DM}}$ . Analog erhalten wir für die anderen Seiten ${\overline {CM}}={\overline {AM}}$ . w.z.b.w.

BM1798

Beweise den folgenden Satz:

Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks fällt mit dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zusammen

Lösung BM1798
Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu der Strecke ${\overline {AB}}$ sind von $A$ und $B$ gleich weit entfernt (gleichschenkliges Dreieck). Analog haben die Punkte der Mittelsenkrechten ${\overline {BC}}$ jeweils den gleichen Abstand von $B$ und $C$ . Der Schnittpunkt $U$ der beiden Mittelsenkrechten (auf ${\overline {AB}}$ und auf ${\overline {BC}}$ ) hat folglich von allen drei Eckpunkten des Dreiecks ( $A$ , $B$ und $C$ ) den gleichen Abstand. ${\overline {UA}}={\overline {UB}}$ ; ${\overline {UB}}={\overline {UC}}$ ${\overline {UA}}={\overline {UB}}={\overline {UC}}$ Folglich muss dieser Punkt $U$ auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um $C$ einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen. w.z.b.w.

BM1799

Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem Sechseck?

Die Abb. 1 - 6 geben dir einen Hinweis.

Lösung BM1799
Bild 7 Wir bezeichnen die Eckpunkte eines regulären Sechsecks mit A, B, C, D, E und F. Die dazugehörigen Innenwinkel bezeichnen wir mit Alpha (α), Beta (β), Gamma (γ), Delta (δ), Epsilon (ε) und Zeta (ζ). --- Bild 8 Bei einem regulären Sechseck, das wir hier betrachten, sind alle Innenwinkel gleich groß. --- Bild 9 Es reicht also die Größe eines Innenwinkels zu kennen, um die Summe der Innenwinkel zu ermitteln. Wir verbinden die gegenüberliegenden Ecken des Sechsecks mit Geraden. In Bild 9 ist erst mal nur eine Verbindungsgerade der gegenüberliegenden Eckpunkte eingetragen. --- Bild 10 Die drei Geraden, die die jeweils gegenüberliegenden Eckpunkte des Sechsecks verbinden, schneiden sich in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt $M$ hat dem gleichen Abstand zu allen 6 Eckpunkten. Das wird nochmals durch den Umkreis veranschaulicht, der durch alle sechs Eckpunkte geht und $M$ als Mittelpunkt hat. Die Entfernung von $M$ zu den Eckpunkten entspricht den Radius des Umkreises. Die Stecken von $M$ zu den jeweiligen Eckpunkten des Sechsecks sind also gelich lang. Folglich sind diese Dreiecke sind nicht nur alle identisch, sondern es sind auch alle gleichschenklige Dreiecke, denn es gehen jeweils zwei Seiten vom Mittelpunkt des Sechsecks zu den Außenecken des Sechsecks --- Bild 11: griechischer Buchstabe: Lambda (λ) Dadurch, dass wir die gegenüberliegenden Ecken des Sechsecks miteinander verbunden haben, haben sich sechs gleichschneklige Dreiecke ergeben. In gleichschenkligen Dreiecken sind die beiden Winkel an der Basis des Dreiecks kongruent. Die beiden Winkel des Dreiecks, die nicht am Mittelpunkt liegen, sind also gleich groß. --- Bild 12: griechischer Buchstabe: Phi (φ) Nun betrachten wir den Mittelpunkt $M$ . Ein Vollkreis hat $360^{\circ }$ . Die sechs Spitzen der sechs identischen Dreiecke treffen sich alle im Mittelpunkt des Sechsecks. Diese sechs Winkel bilden also zusammen 360°. Wir können also schreiben $6\cdot \phi =360^{\circ }$ . Durch 6 auf beiden Seiten dividiert ergibt $\phi ={\tfrac {360^{\circ }}{6}}=60^{\circ }$ . --- Bild 13: griechische Buchstaben: Lambda (λ); Phi (φ) Jetzt packen wir die Erkenntnisse aus den beiden vorherigen Abbildungen zusammen. --- Bild 14 Wir haben also sechs gleichschenklige Dreiecke, mit zwei kongruenten Winkeln und wir wissen, dass der dritte Winkel in diesen Dreieck jeweils 60° groß ist. --- Bild 15: griechische Buchstaben: Lambda (λ); Phi (φ) Die Summe der Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°. Also gilt für jedes der sechs identischen Dreieck $180^{\circ }=\phi +\lambda +\lambda$ oder $180^{\circ }=60^{\circ }+2\cdot \lambda$ . Das können wir nach $\lambda$ umstellen. Dazu ziehen wir zuerst auf beiden Seiten $60^{\circ }$ ab und erhalten $120^{\circ }=2\cdot \lambda$ . Zum Schluss dividieren wir durch zwei und haben als Endergebnis $\lambda =60^{\circ }$ . Wir haben also $\lambda =60^{\circ }$ und $\phi =60^{\circ }$ , also sind alle drei Winkel gleich groß. Das ist nichts anderes als ein gleichseitiges Dreieck. --- Bild 17 Jeder Innenwinkel in einem gleichseitigen Dreieck ist 60°. So ist das auch bei unseren sechs Dreiecken, die das Sechseck bilden. Der Innenwinkel eines Sechsecks wird von zwei Winkeln von zwei Dreieck gebildt, ist also 120° groß. $2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$ --- Bild 18 Da wir insgesamt sechs Innenwinkel haben beträgt die Summe der Innenwinkel im Sechseck 720°. $6\cdot 120^{\circ }=720^{\circ }$

BM1800

Erkläre wie man ein Sechseck konstruiert!

1. Lösung BM1800
Bild 2 Ein reguläres Sechseck lässt sich als Konstruktion mit Zirkel und Lineal aus einem Kreis darstellen, indem der Radius des Kreises sechsmal auf dem Kreisrand abgetragen wird . Die erhaltenen Punkte sind die Ecken des Sechsecks. --- Warum funktioniert das?

2. Lösung BM1800
Bild 3 Weil, wie wir gerade in Übung BM1799 gezeigt hatten, das Sechseck in sechs gleichseitige Dreieck zerlegt werden kann. Bei diesen ist die Strecke vom Mittelpunkt des Sechsecks bis zur Außenecke des Sechsecks genauso lang, wie eine Außenseite des Sechsecks. Da es genau sechs Außenseiten gibt, können wir deren Länge mit dem Radius vom Umkeis des Sechsecks abtragen. --- Bild 4 Alternativ genügt nach Euklid das zweimalige Abtragen auf dem Kreisrand. Die fehlenden Ecken können dann über die Geraden durch den Mittelpunkt des Umkreises und die bereits bekannten Ecken konstruiert werden. --- Bild 5: Konstruktion eines Sechsecks mit Zirkel und Lineal --- Wie konstruiert man ein Sechseck, wenn die Seitenlänge gegeben ist?

3. Lösung BM1800
Bild 6: Konstruktion eines Sechsecks bei gegebener Seitenlänge Konstruktion eines Sechsecks bei gegebener Seitenlänge: Ein reguläres Sechseck lässt sich ebenfalls konstruieren, wenn eine vorhandene Strecke als Seitenlänge verwendet werden soll. 1.) Bezeichne die Endpunkte der Strecke mit A bzw. B. 2.) Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt A mit dem Radius ${\overline {AB}}$ . 3.) Zeichne einen Kreisbogen um den Punkt B mit dem Radius ${\overline {AB}}$ , es ergibt sich der Schnittpunkt M, der Mittelpunkt vom späteren Umkreis. 4.) Zeichne einen Kreis um den Punkt M mit dem Radius ${\overline {AM}}$ , dies ist der Umkreis des späteren Sechsecks. 5.) Trage die Strecke ${\overline {AB}}$ ab dem Punkt B viermal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab. 6.) Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Sechseck $ABCDEF$ .

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Lección 086