Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 102b

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Lección 102

Mathematik auf Deutsch - 52

BM2551 - BM2560

BM2551

Gib das Lösungsintervall an!

$\textstyle {\frac {3}{7}}x+{\frac {2}{7}}>-{\frac {1}{7}}x-{\frac {5}{14}}$

Lösung BM2551: Teil 1

Zuerst stellen wir mal das „x“ mit in den Zähler: ${\begin{aligned}\textstyle {\frac {3}{7}}x+{\frac {2}{7}}&>\textstyle -{\frac {1}{7}}x-{\frac {5}{14}}\\\textstyle {\frac {3x}{7}}+{\frac {2}{7}}&>\textstyle {\frac {-x}{7}}-{\frac {5}{14}}\end{aligned}}$ ------------------ Um dann alle Brüche wegzubekommen multiplizieren wir beide Seiten mit dem kgV Das kleinste gemeinsame Vielfache von 7 und 14 ist 14.

Lösung BM2551: Teil 2

${\begin{aligned}\textstyle {\frac {3x}{7}}+{\frac {2}{7}}&>\textstyle {\frac {-x}{7}}-{\frac {5}{14}}\quad \quad |\quad \cdot 14\\\textstyle 14\cdot ({\frac {3x}{7}}+{\frac {2}{7}})&>\textstyle 14\cdot ({\frac {-x}{7}}-{\frac {5}{14}})\\\textstyle {\frac {14\cdot 3\cdot x}{7}}+{\frac {14\cdot 2}{7}}&>\textstyle {\frac {14\cdot (-x)}{7}}-{\frac {14\cdot 5}{14}}\quad \quad |\quad {\text{kuerzen}}\\(2\cdot 3\cdot x)+(2\cdot 2)&>2\cdot (-x)-5\quad \quad |\quad {\text{vereinfachen}}\\6x+4&>-2x-5\quad \quad |\quad +2x\\8x+4&>-5\quad \quad |\quad -4\\8x&>-9\quad \quad |\quad :8\\x&>\textstyle -{\frac {9}{8}}\end{aligned}}$ $L=\{\quad (\textstyle -{\frac {9}{8}};\infty )\quad \}$

BM2552

Gib das Lösungsintervall an!

$0,8x-0,5<x+1-0,5x$

Lösung BM2552: Teil 1
Dezimalzahlen sind Brüche, die im Nenner Potenzen von 10 haben. (Also 10; 100; 1000 usw.) In unserer Ungleichung haben die Zahlen maximal eine Nachkommastelle. Wir multiplizieren also beide Seiten mit Zehn. Somit verschwinden alle Kommas.

Lösung BM2552: Teil 2
${\begin{aligned}0,8x-0,5&<x+1-0,5x\quad \quad |\quad \cdot 10\\10\cdot (0,8x-0,5)&<10\cdot (x+1-0,5x)\\10\cdot 0,8x-10\cdot 0,5&<10\cdot x+10\cdot 1-10\cdot 0,5x\\8x-5&<10x+10-5x\\\end{aligned}}$ Das muss jetzt noch vereinfacht und umgestellt werden.

Lösung BM2552: Teil 3
${\begin{aligned}8x-5&<10x+10-5x\\8x-5&<15x+10\quad \quad |\quad +5\\8x&<15x+15\quad \quad |\quad -15x\\-7x&<15\quad \quad |\quad :(-7)\\x&>\textstyle -{\frac {15}{7}}\end{aligned}}$ Das ist FALSCH! Wer findet den Fehler?

Lösung BM2552: Teil 4
${\begin{aligned}8x-5&<{\color {blue}10x}+10{\color {blue}-5x}\\8x-5&<{\color {red}5}x+10\quad \quad |\quad +5\\8x&<5x+15\quad \quad |\quad -5x\\3x&<15\quad \quad |\quad :3\\x&<\textstyle {\frac {15}{3}}\\x&<5\end{aligned}}$ $L=\{\quad (-\infty ;5)\quad \}$

BM2553

Das Zeichen „>“ kann man in Textaufgaben mit „mehr als“ übersetzen.

T > 30°C

Die Temperatur ist über 30°C.

Die Temperatur ist höher als 30°C.

---

Das Zeichen „≥“ kann man in Textaufgaben mit „mindestens“ übersetzen.

L ≥ 10 m

Die Länge ist mindestens 10 m.

Die Länge ist 10 m oder länger.

---

Das Zeichen „≤“ kann man in Textaufgaben mit „höchstens“ übersetzen.

G ≥ 32 kg

Das Gewicht ist höchstens 32 kg. (Maximalgewicht für Gepäck im Flugzeug)

Das Gewicht ist 32 kg oder weniger.

BM2554

Textaufgabe:

Die Prüfung gilt nur als bestanden, wenn der Student in beiden Prüfungsteilen (praktischen Prüfung und theoretische Prüfung) im Durchschnitt mindestens 80 % der möglichen Punkte erreicht.

Ein Student hat nun in der praktischen Prüfung 74 % der möglichen Punktzahl erreicht.

Wie viel Prozent muss er mindestens in der theoretischen Prüfung erreichen, um die Prüfung zu bestehen?

Lösung BM2554: Teil 1
mindestens 80 % kann man schreiben als „größer-gleich“ ≥ 80% --- Den Durchschnitt errechnet man aus (a+b)2 $\textstyle {\frac {74+x}{2}}\geqq 80$ Und dafür rechnet man jetzt das „x“ aus.

Lösung BM2554: Teil 2
${\begin{aligned}\textstyle {\frac {74+x}{2}}&\geqq 80\quad \quad |\cdot 2\\74+x&\geqq 160\quad \quad |-74\\x&\geqq 86\end{aligned}}$

Lösung BM2554: Antwortsatz
Der Student braucht 86 % oder mehr in der theoretischen Prüfung, umd die Prüfung insgesamt zu bestehen.

BM2555

Durchschnitt (Mittelwert)

---

Der Durchschnitt errechnet sich aus der Summe der Einzelwerte geteilt durch deren Anzahl.

Der Durchschnitt von „n“ Elementen errechnet sich aus der Summe der Elemente geteilt durch „n“ (also deren Anzahl).

---

Der Durchschnitt von 2 Werten wird also folgendermaßen gerechnet:

$\textstyle {\frac {(a+b)}{2}}$

---

Ermittle den Durchschnitt von 10 und 20!

Lösung BM2555-1
$\textstyle {\frac {(10+20)}{2}}={\frac {30}{2}}=15$ Der Durchschnitt von 10 und 20 ist 15.

---

Der Durchschnitt von 3 Werten wird folgendermaßen gerechnet:

$\textstyle {\frac {(a+b+c)}{3}}$

Ermittle den Durchschnitt von 1 und 10 und 11!

Lösung BM2555-2
$\textstyle {\frac {(1+10+11)}{3}}={\frac {22}{3}}=7,{\overline {s}}$ Der Durchschnitt von 1 und 10 und 11 ist 7,333...

Der Durchschnitt von 4 Werten ist $\textstyle {\frac {(a+b+c+d)}{4}}$

---

Allgemein gilt:

Der Druchschnitt von „n“ Werten wird gerechnet nach der allgemeinen Formel

$\textstyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})}{n}}$

BM2556

Textaufgabe:

Eine Familie isst am Montag 6 Brötchen, am Dienstag 8, am Mittwoch 5; am Donnerstag 6, am Freitag 7, am Samstag 10 und am Sonntag 13 Brötchen.

Wie viel Brötchen ist die Familie im Durchschnitt täglich?

Lösung BM2556
$\textstyle {\frac {(6+8+5+6+7+10+13)}{7}}={\frac {55}{7}}=7,857$ Die Familie isst im Schnitt täglich knapp 8 Brötchen.

BM2557

Systeme mit zwei Ungleichungen

---

Beispiel:

x ≥ 3 UND x ≤ 5

---

Zusammengesetzte Ungleichungen sind eine Kombination von zwei Ungleichungen

Systeme von Ungleichungen

Ungleichungssysteme haben 2 Ungleichungen, die durch UND oder ODER miteinander verbunden sind.

---

Welches „x“ erfüllt die Bedingungen

x ≥ 3

und

x ≤ 5?

Gesucht ist das Intervall, in dem die beiden Ungleichungen erfült sind.

Lösung BM2557
x ≥ 3 UND x ≤ 5   ⇒   [3; 5] $(x\geqq 3){\text{UND}}(x\leqq 5)$ Intervallschreibweise: $[3;\infty )\quad {\text{UND}}\quad (-\infty ;5]\quad \Longrightarrow \quad [3;5]$

überlappen

sich überlappen

die Überlappung

Lappen

überschneiden

Überschneidung

---

Die Lösungen der beiden Ungleichungen überlappen sich. Nur dieser Überlappungsbereich ist die Lösungsmenge.

BM2558

Mengendiagramm; $A\lor B$

x ≥ 3 ODER x ≤ 5

Lösung: $(-\infty ;\infty )$

---

Das Zeichen für ODER (engl. OR) ist in der Mathematik ein Zeichen, das von dem Kleinbuchstaben „v“ abgeleitet ist.

„v“ kommt vom lateinischen „vel“ (= „nicht-ausschließendes Oder“).

$A\lor B$ (lies: A oder B)

---

Für „x ≥ 3 ODER x ≤ 5“ schreibt man also

$x\geqq 3\lor x\leqq 5$

Bei ODER reicht es, wenn eine der beiden Ungleichungen erfüllt ist. Es muss also nicht wie bei UND eine Überlappung geben.

---

Mengendiagramm; $A\land B$

Das Zeichen für UND (engl. AND) ist $\land$. Das ist genau umgekehr zum $\lor$ für ODER.

Beispiel:

Für „x ≥ 3 UND x ≤ 5“ schreibt man also

$x\geqq 3\land x\leqq 5$

BM2559

$A\land B$ ; $A\lor B$

$x\geqq 3\land x\leqq 5$

$[3;\infty )\land (-\infty ;5]$

$[3;5]$

---

$x\geqq 3\lor x\leqq 5$

$[3;\infty )\lor (-\infty ;5]$

$(-\infty ;\infty )$

BM2560

Berechne die Lösung! Gib das Lösungsintervall an!

$x\leqq 3\land x\geqq 5$

Lösung BM2560
$L=\{\quad \}$ $L=\emptyset$

BM2561 - BM2570

BM2561

$x+1<9\land 2x-1>8$

Um die Lösung für das System dieser beiden Ungleichungen zu suchen, könnte man versuchsweise verschiedene Werte für „x“ einsetzen.

Zum Beispiel nehmen wir willkürlich x=5 und setzen es in die beiden Ungleichungen ein, um zu sehen um dadurch beide Ungleichungen wahr werden.

${\begin{aligned}x=5&\\x+1&<9\quad \quad |\quad {\text{linke Ungleichung}}\\5+1&<9\\6&<9\\{\text{wahr}}\end{aligned}}$

-----------------------

${\begin{aligned}x=5&\\2x-1&>8\quad \quad |\quad {\text{rechte Ungleichung}}\\2\cdot 5-1&>8\\9&>8\\{\text{wahr}}\end{aligned}}$

Für $x=5$ ist also das Gleichungssystem wahr, denn mit der Lösung ($x=5$) müssen beide Ungleichungen (in einem Ungleichungssystem mit UND) erfüllt sein.

-----

Als zweites Beispiel nehmen wir $x=-5$ und setzen es in die beiden Ungleichungen ein, um zu sehen um dadurch beide Ungleichungen wahr werden.

${\begin{aligned}x=-5&\\x+1&<9\quad \quad |\quad {\text{linke Ungleichung}}\\-5+1&<9\\-4&<9\\{\text{wahr}}\end{aligned}}$

-----------------------

${\begin{aligned}x=-5&\\2x-1&>8\quad \quad |\quad {\text{rechte Ungleichung}}\\2\cdot (-5)-1&>8\\-11&>8\\{\text{falsch}}\end{aligned}}$

Für $x=-5$ ist das Gleichungssystem nur teilweise war. Damit ist das Gleichungssystem NICHT wahr. Denn mit der Lösung ($x=-5$) müssen BEIDE Ungleichungen (in einem Ungleichungssystem mit UND) erfüllt sein.

$-5$ ist also keine Lösung.

$-5$ gehört nicht zur Lösungsmenge.

BM2562

Berechne die Lösung durch Umstellung der Ungleichungen nach x! Gib das Lösungsintervall an!

$x+1<9\quad \quad \land \quad \quad 2x-1>8$

Lösung BM2562
${\begin{aligned}x+1&<9\quad \quad |\quad -1\\x&<8\end{aligned}}$ $(-\infty ;8)$ --- ${\begin{aligned}2x-1&>8\quad \quad |\quad +1\\2x&>9\quad \quad |\quad :2\\x&>\textstyle {\frac {9}{2}}\\x&>4,5\end{aligned}}$ $(4,5;\infty )$ --- $x+1<9\land 2x-1>8$ $(-\infty ;8)\land (4,5;\infty )$ $[4,5;8]$

BM2563

Venn-Diagramm von $A{\dot {\lor }}B$
Die Kontravalenz ist das oder mit ausgeschlossenem und.
Unter den Mengenoperationen entspricht diesem Junktor die Vereinigung mit ausgeschlossenem Schnitt

UND (eng. AND) $A\land B$

Beispiel: Ich habe einen Hund UND eine Katze.

---

ODER (= inklusives ODER) (engl. OR) $A\lor B$

Beispiel: Ich bitte um Handzeichen. Wer hat einen Hund oder eine Katze. (Natürlich melden sich auch die Leute, die einen Hund UND eine Katze haben. Es meldet sich also jeder, der mindestens eines von beiden hat. „Mindestens“ heißt, dass es auch mehr sein kann. Es kann also auch beides sein. )

---

XOR (= exklusives Oder) $A{\dot {\lor }}B$

Beispiel: Ist er jetzt in Berlin oder in München?

Ist die Hauptstadt von Australien Sydney oder Melbourne?

Ist die Hauptstadt der Schweiz Zürich oder Genf?

BM2564

$5-2x\leqq -4\quad \quad \lor \quad \quad 5-2x\geqq 4$

Um die Lösung für das System dieser beiden Ungleichungen zu suchen, setzen 2 für x ein und schauen, ob das eine Lösung des Ungleichungssystems ist.

Wir setzen x=2 in die beiden Ungleichungen ein, um zu sehen um dadurch beide Ungleichungen wahr werden.

${\begin{aligned}x=2&\\5-2x&\leqq -4\quad \quad |\quad {\text{linke Ungleichung}}\\5-2\cdot 2&\leqq -4\\1&\leqq -4\\{\text{falsch}}\end{aligned}}$

-----------------------

${\begin{aligned}x=2&\\5-2x&\geqq 4\quad \quad |\quad {\text{rechte Ungleichung}}\\5-2\cdot 2&\geqq 4\\1&\geqq 4\\{\text{falsch}}\end{aligned}}$

Für $x=2$ ist also das Gleichungssystem nicht wahr. Es würde bei zwei durch ODER verbundene Ungleichungen reichen, wenn nur eine der beiden Ungleichungen erfüllt ist. Mit der $x=2$ wurde aber weder die eine, noch die andere Ungleichung erfüllt.

-----

Überprüfe, ob das Gleichungssystem

$5-2x\leqq -4\quad \quad \lor \quad \quad 5-2x\geqq 4$

für $x=-3$ wahr ist!

Lösung BM2564

${\begin{aligned}x=-3&\\5-2x&\leqq -4\quad \quad |\quad {\text{linke Ungleichung}}\\5-2\cdot (-3)&\leqq -4\\11&\leqq -4\\{\text{falsch}}\end{aligned}}$ ----------------------- ${\begin{aligned}x=-3&\\5-2x&\geqq 4\quad \quad |\quad {\text{rechte Ungleichung}}\\5-2\cdot (-3)&\geqq 4\\11&\geqq 4\\{\text{wahr}}\end{aligned}}$ Also ist das Ungleichungssystem $5-2x\leqq -4\quad \quad \lor \quad \quad 5-2x\geqq 4$ für $x=-3$ wahr, denn bei ODER reicht es, wenn nur eine der beiden Ungleichungen wahr wird. Die ODER-Bedingung ist erfüllt, wenn mindestens eine der beiden Ungleichungen durch den Zahlenwert wahr wird.

BM2565

Berechne die Lösung durch Umstellung der Ungleichungen nach x! Gib das Lösungsintervall an!

$5-2x\leqq -4\quad \quad \lor \quad \quad 5-2x\geqq 4$

Lösung BM2565

linke Seite: ${\begin{aligned}5-2x&\leqq -4\quad \quad |\quad -5\\-2x&\leqq -9\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\2x&\geqq 9\quad \quad |\quad :2\\x&\geqq \textstyle {\frac {9}{2}}\\x&\geqq 4,5\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}5-2x&\geqq 4\quad \quad |\quad -5\\-2x&\geqq -1\quad \quad |\quad \cdot (-1)\\2x&\leqq 1\quad \quad |\quad :2\\x&\leqq 0,5\end{aligned}}$ --------------------- $5-2x\leqq -4\quad \lor \quad 5-2x\geqq 4$ $x\geqq 4,5\quad \lor \quad x\leqq 0,5$ $(-\infty ;0,5]\quad \lor \quad [4,5;\infty )$

BM2566

Systeme von 2 Ungleichungen

---

Berechne die Lösung durch Umstellung der Ungleichungen nach x! Gib das Lösungsintervall an!

$x+3<8\quad \land \quad -2x-1\leqq 3$

Lösung BM2566
linke Seite: ${\begin{aligned}x+3&<8\quad \quad |\quad -3\\x&<5\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}-2x-1&\leqq 3\quad \quad |\quad +1\\-2x&\leqq 4\quad \quad |\quad :(-2)\\x&\geqq -2\end{aligned}}$ --------------------- $x+3<8\quad \land \quad -2x-1\leqq 3$ $x<5\quad \land \quad x\geqq -2$ $[-2;5)$

BM2567

Bild 1

Bild 1 oben: Zwei Lösungsintervalle, die sich nicht überlappen, können bei einer UND-Verknüpfung keine Lösung sein. In diesem Fall ist die Lösung also die leere Menge. $L=\emptyset$

---

Bild 1 unten: Zwei Lösungsintervalle, die sich nicht überlappen, gehören bei einer ODER-Verknüpfung beide zur Lösungsmenge.

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Bild 2

Bild 2: Zwei Lösungsintervalle, die sich überlappen, bilden bei einer UND-Verknüpfung im Überlappungsbereich die Lösungsmenge.

Der sich überlappende Bereich (der beiden Lösungsmengen) ist die Lösungsmenge des gesamten Systems bei einer UND-Verknüpfung.

Die Lösung ist das Intervall, in dem sich die beiden Lösungsmengen (der beiden Ungleichungen) überlappen.

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Bild 3

Bild 3: Zwei Lösungsintervalle, die sich überlappen, bilden bei einer ODER-Verknüpfung eine Lösungsmenge, die von minus Unendlich bis plus Unendlich geht.

$(-\infty ;+\infty )$

BM2568

Berechne die Lösung durch Umstellung der Ungleichungen nach x! Gib das Lösungsintervall an!

$2x+5\leqq 9\quad \land \quad -1-3x<2$

Lösung BM2568
linke Seite: ${\begin{aligned}2x+5&\leqq 9\quad \quad |\quad -5\\2x&\leqq 4\quad \quad |\quad :2\\x&\leqq 2\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}-1-3x&<2\quad \quad |\quad +1\\-3x&<3\quad \quad |\quad :(-3)\\x&>-1\quad \quad |\quad :(-3)\end{aligned}}$ --------------------- $2x+5\leqq 9\quad \land \quad -1-3x<2$ $x\leqq 2\quad \land \quad x>-1$ $(-1;2]$

BM2569

Operatoren (Zeichen) für Operationen mit Mengen

Operator

---

Schnittmenge $A\cap B$

A UND B

Die Schnittmenge (auch Durchschnittsmenge) von U ist die Menge der Elemente, die in jeder Elementmenge von U enthalten sind.

$A\cap B$ (Lies: Menge A geschnitten mit der Menge B. Kurz: A geschnitten mit B.)

(Bisher hatten wir dafür $A\land B$ geschrieben. Das war nicht ganz korrekt.)

Zwischen dem Symbol für die Schnittmenge ( $\cap$ ) und dem Symbol für UND ( $\land$ ) gibt es eine gewisse Ähnlichkeit.

Das abgerundete Zeichen für Schnittmenge ( $\cap$ ) ist ein Mengenoperator, während das eckige UND-Zeichen ( $\land$ ) das Symbol für die UND-Operation bei logischen Operationen ist.

$A\land B$ (Lies: Aussage A UND Aussage B.)

$A\cap B$ (Lies: Durchschnitt der Mengen A und B.)

---

Elementmengen ohne gemeinsame Elemente heißen elementfremd oder disjunkt. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge.

---

Vereinigungsmenge $A\cup B$

A ODER B

Die Vereinigungsmenge von U ist die Menge der Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von U enthalten sind.

Vereinigung der Mengen A und B.

$A\cup B$ (Lies: A vereinigt mit B. Lies: Die Vereinigung von A und B)

Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen (gleichzeitig) enthalten sind.

(Bisher hatten wir dafür $A\lor B$ geschrieben. Das war nicht ganz korrekt.)

---

Beispiele:

$x\leqq 2\quad \cap \quad x>-1=(-1;2]$

$x<-3\quad \cup \quad x>-5=(-\infty ;\infty )$

BM2570

Berechne die Lösung durch Umstellung der Ungleichungen nach x! Gib das Lösungsintervall an!

$4x\geqq 0\quad \land \quad 2x+4\geqq 2$

Lösung BM2570

linke Seite: ${\begin{aligned}4x&\geqq 0\quad \quad |\quad :4\\x&\geqq 0\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}2x+4&\geqq 2\quad \quad |\quad -4\\2x&\geqq -2\quad \quad |\quad :2\\x&\geqq -1\end{aligned}}$ --------------------- $4x\geqq 0\quad \land \quad 2x+4\geqq 2$ $x\geqq 0\quad \cap \quad x\geqq -1=[0;\infty )$ --- Das Intervall $[-1;0]$ gehört NICHT zum Lösungsintervall. Es würd nur bei einer ODER-Verknüpfung dazu gehören.

BM2571 - BM2580

BM2571

hervorheben

Hervorhebung

---

In einem Text kann ein Wort durch Unterstreichung hervorgehoben werden.

Ein Wort kann auch durch die Schriftgröße (Größe der Buchstaben) hervorgehoben werden.

Ein Wort kann auch durch fette Schrift hervorgehoben werden oder auch durch kursive Schrift.

Ein Wort kann auch farblich hervorgehoben werden oder indem er farblich hinterlegt wird.

Man kann auch einzelen Wörte zur Hervorhebung mit GROSSBUCHSTABEN schreiben.

Gesperrte Schrift (Sperrsatz) dient zur Hervorhebung von Textteilen durch Vergrößerung der Abstände (durch Einfügen von Leerzeichen) zwischen den einzelnen Buchstaben.

In Zeichnungen kann eine hervorzuhebende Stelle schraffiert werden, oder farblich hinterlegt werden. Auch Markierungen mit Pfeilen oder großen Kreisen können die Aufmerksamkeit auf eine bestimmte Stelle lenken.

BM2572

Erkläre die Zeichungen 1 - 3 und was die hervorgehobenen (markierten) Bereiche bedeuten!

Bild 1

Bild 2

Bild 2

BM2573

Gib das Lösungsintervall für $x>3\quad \land \quad x>5$ an!

Lösung BM2573
$x>3\quad \cap \quad x>5=(5;\infty )$

BM2574

Berechne die Lösung durch Umstellung der Ungleichungen nach x! Gib das Lösungsintervall an!

$2x<0\quad \land \quad 3x+2>8$

Lösung BM2574
linke Seite: ${\begin{aligned}2x&<0\quad \quad |\quad :2\\x&<0\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}3x+2&>8\quad \quad |\quad -2\\3x&>6\quad \quad |\quad :3\\x&>2\end{aligned}}$ --------------------- $2x<0\quad \land \quad 3x+2>8$ $x<0\quad \cap \quad x>2=\emptyset$ Es gibt keine Lösung Die Lösungsmenge ist leer. $L=\{\quad \}$

BM2575

Nenne zwei Ungleichungen, deren Verknüpfung mit UND die gleiche Lösungsmenge ergibt, wie deren Verknüpfung mit ODER.

Lösung BM2575
Wenn man zwei identische Mengen mit UND bzw. mit ODER verknüpf, dann hat man die gleiche Lösungsmenge. x < 2 UND x < 2 Das könnt man durch etwas komplizierte Ungleichungen auch noch etwas verschleiern: $5x+3<13\land 3-8x>-13$ Diese Verschleierung kann man unendlich variieren: $5x+2<12\land 1+8x>17$

BM2576

Berechne die Lösung durch Umstellung der Ungleichungen nach x! Gib das Lösungsintervall an!

$x+3<8\quad \land \quad -2x-1\leqq 3$

Lösung BM2576
linke Seite: ${\begin{aligned}x+3&<8\quad \quad |\quad -3\\x&<5\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}-2x-1&\leqq 3\quad \quad |\quad +1\\-2x&\leqq 4\quad \quad |\quad :(-2)\\x&\geqq -2\end{aligned}}$ --------------------- $x+3<8\quad \land \quad -2x-1\leqq 3$ $x<5\quad \cap \quad x\geqq -2=[-2;5]$

BM2577

Berechne die Lösung durch Umstellung der Ungleichungen nach x! Gib das Lösungsintervall an!

$2x+5\leqq 9\quad \land \quad -1-3x<2$

Lösung BM2577
linke Seite: ${\begin{aligned}2x+5&\leqq 9\quad \quad |\quad -5\\2x&\leqq 4\quad \quad |\quad :2\\x&\leqq 2\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}-1-3x&<2\quad \quad |\quad +1\\-3x&<3\quad \quad |\quad :(-3)\\x&>-1\end{aligned}}$ --------------------- $2x+5\leqq 9\quad \land \quad -1-3x<2$ $x\leqq 2\quad \cap \quad x>-1=(-1;2]$

BM2578

doppelte Ungleichungen bedeuten UND

a < b < c

ist das Gleiche wie

a < b und b < c

Unser x steht dabei immer in der Mitte

Beispiel:

-1 < x < 4

10 > x > 2

BM2579

$\textstyle -3\leqq {\frac {x}{2}}+1<5$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

1. Lösungs-Tipp BM2579
Dazu muss die Aufgabe in zwei Ungleichungen geteilt werden, die mit UND verbunden werden.

2. Lösungs-Tipp BM2579
Man muss nun die Operationen nicht nur auf beiden Seiten der Ungleichung ausführen, sondern gleichzeitig auf allen vier Seiten der beiden Ungleichungen. Man wählt Operationen, die das „x“ isolieren und zum Schluss ganz allein in der Mitte stehen lassen. Bei Bedarf werden die „größer-kleiner-Zeichen“ umgedreht. (Ihr wisst schon ...)

Lösung BM2579

$\textstyle -3\leqq {\frac {x}{2}}+1\land {\frac {x}{2}}+1<5\quad \quad |\quad -1$ $\textstyle -4\leqq {\frac {x}{2}}\land {\frac {x}{2}}<4\quad \quad |\quad \cdot 2$ $-8\leqq x\land x<8$ Lösung: $[-8;8)$ --- Variante: Man könnt auch zuerst mit 2 multiplizieren und gleich am Anfang den Bruch los zu werden. $\textstyle -3\leqq {\frac {x}{2}}+1\land {\frac {x}{2}}+1<5\quad \quad |\quad \cdot 2$ $\textstyle -6\leqq 2({\frac {x}{2}}+1)\land 2({\frac {x}{2}}+1)<10$ $-6\leqq x+2\land x+2<10\quad \quad |\quad -2$ $-8\leqq x\land x<8$ --- Lösung: $[-8;8)$

Schnellere Lösung BM2579

Man kann auch einfach die drei Teile der Ungleichung so stehen lassen, ohne sie in zwei Ungleichungen zu trennen: $\textstyle -3\leqq {\frac {x}{2}}+1<5\quad \quad |\quad -1$ $\textstyle -4\leqq {\frac {x}{2}}<4\quad \quad |\quad \cdot 2$ $-8\leqq x<8$ Lösung: $[-8;8)$ --- Variante: Man könnt auch zuerst mit 2 multiplizieren und gleich am Anfang den Bruch los zu werden. $\textstyle -3\leqq {\frac {x}{2}}+1\land {\frac {x}{2}}+1<5\quad \quad |\quad \cdot 2$ $\textstyle -6\leqq 2({\frac {x}{2}}+1)<10$ $\textstyle -6\leqq x+2<10\quad \quad |\quad -2$ $\textstyle -8\leqq x<8$ --- Lösung: $[-8;8)$

BM2580

$5<1-x<9$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2580
$5<1-x<9\quad \quad |\quad -1$ $4<-x<8\quad \quad |\quad \cdot (-1)$ (NICHT VERGESSEN das Vorzeichen umzudrehen!) $-4>x>-8$ (Jetzt drehen wir noch die ganze Ungleichung.) $-8<x<-4$ (Für eine ordentliche Lösung muss das Ergebnis so umgedreht werden, dass ganz links die kleinere Zahl steht und ganz rechts die größere Zahl.) Lösung: $(-8;-4)$

BM2581 - BM2590

BM2581

a > x > b

Die Variable (hier „x“) muss immer in der Mitte sein.

a < x < b (Auch das geht, aber die Gleichung muss noch als ganzes umgedreht weden.)

b > x > b

---

Das geht nicht:

a < x > b

c > x < d

BM2582

$3<5-2x\leqq 9$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2582
$3<5-2x\leqq 9\quad \quad |\quad -5$ $-2<-2x\leqq 4\quad \quad |\quad :2$ $-1<-x\leqq 2\quad \quad |\quad \cdot (-1)$ $1>x\geqq -2$ (Alles umdrehen, dadurch kommt das „größer-gleich-Zeichen“ auf die andere Seite und wird zum „kleiner-gleich-Zeichen.“ $-2\leqq x<1$ Lösung: $[-2;1)$

BM2583

Wenn a größer b ist, dann ist b kleiner a. Und umgekehrt.

$a>b\quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad b<a$

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$a>b>c\quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad c<b<a$

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$a>b\geqq c\quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad c\leqq b<a$

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$a(b+c)\quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad ab+ac$

BM2584

$\textstyle -{\frac {3}{2}}\leqq 4-2a<{\frac {7}{2}}$

Wie groß ist „a“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2584

Das kgV der Brüche ist 2. $\textstyle -{\frac {3}{2}}\leqq 4-2a<{\frac {7}{2}}\quad \quad |\quad \cdot 2$ $\textstyle -{\frac {2\cdot 3}{2}}\leqq 2\cdot (4-2a)<{\frac {2\cdot 7}{2}}$ $-3\leqq 8-4a<7\quad \quad |\quad -8$ $-11\leqq -4a<-1\quad \quad |\quad :4$ $\textstyle -{\frac {11}{4}}\leqq -a<-{\frac {1}{4}}\quad \quad |\quad \cdot (-1)$ $\textstyle {\frac {11}{4}}\geqq a>{\frac {1}{4}}$ (Umdrehen, weil die kleinere Zahl zum Schluss li. stehen muss.) $\textstyle {\frac {1}{4}}<a\leqq {\frac {11}{4}}$ Lösung: $\textstyle ({\frac {1}{4}};{\frac {11}{4}}]$

BM2585

Zusammengesetzte Ungleichungen mit ODER

In diesem Fall muss die Lösungsmenge wenigstens (mindestens) eine der beiden gegebenen Ungleichungen erfüllen.

$x>3$ ODER $x\leqq -2$

Bei ODER muss die Lösungsmenge NICHT überlappen.

$(-\infty ;-2]\cup (3;\infty )$

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inklusives ODER (einschließliches ODER; einschließen)

„hat jemand von euch eine Katze oder einen Hund?“ (Auch wenn man beides hat, Katze und Hund, kann man mit JA antworten.

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exklusives ODER (ausschließlilches ODER; ausschließen)

„Bist du in der 9 oder 10. Klasse?“

Exklusives ODER bedeutet, dass nur eines von beiden geht, aber nicht beides gleichzeitig.

„Ist das Licht an oder aus?“

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In der Alltagssprache erkennt man am Kontext, ob es sich um ein inklusives oder exklusives ODER handelt.

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In der Mathematik, speziell in der Logik wird OR für das exklusive ODER geschrieben.

Für das exklusive ODER wird XOR geschrieben. (Lies: x-OR)

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Die Oder mündet in die Ostsee. (Ist hier das inklusive oder das exklusive ODER gemeint?)

BM2586

$3x-2\geqq 10\quad \lor \quad x-6<-4$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2586

linke Seite: ${\begin{aligned}3x-2&\geqq 10\quad \quad |\quad +2\\3x&\geqq 12\quad \quad |\quad :3\\x&\geqq 4\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}x-6&<-4\quad \quad |\quad +6\\x&<2\end{aligned}}$ --------------------- $(-\infty ;2)\cup [3;\infty )$ --- Probe mit x=0 Wir setzen Null in die linke Gleichung ein: $3x-2\geqq 10$ $3\cdot 0-2\geqq 10$ $-2\geqq 10$ (wahr) --- Wir setzen Null in die rechte Gleichung ein: $x-6<-4$ $0-6<-4$ $-6<-4$ (falsch) Schlussfolgerung: x = 0 erfüllt das System $3x-2\geqq 10\quad \lor \quad x-6<-4$, denn es erfüllt mindestens eine Seite (in diesem Fall die linke Seite).

BM2587

$8x+5<8\quad \lor \quad x-1>2$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2587
linke Seite: ${\begin{aligned}8x+5&<8\quad \quad |\quad -5\\8x&<3\quad \quad |\quad :8\\x&<\textstyle {\frac {3}{8}}\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}x-1&>2\quad \quad |\quad +1\\x&>3\end{aligned}}$ --------------------- $(-\infty ;\textstyle {\frac {3}{8}})\cup (3;\infty )$

BM2588

$x-7\leqq -1\quad \land \quad 2x-6\geqq 2$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2588
linke Seite: ${\begin{aligned}x-7&\leqq -1\quad \quad |\quad +7\\x&\leqq 6\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}2x-6&\geqq 2\quad \quad |\quad +6\\2x&\geqq 8\quad \quad |\quad :2\\x&\geqq 4\end{aligned}}$ --------------------- $x-7\leqq -1\quad \land \quad 2x-6\geqq 2$ $[4;6]$

BM2589

$x-7\leqq -1\quad \lor \quad 2x-6\geqq 2$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2589
linke Seite: ${\begin{aligned}x-7&\leqq -1\quad \quad |\quad +7\\x&\leqq 6\end{aligned}}$ --------------------- rechte Seite: ${\begin{aligned}2x-6&\geqq 2\quad \quad |\quad +6\\2x&\geqq 8\quad \quad |\quad :2\\x&\geqq 4\end{aligned}}$ --------------------- $x-7\leqq -1\quad \lor \quad 2x-6\geqq 2$ $(-\infty ;\infty )$

BM2590

$x>-1\quad \land \quad x>0$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2590
$(0;\infty )$

BM2591 - BM2600

BM2591

$x\geqq -1\quad \lor \quad x>0$

Wie groß ist „x“? Nenne das Lösungintervall! Zeichne das Lösungsintervall!

Lösung BM2591
$[-1;\infty )$

BM2592

Mit ODER ist die Lösungsmenge nie die leere Menge. Es gibt immer eine Lösung mit ODER.

Stimmt das? Kannst du eine Gegenbeispiel nennen?

Lösung BM2592
Mit ODER ist die Lösungsmenge nie die leere Menge. Bei UND ist die Lösungsmenge nur der überlappende Bereich. Bei ODER ist keine Überlappung erforderlich.

BM2593

rechtwinkliges Koordinatensystem

Kartesisches Koordinatensystem

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem. Es ist nach dem latinisierten Namen Cartesius des französischen Mathematikers René Descartes benannt, der das Konzept der „kartesischen Koordinaten“ bekannt gemacht hat. Im zwei- und dreidimensionalen Raum handelt es sich um das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, da sich viele geometrische Sachverhalte in diesem anschaulich und übersichtlich beschreiben lassen.

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Ebenes (2-dimensionales) kartesisches Koordinatensystem mit 2 Punkten $P$ und $Q$ und ihren Koordinaten

Die beiden Richtungsachsen stehen orthogonal aufeinander, schneiden sich also im 90°-Winkel. Die Koordinatenlinien sind Geraden in konstantem Abstand voneinander. Man bezeichnet die horizontale Achse als Abszissenachse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“) oder Rechtsachse. Die vertikale Achse heißt Ordinatenachse lat. linea ordinata „geordnete Linie“) oder Hochachse.

Häufig werden in der Mathematik die Variablen $x$ und $y$ zur Bezeichnung der Koordinaten verwendet, zum Beispiel dann, wenn Geraden oder Kurven durch Gleichungen beschrieben werden. Man spricht dann auch von der $x$-Achse statt Abszissenachse und der $y$-Achse statt Ordinatenachse. Den $x$- bzw. $y$-Wert eines Punktes bezeichnet man als Abszisse bzw. Ordinate.

Manchmal werden auch die Koordinatenachsen abkürzend Abszisse oder Ordinate genannt.

BM2594

x-y-Ebene

kartesische Ebene (René Descartes)

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Der klassische Ebenenbegriff nach Euklid

In der klassischen Geometrie etwa im Sinne von Euklids Elementen bildet die (euklidische) Ebene – in diesem Zusammenhang üblicherweise mit dem bestimmten Artikel bezeichnet – den Rahmen geometrischer Untersuchungen, etwa für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Man kann sie sich vorstellen als Abstraktion der Zeichenebene (Papier) als unendlich ausgedehnt und unendlich flach, so wie die Gerade eine als unendlich dünn und unendlich lang vorgestellte Abstraktion des gezeichneten Strichs (Bleistiftlinie) ist.

Seit Descartes die euklidische Ebene mit Koordinaten versehen hat, kann man die euklidische Ebene mit der Menge $\mathbb {R} ^{2}$ aller geordneten Paare reeller Zahlen identifizieren.

BM2595

Koordinatensystem; Abszisse und Ordinate

Schachbrett mit Koordinaten

Stadtplan mit Koordinaten

rechtwinkliges Koordinatensystem

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Ein rechtwinkliges Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengeraden, die sich im rechten Winkel kreuzen.

Diese Zahlengeraden gehen wie alle Zahlengeraden in beide Richtungen unendlich weit.

Die horizontale (waagerechte) Zahlengerade ist die x-Achse (Abszisse).

Die vertikale (senkrechte) Zahlengerade ist die y-Achse (Ordinate).

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Der Kreuzungspunkt von Abszisse und Ordinate ist der Nullpunkt bei beiden Achsen. (Ursprung)

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x = 3

Um nur eine Variable darzustellen reicht eine Zahlengerade.

x = 3

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Aber zur gleichzeitigen Darstellung von 2 Variablen braucht man 2 Zahlengeraden.

Um die Beziehung von von zwei Variablen (z. B. x und y) darzustellen braucht man 2 Variablen.

x = 4; y = 8

y = 2x

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Die Maßstäbe (Längen; Zahlenabstände) sind meist auf beiden Achsen identisch. Die nebenstehenden Abbildungen zeigen einige Ausnahmen:

Bild 1

Bild 1: Hier schneidet die y-Achse nicht mal den Nullpunnkt der x-Achse. Und auch die x-Achse schneidet nicht den Nullpunkt der y-Achse. Außerdem ist die Einteilung der y-Achsse nicht konstant. (Die obere Hälfte geht von 5 bis 0,2 und die untere Hälfte von 0,2 bis 0,01. Das ist eine logarithmische Skala.)

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Bild 2:

Bild 2: Produktionsergebnis an verschiedenen Tagen.

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Bild 3:

BM2596

An rechtwinklig zueinander stehenden Zahlenstrahlen kann man sehr gut die Beziehung zwischen 2 Zahlen oder Variablen darstellen.

Zwei zueinander parallel liegende Zahlenstrahlen sind dafür ungeeignet.

Wen man ausschließlich positive Zahlen darstellen will, dann reicht es, wenn man statt Zahlengeraden nur Zahlenstrahlen verwendet, die nur die positiven Zahlen umfassen. (rot)

BM2597

dreidimensionales Koordinatensystem (3D)

Bei Raumkoordinaten kommt noch eine 3. Achse (die z-Achse dazu, die senkrecht aus der Ebene kommt.

Auch hier schneiden sich alle 3 Achsen (x, x, z) senkrechts im Ursprung (Nullpunkt).

Vier Achsen können sich nicht schneiden, jedenfalls nicht rechtwinklig.

BM2598

Was ist die Ordinate?

Was ist der Ursprung?

Was ist die Abszisse?

Lösung BM2598
Was ist die Ordinate? - y-Achse Was ist der Ursprung? - Nullpunkt Was ist die Abszisse? - x-Achse

BM2599

Die Zahlengerade der x-Achse geht in Richtung der negativen Zahlen (nach links) und in Richtung der positiven Zahlen (nach rechts) unendlich weiter. Das kann kann man natürlich nicht auf einem Blatt Papier zeichnen. In machen Diagrammen wird das UNENDLICH durch einen Pfeil nach rechts angedeutet.

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Die Zahlengerade der y-Achse geht in Richtung der negativen Zahlen (nach unten) und in Richtung der positiven Zahlen (nach oben) unendlich weiter. Das UNENDLICH wird in machen Diagrammen durch einen Pfeil nach oben angedeutet.

Bei der y-Achse sind die positiven Zahlen oben und die negativen Zahlen unten.

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Der Kreuzungspunkt der x- mit der y-Achse ist der Ursprung. Am Ursprung liegt für beide Achsen die Null. Von dort starten die positiven Zahlen nach rechts (Abszisse) bzw. nach oben (Ordinate). Die negativen Zahlen starten am Ursprung nach links bzw. nach unten.

BM2600

Koordinatensystem; Abszisse und Ordinate

Punkte werden durch geordnete Zahlenpaare angegeben.

Dabei ist der 1. Wert die x-Koordinate. Der x-Wert wird auf der x-Achse abgetragen. Auf diesem Punkt der x-Achse wird eine senkrechte Hilfslinie errichtet.

Der 2. Wert ist die y-Koordinate. Der y-Wert wird auf der y-Achse abgetragen. Auf diesem Punkt der y-Achse wird eine senkrechte Hilfslinie errichtet.

Dort wo sich die beiden Hilfslinien schneiden ist der Punkt, den das geordnete Zahlenpaar (x; y) bezeichnet.

(x; y)

(2; 3) grün

(0; 0 ) lila

(-3; 1) rot

(- 1,5; - 2,5) blau

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Dummerweise ähnelt die Schreibweise für geordnete Zahlenpaare (die Schreibweise für Koordinaten) genau der Schreibweise für Intervalle.

$2<x<7\Longrightarrow (2;7)$ (offenes Intervall in den Grenzen 2 bis 7)

Nicht zu verwechseln mit dem Koordinatenpaar (2; 7) für x=2 und y=7.

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