Cursos/E M T/3º Construcción - Matemáticas/Texto completo

Programa de 3º año de Construcción - Matemáticas

Unidad 1: Sistemas Lineales.

En esta unidad aprenderás todo sobre:
Contenidos.

• Notación matricial de un sistema lineal de ecuaciones.
• Escalerización de los sistemas lineales.
• Cálculo del determinante de una matriz. Propiedades de los determinantes. Regla de Cramer.
• Discusión de la solución de un sistema lineal.
• Vectores en R2. Operaciones. Representaciones gráficas.
• Resolución de ecuaciones vectoriales.
• Modelos lineales en la tecnología.
• Aplicaciones de los sistemas lineales.

Competencias específicas.

• Escribir en forma matricial un sistema de ecuaciones dado y viceversa.
• Escribir la matriz asociada y la matriz ampliada de un sistema.
• Resolver un sistema de ecuaciones por escalerización y discutir la naturaleza de su solución.
• Aplicar la regla de Sarrus para el cálculo del determinante de una matriz 3x3.
• Desarrollar el determinante de una matriz 4x4 por los elementos de una fila o una columna.
• Calcular determinantes aplicando la o las propiedades mas adecuadas.
• Aplicar la regla de Cramer para resolver y discutir sistemas.
• Reconocer un vector dado por notación algebraica y saber representarlo gráficamente y viceversa.
• Conocer las operaciones suma de vectores y producto de un vector por un escalar y aplicar sus propiedades.
• Plantear y resolver una ecuación vectorial de la forma ...
• Plantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales relacionados con temas tecnológicos de áreas afines a la orientación del estudiante.
• Hallar el polinomio interpolador de un conjunto de datos en el plano utilizando sistemas de ecuaciones; por ejemplo: “Dados tres puntos por sus * coordenadas hallar el polinomio P(x) = ... que pasa por ellos y utilizarlo para interpolar datos”

UNIDAD 2: RECTA, DISTANCIAS, ÁNGULOS Y ÁREAS.

Puntos:

• Sistema de coordenadas en el plano. Definición de abscisa y ordenada. Ubicación de puntos.
• Distancia entre dos puntos.
• Distancia entre dos puntos unidimensional y bidimensional. Repaso de Pitágoras.
• Coordenadas del punto medio y punto de trisección de un segmento de recta.
• División de un segmento en n partes iguales.

Recta:

• Diversas formas de la ecuación de la recta: general, explícita, determinada por las coordenadas de dos puntos, por un punto y su pendiente, ecuación segmentaria.
• Ecuaciones de rectas paralelas a los ejes y rectas que contienen al origen (ver función lineal).
• Ángulo/pendiente de inclinación de una recta. Concepto y cálculo. Tangente trigonométrica.
• Calcular las coordenadas del punto de intersección de dos rectas.
• Reconocer las posiciones relativas entre dos rectas.
• Condiciones de paralelismo, coincidencia y perpendicularidad.
• Determinar la ecuación de la recta que contiene un punto de coordenadas conocidas y es paralela (o perpendicular) a otra recta.
• Calcular la distancia de un punto a una recta.
• Mediatriz y bisectriz. Deducción de ecuaciones.

UNIDAD 3: CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA.
Circunferencia:

• Definición de circunferencia como lugar geométricos.
• Introducción intuitiva a ecuación de la circunferencia con aplicación de relación de Pitágoras.
• Definición y ecuación de la circunferencia. Ecuaciones implícita y general.
• Ecuación de circunferencias centradas en origen y centros incluidos en ejes coordenados.
• Reconocer y dibujar una circunferencia a partir de su ecuación.
• Determinación de los elementos de una circunferencia.
• Determinación de la ecuación de una circunferencia a partir de sus elementos.

Parábola:

• Definición y ecuación de la parábola. Ejemplos varios.
• Reconocer una parábola y determinar sus elementos.
• Representar una parábola gráficamente a partir de su ecuación.

Sistemas no lineales:

• Intersección de circunferencia y de parábola con ejes de coordenadas.
• Localizar intersección de rectas verticales y horizontales con circunferencias.
• Hallar la intersección de rectas con circunferencias a partir de sus ecuaciones.
• Intersección de circunferencia con rectas en diferentes posiciones relativas.
• Ecuación de recta tangente a una circunferencia.
• Intersección de circunferencias. Eje radical.

UNIDAD 4: LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES.

• Definición de límite.
• Definición de límite finito e infinito.
• Conocer los teoremas de límites.
  • Unicidad.
  • Conservación del signo.
  • Límite de la función comprendida.
  • Límite de la función compuesta.
• Propiedades / Operaciones.
  • Suma.
  • Producto.
  • Cociente.
  • Potencia.
  • Casos de indeterminación.
• Funciones equivalentes.
  • Equivalencias fundamentales para resolver límites indeterminados.
  • Aplicar los teoremas relativos a los infinitos e infinitésimos en la resolución de problemas.
• Funciones continuas: definición y operaciones.
• Definición de continuidad de una función en un punto y en un *intervalo.
• Clasificación de discontinuidades.
• Relación entre límite y continuidad.
• Definir extremos relativos y absolutos.
• Propiedades de las funciones continuas en intervalos cerrados.
  • Teoremas de Bolzano.
  • Teorema de Darboux.
  • Teorema de Weierstrass.
• Continuidad de funciones polinómicas.
  • Polinómicas.
  • Racionales.
  • Exponenciales.
  • Logarítmicas.
  • Trigonométricas.
• Método de ábacos.
• Unidad 1: Sistemas Lineales
• Unidad 2: Rectas, distancias, angulos y áreas
• Unidad 3: Circunferencia y Parábola
• Unidad 4: Límite y continuidad de funciones
• Unidad 5: Derivada, crecimiento y concavidad
• Unidad 6: Representaciones gráficas en regiones de R²
• Unidad 7: Primitiva, integral definida

UNIDAD 3: CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA.
Circunferencia:

• Definición de circunferencia como lugar geométricos.
• Introducción intuitiva a ecuación de la circunferencia con aplicación de relación de Pitágoras.
• Definición y ecuación de la circunferencia. Ecuaciones implícita y general.
• Ecuación de circunferencias centradas en origen y centros incluidos en ejes coordenados.
• Reconocer y dibujar una circunferencia a partir de su ecuación.
• Determinación de los elementos de una circunferencia.
• Determinación de la ecuación de una circunferencia a partir de sus elementos.

Parábola:

• Definición y ecuación de la parábola. Ejemplos varios.
• Reconocer una parábola y determinar sus elementos.
• Representar una parábola gráficamente a partir de su ecuación.

Sistemas no lineales:

• Intersección de circunferencia y de parábola con ejes de coordenadas.
• Localizar intersección de rectas verticales y horizontales con circunferencias.
• Hallar la intersección de rectas con circunferencias a partir de sus ecuaciones.
• Intersección de circunferencia con rectas en diferentes posiciones relativas.
• Ecuación de recta tangente a una circunferencia.
• Intersección de circunferencias. Eje radical.

Unidad 4: Introducción al estudio de funciones.

En esta unidad aprenderás todo sobre:

• Función Polinómica.
  • Dada la función polinómica, estudiar:
  • Definición, dominio, ceros y signo.
  • Cálculo de límite para tendencia finita e infinita.
  • Cálculo de la función derivada. Variación. Representación gráfica.
  • Problemas de optimización que involucren la función estudiada.
    

• Función Racional.
  • Dada la función racional $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$, estudiar:
  • Definición, dominio, cero y signo.
  • Concepto de límite infinito en un punto. Asíntota vertical.
  • Concepto de límite finito e infinito para tendencia infinita. Asíntota horizontal.
  • Cálculo de límite para tendencia finita e infinita. Cálculo de la función derivada.
  • Variación. Representación gráfica. Problemas de optimización que involucren la función estudiada.
  • Determinar las asíntotas horizontales o verticales de las funciones cocientes de funciones polinómicas de primer grado.

• Función exponencial.
  • Cálculo de límite para tendencia finita e infinita en funciones de la forma: $f(x)=a^{kx}a\in R^{+};k\in R$
  • Introducción del número “e” mediante la aproximación de valores funcionales de: $f(x)=\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$
  • Dada la función exponencial $f(x)=a.e^{mx+n}$ con {a,m,n}$\subset R$ estudiar:
  • Definición, dominio, ceros y signo.
  • Cálculo de límite para tendencia finita e infinita.
  • Cálculo de la función derivada. Variación. Representación gráfica.
  • Problemas de optimización que involucren la función estudiada.
  • Calcular los coeficientes a, m y n de la función$f(x)=a.e^{mx+n}$: dados los datos necesarios.
  • Calcular la preimagen de un número real en la función $f(x)=a.e^{mx+n}$.

• Función logarítmica.
  • Dada la función logarítmica f(x) = L(mx + n), {m,n}$\subset R$, estudiar:
  • Definición, dominio, ceros y signo.
  • Cálculo de límite para tendencia finita e infinita.
  • Cálculo de la función derivada. Variación. Representación gráfica.
  • Problemas de optimización que involucren la función estudiada.

• Funciones trigonométricas.
  • Dadas las funciones trigonométricas f(x) = sen x, g(x) = cos x , estudiar:
  • Representación gráfica, ceros y signos.
  • Líneas trigonométricas para ángulos notables. Elaboración de tablas. Relaciones fundamentales. Fórmulas de f(x+y) y g(x+y).
  • Función derivada de las funciones f(x) = sen x, g(x) = cos x.
  • Representar gráficamente las funciones seno y coseno utilizando la función derivada para estudiar su variación.
  • Funciones trigonométricas inversas: f(x) = Arcsen x y g(x) = Arccos x.
  • Cálculo de preimágenes en las funciones f y g anteriores.
  • Resolver ecuaciones trigonométricas sencillas.
  • Calcular sen(2x), cos(2x), sen(x–y), cos(x–y), sen(–x), cos(–x) a partir de sen(x+y) y cos(x+y).
  • Problemas de optimización aplicados a funciones circulares.

• Aplicaciones.
  • Obtener el límite de una función por aproximación de valores funcionales.
  • Calcular el límite de una función aplicando las propiedades de la suma, producto y/o división de funciones.
  • Inferir la variación de una función a partir de la fórmula de la función y de su función derivada.
  • Resolver problemas de optimización que involucren las funciones estudiadas.