Deducción natural

$p$ proposición

$1$ verdadera

$0$ falsa

$\lnot$ negación

$\land$ conjunción 

$\lor$ disyunción inclusiva

$\oplus$ disyunción exclusiva

$\to$ condicional

$\leftrightarrow$ bicondicional

$\equiv$ equivalencia

• Prioridad del operador: (baja) $\quad \leftrightarrow \quad \to \quad \lor \quad \land \quad \lnot \quad$ (alta).

${\begin{array}{|c||c||c||c||c||c||c||c|c|c|}\hline p\leftrightarrow q&p\oplus q&p\to q&\lnot (p\to q)&p\lor q&\lnot (p\lor q)&p\land q&\lnot (p\land q)&p&q\\\hline 1&0&1&0&1&0&1&0&1&1\\0&1&0&1&1&0&0&1&1&0\\0&1&1&0&1&0&0&1&0&1\\1&0&1&0&0&1&0&1&0&0\\\hline NXOR&XOR&IMPLY&NIMPLY&OR&NOR&AND&NAND&p&q\\\hline \end{array}}$

• Entre dos operaciones idénticas la operación de la derecha es prioritaria.

• La conjunción, la disyunción y el bicondicional tienen la propiedad conmutativa y asociativa.

Reglas de deducción natural

1. Reglas primitivas
   1. Introducción
   2. Eliminación
2. Reglas derivadas
3. Deducción de algunas reglas derivadas
   1. Carga de premisa

$p\to p$ principio de identidad

$p\leftrightarrow p$ principio de identidad

$\lnot (p\land \lnot p)$ principio de no contradicción

$p\lor \lnot p$ principio de exclusión de tercero

$\lnot \lnot p\leftrightarrow p$ principio de doble negación 

$\lnot \lnot \lnot p\leftrightarrow \lnot p$ principio de triple negación

$p\land p\leftrightarrow p$ ley de idempotencia de la conjunción

$p\lor p\leftrightarrow p$ ley de idempotencia de la disyunción

$p\land q\leftrightarrow q\land p$ ley conmutativa de la conjunción

$p\lor q\leftrightarrow q\lor p$ ley conmutativa de la disyunción

$(p\leftrightarrow q)\leftrightarrow (q\leftrightarrow p)$ ley conmutativa del bicondicional