Ecuaciones diferenciales separables

Una ecuación diferencial ordinaria separable es una ecuación diferencial que puede escribirse de la forma

u'(x)=g(x)h(u(x)),\,

o más brevemente, considerando a $y$ como la función de $x$ dada por $u(x)$ , una ecuación diferencial que puede escribirse como

y'=g(x)h(y),\,

(1.5)

Podemos escribir la ecuación (1.5)

como

{\frac {y'}{h(y)}}=g(x).

(1.6)

Puesto que $y$ es una función de $x$ , tenemos que ${\textstyle \int {y'\,dx \over h(y)}=\int {\frac {dy}{h(y)}}}$ . Por lo tanto, podemos integrar (1.6)

para obtener

\int {dy \over h(y)}=\int g(x)\,dx,

lo que da lugar a una ecuación que define de manera explícita o implícita la solución de la ecuación diferencial.

En el proceso de solución de una ecuación diferencial separable, puede ser conveniente escribir la ecuación diferencial en forma de diferenciales. Por ejemplo, la ecuación diferencial

y\cdot {dy \over dx}=x

se escribe en forma de diferenciales como

y\,dy=x\,dx.

El único propósito de esta notación es aclarar que, para obtener la solución de la ecuación diferencial, el lado izquierdo de la ecuación ha de integrarse con respecto a $y$ , mientras que el lado derecho de la ecuación ha de integrarse con respecto a $x$ ..

Ejemplo 1.2:

La ecuación diferencial

{dy \over dx}=4xy^{2},

(1.7)

es separable. Al escribirla en forma diferencial tenemos

{1 \over y^{2}}\,dy=4x\,dx.

donde es necesario hacer la restricción de que $y\neq 0$ . Al integrar ambos lados obtenemos

-{1 \over y}=2x^{2}+C

,

de modo que la solución de la ecuación diferencial viene dada por la ecuación

y(x)=-{1 \over 2x^{2}+C}.

Antes de dar más ejemplos de ecuaciones diferenciales separables, es conveniente hacer una aclaración usando en el ejemplo anterior. Aunque las ecuaciones diferenciales separables son relativamente fáciles de resolver (siempre y cuando podamos evaluar las integrales que surjan en el proceso de solución), debemos tomar ciertas precauciones, pues resulta que puede haber más soluciones que las obtenidas por un proceso como el que se hizo en el ejemplo anterior. Es muy fácil darse cuenta que la función dada por

y=0

es también una solución de la ecuación diferencial (1.7)

que no puede ser obtenida a partir de la solución general  ${\textstyle y(x)=-{1 \over 2x^{2}+C}}$  con ninguna elección de la constante  $C$ . De hecho, para obtener la solución general fue necesario hacer la restricción de que  $y\neq 0$ . Así pues, vemos que en el proceso de solución de una ecuación diferencial separable pueden hacerse restricciones que afectan el resultado final. Una solución no obtenible a partir de la solución general es comúnmente llamada solución singular.

Ejemplo 1.3:

Encontrar la solución general de la ecuación

{\sqrt {4-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=-x{\sqrt {1-y}}

(1.8)

Encontrar además una solución que no pueda ser obtenida a partir de la solución general.

Solución: Para comenzar, debemos notar que la ecuación anterior sólo tiene sentido si $y\in (-\infty ,1]$ y $x\in [-2,2]$ . Si, además, $y\neq 1$ y $x\neq \pm 2$ , podemos dividir la ecuación (1.8)

entre  ${\sqrt {1-y}}\cdot {\sqrt {4-x^{2}}}$  y escribirla en forma de diferenciales como

{1 \over {\sqrt {1-y}}}\,dy=-{x \over {\sqrt {4-x^{2}}}}\,dx,

luego

\int {1 \over {\sqrt {1-y}}}\,dy=\int -{x \over {\sqrt {4-x^{2}}}}\,dx.

Al evaluar las integrales obtenemos

-2{\sqrt {1-y}}={\sqrt {4-x^{2}}}+C,

que es una ecuación que define la solución de la ecuación diferencial (1.8)

de manera implícita. Sin embargo, la función dada por  $y=1$ , necesariamente excluida en la obtención de la solución general, es también una solución de la ecuación diferencial (1.8)

.