Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Introducción

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación de la forma

$F(x,y,y')=0\,$

en la que aparecen una variable independiente, una variable dependiente y una primera derivada. La razón por la cual a las ecuaciones de este tipo se les dice ecuaciones diferenciales ordinarias es el hecho de que no aparecen derivadas parciales. Por ejemplo,

$y'+3xy=\mathrm {sen} \,x,\qquad {dy \over dx}+y=0,\quad {\mbox{y}}\quad (y')^{2}+3x=e^{y}$

son todas ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

En general, el orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación. En este capítulo nos concentraremos únicamente en ecuaciones diferenciales de primer orden, y dejaremos para después el estudio de ecuaciones diferenciales de orden superior.

Aunque es forzoso que una ecuación diferencial incluya una derivada de primer orden, es posible que, por su parte, la variable independiente y la variable dependiente están ausentes en la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación diferencial

${dy \over dx}=-1,$

no aparece ni $y$ ni $x$ de manera explícita, mientras que en la ecuación

${dy \over dx}=-y$

(1.1)

no aparece explícitamente en su casa $x$.

Una función que satisface una ecuación diferencial dada dentro de algún intervalo $I$ se dice solución de esa ecuación diferencial en $I$. Por ejemplo, la función $y$ dada por

$y(x)=e^{-x}\,$

(1.2)

es una solución de la ecuación diferencial (1.1)

, hecho que puede comprobarse sustituyendo $y(x)$ en la ecuación diferencial. Notemos que la solución $y(x)=e^{-x}$ esta definida para todo número real $x$. Por supuesto, hay casos en los que una solución de una ecuación diferencial dada puede estar definida sólo dentro de un intervalo específico. Por ejemplo, $y(x)=\ln x$ es una solución de la ecuación diferencial $y'x=1$ que sólo está definida para valores de $x$ en el intervalo $(0,\infty ).$

Otra cosa que podemos notar de inmediato es que la solución de una ecuación diferencial no es, en la mayoría de los casos, única. Por ejemplo, cualquier función que venga dada por una ecuación de la forma

$y(x)=ke^{-x},\qquad k\in \mathbb {R}$

(1.3)

es una solución de la ecuación diferencial (1.1)

. En efecto, pues

${d \over dx}\left(ke^{-x}\right)=-ke^{-x}=-y(x).$

Puesto que todas la soluciones de (1.1)

son de la forma $y(x)=ke^{-x}$, con $k$ una constante arbitraria, se dice que la función $y$ dada por (1.3)

es la solución general de la ecuación diferencial (1.1)

. Por su parte, la función dada por (1.2)

constituye una solución particular de la ecuación diferencial (el caso en el que $k=1$).

Es de esperarse que la solución de una ecuación diferencial incluya una constante arbitraria. La razón de esto es que, al incluir una ecuación diferencial derivadas, es razonable que cualquier proceso de solución incluya la evaluación de una integral, de la cual resulta una constante de integración que finalmente queda incorporada en la solución final de la ecuación diferencial. Así pues, es comprensible que la solución general de una ecuación diferencial incluya constantes arbitrarias y que de ese modo el número de soluciones (particulares) de una ecuación diferencial sea infinito. Por supuesto, esto no siempre sucede, ya que hay ocasiones en las que la solución de una ecuación diferencial es única. Por ejemplo, la solución de la ecuación diferencial

$\left({dy \over dx}\right)^{2}+y^{2}=0$

es sólo la función $y$ dada por $y(x)=0$. Ahora bien, es también posible que la solución de una ecuación diferencial no exista, como sucede con

$\left|{dy \over dx}\right|+1=0,$

donde se ve claramente que no existe ninguna función que satisfaga esta ecuación diferencial.

Hemos visto entonces que una ecuación diferencial puede tener infinitas soluciones, puede tener una única solución o puede no tener ninguna. Sin embargo, las ecuaciones diferenciales que van a interesarnos a nosotros son aquellas en las que existen infinitas soluciones, cada una de ellas determinada por diferentes constantes arbitrarias o parámetros. Más exactamente, nos interesaremos únicamente en ecuaciones diferenciales en las que el número de constantes arbitrarias distintas en la solución es igual al orden de la ecuación diferencial, ya que estas son las ecuaciones con las que uno se enfrenta regularmente. Así pues, para nosotros la afirmación de que la solución general de una ecuación diferencial tiene tantos parámetros como sea el orden de la ecuación diferencial será válida en todo momento.

Los valores de las constantes arbitrarias de la solución de una ecuación diferencial pueden fijarse cuando se conocen valores de condición inicial. Por ejemplo, la función $y$ dada por (1.2)

es una solución de la ecuación diferencial (1.1)

que satisface la condición inicial 

$y(0)=1.$

En la figura 1.1 se muestran las gráficas de algunas soluciones particulares de la ecuación diferencial (1,1)

, obtenidas tomando diferentes valores de condición inicial.

Figura 1.1

Cada una de las curvas correspondientes a una solución de una ecuación diferencial se dice una curva solución o una curva integral. Así pues, la solución general de una ecuación diferencial determina una familia de curvas integrales. Veamos otro ejemplo apropiado para ilustrar esto.

Ejemplo 1.1:

Considérese la ecuación diferencial

${dy \over dx}y=-x\,$

(1.4)

La ecuación $x^{2}+y^{2}=C$ define implícitamente la solución general de esta ecuación diferencial. En efecto, pues derivando implícitamente con respecto a $x$ se obtiene

$2y{dy \over dx}+2x=0,$

de la cual se obtiene la ecuación (1.4)

. Por lo tanto, la ecuación $x^{2}+y^{2}=C$, que define la solución general de la ecuación diferencial, (1.4)

determina una familia de circunferencias con centro en el origen. Sin embargo, estas circunferencias no son, estrictamente hablando, curvas solución de la ecuación diferencial (1.4)

, ya que la ecuación

$y=\pm {\sqrt {C-x^{2}}}$

no define a una función. En realidad, debemos escoger un signo para la raíz de la ecuación anterior para que ésta pueda definir a $y$ como una función de $x$. Por ejemplo, podemos tomar la raíz positiva, obteniendo una ecuación que determina una familia de semicircunferencias como las que se muestran en la figura 1.2.

Figura 1.2