Ejemplo dos

¿Bajo qué condiciones de p y q la proposición

$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$

es falsa?

Sol: Este ejercicio se puede resolver de dos formas:

Primera forma, tabla de verdad.

En este caso, las proposiciones simples son dos, p y q. Luego, la tabla de verdad tiene $2^{2}=4$ filas.

Empezando por llenar las columnas de las proposiciones simples, la tabla queda de la forma

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$	$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$
V	V
V	F
F	V
F	F

Luego, llenando la tercera columna, que es la negación de la segunda, tenemos

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$	$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$
V	V	F
V	F	V
F	V	F
F	F	V

La cuarta columna la llenamos usando el bicondicionante para las columnas uno y dos. Tenemos

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$	$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$
V	V	F	V
V	F	V	F
F	V	F	F
F	F	V	V

Llenamos la quinta columna usando la conjunción para las columnas cuatro y tres. Tenemos

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$	$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$
V	V	F	V	F
V	F	V	F	F
F	V	F	F	F
F	F	V	V	V

Para llenar la sexta columna usamos la conjunción para las columnas uno y tres. Tenemos

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$	$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$
V	V	F	V	F	F
V	F	V	F	F	V
F	V	F	F	F	F
F	F	V	V	V	F

Finalmente, para llenar la séptima y última columna de la tabla, usamos la condicionante para las columnas quinta y sexta, teniéndose que

$p$	$q$	$\sim q$	$p\leftrightarrow q$	$(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q$	$p\wedge \sim q$	$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$
V	V	F	V	F	F	V
V	F	V	F	F	V	V
F	V	F	F	F	F	V
F	F	V	V	V	F	F

De esta forma, vemos que para que la proposición compuesta $[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$ tenga valor de verdad falso, debe cumplirse que cada proposición simple, p y q, deben tener valor de verdad falso.

Segunda forma, descomposición en proposiciones simples.

Vemos que en la proposición compuesta $[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\rightarrow (p\wedge \sim q)$ el conectivo importante es el condicionante $\rightarrow$.

Por la tabla asociada, vemos que la única combinación que hace al condicionante tener valor de verdad falso, es cuando el antecedente tiene valor de verdad verdadero, y el consecuente tiene valor de verdad falso.

Luego, se debe tener que

$[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]\equiv V\ {\textrm {y}}\ (p\wedge \sim q)\equiv F$

Del hecho que la proposición compuesta $[(p\leftrightarrow q)\wedge \sim q]$ tiene valor de verdad verdadero, se debe tener entonces que tanto la proposición $(p\leftrightarrow q)$ como la proposición $(\sim q)$ deben tener valor de verdad verdadero.

Así, como $\sim q\equiv V$, entonces tenemos que $q\equiv F$.

Ahora, como $(p\leftrightarrow q)\equiv V$ y $q\equiv F$, se tiene que la proposición simple $p\equiv F$.

Luego, ambas proposiciones simples p y q deben tener valor de verdad falso.

Volver al ejemplo uno.