Electrónica/Transformada de Fourier

Definición

Dada una función matemática $f(x)$ en el "dominio del tiempo", se denomina transformada de Fourier de $f$ a la función ${\hat {f}}$ definida por

${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,$

la cual está definida para una función integrable $f$ tal que

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx<\infty .$

Ésta se utiliza para pasar al "dominio de la frecuencia" para obtener información que no es evidente en el dominio del tiempo.

La transformada ${\hat {f}}$ es una función continua y acotada. Si ${\hat {f}}$ también satisface $\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|d\xi <\infty ,$ la transformada inversa de Fourier está dada por:

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi$.

Debido a las propiedades

${\widehat {\frac {df}{dx}}}(\xi )=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi )\quad {\mbox{ y }}\quad {\widehat {xf}}(\xi )=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d}{d\xi }}{\hat {f}}(\xi ),$