Electricidad/Apéndice 1: Vectores

El concepto matemático de vector se utiliza en Física para describir magnitudes tales como posición, velocidades, aceleraciones, fuerzas, momento lineal, etc. En las cuales es importante considerar no sólo el valor sino también la dirección y el sentido.

Se representa por un segmento orientado para denotar su sentido (el de la flecha) su magnitud (la longitud de la flecha) y el punto de donde parte. Para este tipo de vectores (generalmente bidimencionales o tridimensionales) se definen módulo, dirección y sentido.

Representación vectorial

Un vector físico, corresponde a la estructura matemática llamada Espacio vectorial, pero por razones practicas, y para simplificar las operaciones, se toma siempre una base ortonormal, esto es un espacio euclídeo.

Cualquier vector que consideremos es siempre una combinación lineal de unos vectores unitarios perpendiculares entre si, que forman la base del espacio vectorial en cuestión.

Estos vertores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se representan por ${\vec {u}}_{x}$ , ${\vec {u}}_{y}$ , ${\vec {u}}_{z}$ , si bien es también usual representarlos como ${\vec {i}}$ , ${\vec {j}}$ , ${\vec {k}}$ , siendo ${\vec {i}}$ el vector unitario según el eje de la x, ${\vec {j}}$ el vector unitario en el eje de las y, y ${\vec {k}}$ en el de las z. En el espacio de dos dimensiones se tomas dos de estos versores los que correspondan a los ejes de coordenadas adoptados.

Este sistema de referencia es un sistema de coordenadas cartesianas a todos los efectos.

Convenio de representación

Por convenio representaremos las variables escalares con una letra: a, x, l, ..., y los vectores con una flecha encima: ${\vec {a}}$ , ${\vec {x}}$ , ${\vec {p}}$ , ..., las coordenadas del vector en el sistema de referencia entre paréntesis y separadas con comas:

{\vec {a}}=(x,y,z)

o como combinación de los versores:

{\vec {a}}=x{\vec {i}}+y{\vec {j}}+z{\vec {k}}

Estas dos representaciones son equivalentes entre sí, y los valores x, y, z, son las coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como números reales.

Propiedades de un vector

- Punto de aplicación, es el origen del segmento.

- Módulo, expresa el valor numérico de la magnitud vectorial. Se representa por la longitud del segmento, siempre en valor absoluto. Por ejemplo, si se quiere expresar que el módulo de ${\vec {a}}$ vale 5 unidades, se hace así: $|{\vec {a}}|=5u$ .

- Dirección, que es la del segmento. A la recta que contiene el vector se le llama línea de acción.

- Sentido, distinguiéndose dos sentidos sobre la recta de aplicación del vector.

Se dice que dos vectores son concurrentes cuando tienen el mismo punto de aplicación.

Un vector opuesto a otro es el que tiene el mismo punto de aplicación, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a ${\vec {a}}$ es $-{\vec {a}}$ .

Expresado con fórmulas, dado un vector ${\vec {r}}$ de coordenadas (x, y, z) ( ${\vec {r}}=(x,y,z)$ ) su módulo es $|{\vec {r}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ . Su dirección está dada por la recta que contiene a dicho vector, y su sentido puede ser "hacia un lado" o "hacia el otro".

Operaciones con vectores

Suma de vectores

La suma y la resta de vectores tiene en cuenta, además de la magnitud escalar o módulo, el sentido de las magnitudes intervinientes.

Partiendo de la representación gráfica de dos vectores, la suma de ambos se consigue colocando el punto de aplicación del segundo vector, a continuación de la flecha del primero, el vector resultante es el que parte del punto de aplicación del primero hasta el final de la flecha del segundo.

Analíticamente, partiendo de las coordenadas de los dos vectores:

{\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})

{\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})

El vector suma será:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x},a_{y},a_{z})+(b_{x},b_{y},b_{z})

agrupando:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})

Representando los vectores como combinación lineal de versores tenemos:

{\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}

{\vec {b}}=b_{x}{\vec {i}}+b_{y}{\vec {j}}+b_{z}{\vec {k}}

El resultado de la suma es:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}})+(b_{x}{\vec {i}}+b_{y}{\vec {j}}+b_{z}{\vec {k}})

ordenando los componentes:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x}){\vec {i}}+(a_{y}+b_{y}){\vec {j}}+(a_{z}+b_{z}){\vec {k}}

Pongamos un ejemplo numérico:

{\vec {a}}=3{\vec {i}}+5{\vec {j}}-4{\vec {k}}

{\vec {b}}=-4{\vec {i}}+6{\vec {j}}-2{\vec {k}}

el resultado:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(3{\vec {i}}+5{\vec {j}}-4{\vec {k}})+(-4{\vec {i}}+6{\vec {j}}-2{\vec {k}})

agrupando términos:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(3-4){\vec {i}}+(5+6){\vec {j}}+(-4-2){\vec {k}}

esto es:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=-{\vec {i}}+11{\vec {j}}-6{\vec {k}}

Producto por un escalar

Multiplicar un vector por un escalar es tomar el vector tantas veces como indique el escalar, esto es valido también en los casos en los que el escalar es fraccionario o negativo.

Si partimos de la representación gráfica del vector, y sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el modulo de vector como marque el escalar, el resultado es el producto del vector por este escalar, si el signo del escales es negativo, es sentido del vector será el opuesto al original.

Partiendo de un escalar $n\,$ y de un vector ${\vec {a}}$ , el producto de $n\,$ por ${\vec {a}}$ es $n\,{\vec {a}}$ , es el producto de cada una de las coordenadas del vector por el escalar, representando el vector por sus coordenadas:

{\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})

si lo multiplicamos por el escalar n:

n\cdot {\vec {a}}=n\cdot (a_{x},a_{y},a_{z})

esto es:

n\cdot {\vec {a}}=(n\cdot a_{x},n\cdot a_{y},n\cdot a_{z})

Representando el vector como combinación lineal de los versores:

{\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}

y multiplicándolo por un escalar n:

n\cdot {\vec {a}}=n\cdot (a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}})

esto es:

n\cdot {\vec {a}}=n\cdot a_{x}{\vec {i}}+n\cdot a_{y}{\vec {j}}+n\cdot a_{z}{\vec {k}}

Hagamos un ejemplo con valores numéricos, partimos del vector:

{\vec {a}}=3,2{\vec {i}}-1,27{\vec {j}}+6{\vec {k}}

y multiplicamos el vector por 2,5:

2,5\cdot {\vec {a}}=2,5\cdot (3,2{\vec {i}}-1,27{\vec {j}}+6{\vec {k}})

esto es:

2,5\cdot {\vec {a}}=2,5\cdot 3,2{\vec {i}}+2,5\cdot (-1,27){\vec {j}}+2,5\cdot 6{\vec {k}}

haciendo las operaciones:

2,5\cdot {\vec {a}}=8{\vec {i}}-3,175{\vec {j}}+15{\vec {k}}

Producto escalar

Definición simplificada para espacios euclídeos reales

El producto escalar en el caso particular de dos vectores en el plano, o en un espacio euclídeo N-dimensional se define como el producto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo $\theta$ que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar.

Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que se representa por un aspa. Por esta razón también se lo denomina producto punto.

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|cos\theta$

El producto escalar, también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortonormal (ortogonal y unitaria, es decir, con vectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre sí):

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=(a_{1},a_{2},a_{3})\cdot (b_{1},b_{2},b_{3})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

Propiedades del producto escalar en un espacio euclídeo real

Conmutativa: ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {B}}\cdot {\vec {A}}$

Asociativa: $m({\vec {A}}\cdot {\vec {B}})=(m{\vec {A}})\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot (m{\vec {B}})$

Distribuitiva: ${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}+{\vec {C}})={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}+{\vec {A}}\cdot {\vec {C}}$

Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0).

Producto vectorial

Con el producto escalar de vectores se encuentra que se pueden definir ángulos y distancias de una forma fácil y directa. Con el producto vectorial, también llamado producto cruz (por representarse con una cruz), encontraremos otra manera también de definir ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácil y sencillamente con el producto mixto.

El producto vectorial da como resultado un vector a partir de otros dos, pero no tiene por qué ser en el mismo espacio vectorial; pues en el plano definido por los dos vectores que se operan, el producto vectorial es una operación externa ya que su resultado es un vector perpendicular a dicho plano. Pero en el espacio afín tridimensional, $\mathbb {R} ^{3}$ , el producto vectorial es una operación interna.

Por ello el producto vectorial está definido en $\mathbb {R} ^{3}$ .

Definición

Sean ${\vec {u}}=u_{x}{\vec {i}}+u_{y}{\vec {j}}+u_{z}{\vec {k}}$ y ${\vec {v}}=v_{x}{\vec {i}}+v_{y}{\vec {j}}+v_{z}{\vec {k}}$ dos vectores concurrentes de $\mathbb {R} ^{3}$ , el espacio afín tridimensional, segun la base anterior.

Se define el producto $\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$ , y se escribe ${\vec {u}}\times {\vec {v}}$ , como el vector:

{\vec {u}}\times {\vec {v}}=\left(det{\begin{pmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {i}}-det{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {j}}+det{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {k}}\right)

En el que

det{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\\\end{pmatrix}}=a\cdot d-b\cdot c

, es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de orden 3 por la primera fila, también decimos:

{\vec {u}}\times {\vec {v}}=det{\begin{pmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}=det{\begin{pmatrix}u_{y}&u_{z}\\v_{y}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {i}}-det{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{z}\\v_{x}&v_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {j}}+det{\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {k}}

Que da origen a la llamada regla del tirabuzón: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, el sentido de ${\vec {u}}\times {\vec {v}}$ es el de un sacacorchos que gire en el mismo sentido.

Propiedades principales

Cualesquiera que sean los vectores ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ y ${\vec {c}}$ en $\mathbb {R} ^{3}$ :

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}$ ,
$<{\vec {a}},({\vec {a}}\times {\vec {b}})>=<{\vec {b}},({\vec {a}}\times {\vec {b}})>=0$ (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),
Si ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$ y ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$ entonces ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow {\vec {a}}||{\vec {b}}$ (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).
$({\vec {a}}+{\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {c}}+{\vec {b}}\times {\vec {c}}$ ,
${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=<{\vec {a}},{\vec {c}}>{\vec {b}}-<{\vec {a}},{\vec {b}}>{\vec {c}}$

Otras propiedades

Continuando con los vectores del apartado anterior y con el operador norma habitual:

$<{\vec {a}},({\vec {b}}\times {\vec {c}})>=<({\vec {a}}\times {\vec {b}}),{\vec {c}})>$ .
$||{\vec {a}}\times {\vec {b}}||=||{\vec {a}}||\cdot ||{\vec {b}}||\cdot sen\theta$ , siendo $\theta$ el ángulo menor definido por los factores; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
El vector ${\vec {n}}={\frac {{\vec {a}}\times {\vec {b}}}{||{\vec {a}}\times {\vec {b}}||}}$ es el vector director del plano que definen los vectores del producto.

Derivada de un vector

Dado un vector que es función de una variable independiente

{\vec {a}}(t)=a_{x}(t){\vec {i}}+a_{y}(t){\vec {j}}+a_{z}(t){\vec {k}}

Podemos calcular la derivada de a respecto de t, para cada una de sus componentes, como si de un escalar se tratara, siendo el vector de las derivadas:

{\frac {d}{dt}}{\vec {a}}(t)={\frac {d}{dt}}a_{x}(t){\vec {i}}+{\frac {d}{dt}}a_{y}(t){\vec {j}}+{\frac {d}{dt}}a_{z}(t){\vec {k}}

Para calcular esta derivación hay que tener en cuenta que los versores son constantes en modulo dirección y sentido, cuando se deriva sobre un sistema de referencia en movimiento este punto tiene que ser tenido en cuenta. Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partamos de una función vectorial:

{\vec {e}}(t)=Sen(t){\vec {i}}+Cos(t){\vec {j}}+5t{\vec {k}}

Esta función representa una espiral que su eje es el eje z, y de radio 1, en el plano xy, como el de la figura, partamos de la base que esta es la trayectoria de una partícula y la función determina el vector de posición en función del tiempo. Si derivamos, tendremos:

{\frac {d}{dt}}{\vec {e}}(t)={\frac {d}{dt}}Sen(t){\vec {i}}+{\frac {d}{dt}}Cos(t){\vec {j}}+{\frac {d}{dt}}5t{\vec {k}}

Realizando la derivada:

{\frac {d}{dt}}{\vec {e}}(t)=Cos(t){\vec {i}}-Sen(t){\vec {j}}+5{\vec {k}}

La derivada de la posición respecto al tiempo, es la velocidad, esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos decir:

{\vec {V}}(t)=Cos(t){\vec {i}}-Sen(t){\vec {j}}+5{\vec {k}}

Este vector velocidad, tiene su origen en el centro de coordenadas, y determina las componentes de la velocidad en cada instante, la velocidad de la partícula es un vector paralelo a este, en el punto donde se encuentra la partícula en ese mismo momento. Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración, como era fácil de suponer.

Otras operaciones

Módulo resultante

Dados dos vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ , de módulos conocidos y que forman el ángulo $\theta$ entre sí, se puede obtener el módulo $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ con la siguiente fórmula:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}|\left|{\vec {b}}\right|\cos \theta }}$

Deducción de la expresión

Sean dos vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ que forman un ángulo $\theta$ entre sí:

La fórmula para calcular $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:

$OB^{2}=OC^{2}+CB^{2}$

$OB=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|$

$OC=\left|{\vec {a}}\left|+AC\right.\right.$

Resultando:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+AC\right)^{2}+CB^{2}$

En el triángulo ACB :

${\frac {AC}{|{\vec {b}}|}}=\cos \theta$

$AC=|{\vec {b}}|\cos \theta$

${\frac {CB}{|{\vec {b}}|}}=sen\theta$

$CB=|{\vec {b}}|sen\theta$

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(\left|{\vec {b}}|sen\theta \right)^{2}\right.$

$\left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\cos ^{2}\theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}sen^{2}\theta$

$\left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta \right)$

$\left.\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta =1\rightarrow \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}$

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta }}$

Obtención de la Dirección

Para obtener los ángulos $\alpha ,\beta$ directores en el anterior ejemplo tenemos que conocer el ángulo $\theta$ y tener calculado $\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|$ .