Electricidad/Electrostática/Ley de Coulomb

Diversos experimentos nos muestran como podemos producir fenómenos eléctricos. Uno de estos muy conocido es frotar vidrio, plastico u otros materiales no metálicos en pieles, franelas etc. Lo que ocurre cuando hacemos esto es que una vez "cargado" el no metal, podemos atraer con él pequeños trozos de papel u otros objetos livianos.

Lo que está sucediendo cuando hacemos estos tipos de experimentos, es que por alguna razón hacemos que los electrones que componen el material no metálico entren o salgan de él, y cuando terminamos el "cargado" vuelven al reposo pero el material se queda con un exceso o defecto de electrones.

Para ser más generalistas, y dado que los electrones no son las únicas partículas cargadas, diremos que el materia queda con un desequilibrio de cargas eléctricas. Estas cargas se reparten de manera más o menos regular en el material y atraen (o repelen) a las cargas de otros materiales no metálicos¹.

Claro que para poder entender cómo intercaccionan entre si distribuciones de carga, hay que entender primero las leyes que gobiernan a una carga puntual y cómo interaccionan entre si una cantidad determinadas de cargas puntuales. Claro está que luego de ésto podremos desarrollar las leyes para distribuciones complejas amplíando la formulación matemática de estas leyes más simples.

Muchos fueron las personas que se vieron atraidas por el fenómeno eléctrico a lo largo de la historia, pero uno que produjo un gran avance fue Charles-Augustin de Coulomb, que desarrolló un metodo practico para poder medir las fuerzas que roducían las cargas eléctricas.

La ley de Coulomb lleva el nombre de este notable físico francés por que fue uno de sus descubridores y el primero en publicarlo. No obstante, Henry Cavendish obtuvo la expresión correcta de la ley, con mayor precisión que Coulomb, si bien ésto no se supo hasta después de su muerte.

Coulomb efectuó mediciones muy cuidadosas de las fuerzas existentes entre cargas puntuales utilizando una balanza de torsión similar a la usada por Cavendish para evaluar la ley de la gravitación universal.

La balanza de torsión consiste en una barra que cuelga de una fibra. Esta fibra es capaz de torcerse, y si la barra gira la fibra tiende a regresarla a su posición original. Si se conoce la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se logra un método sensible para medir fuerzas.

En la barra de la balanza, Coulomb, colocó una pequeña esfera cargada y, a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esferita con carga de igual magnitud. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.

Dichas mediciones permitieron determinar que:

1) La fuerza de interacción entre dos cargas $q_{1}$ y $q_{2}$ duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}\,\!$     y     $F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{2}\,\!$

en consecuencia:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}q_{2}\,\!$

2) Si la distancia entre las cargas es $r$, al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4; al triplicarla, disminuye en un factor de 9 y al cuadriplicar $r$, la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16. En consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $1 \over r^{2}$

Variación de la Fuerza de Coulomb en función de la distancia

Asociando las relaciones obtenidas en 1) y 2):

$F\,\!$ $\propto \,\!$ $q_{1}q_{2} \over r^{2}$

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:

$F=k{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$

La creencia en la ley de Coulomb, no descansa cuantitativamente en los experimentos del mismo. Las medidas con la balanza de torsión son difíciles de hacer con una precisión de más de unos cuantos centésimos. Esas medidas no son lo suficientemente precisas como para determinar que el exponente de la ecuación de Coulomb es 2 y no fuera, por ejemplo, 2.01. El hecho es que la ley de Coulomb puede deducirse mediante experimentos indirectos que ponen de manifiesto que el exponente en cuestión debe estar comprendido entre 2.000000002 y 1.999999998. No es raro, entonces, que se considere que el exponente sea exactamente 2.

Enunciado de la ley

El enunciado que describe la ley de Coulomb es el siguiente:

"La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa."

En términos matemáticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales $q_{1}yq_{2}$ ejerce sobre la otra separadas por una distancia $r$ se expresa como:

$F=K{\frac {\left|q_{1}\right|\left|q_{2}\right|}{r^{2}}}$

Dadas dos cargas puntuales $q_{1}$ y $q_{2}$ separadas una distancia $r$ en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud esta dada por:

$F=k{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vectoriales:

${\vec {F}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {1}{4\pi \epsilon }}{\frac {q_{1}q_{2}}{|{\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}|^{3}}}({\vec {r}}_{2}-{\vec {r_{1}}})$

donde ${\vec {u}}_{r}$ es un vector unitario que va en la dirección de la recta que une las cargas, siendo su sentido desde la carga que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.

El exponente (de la distancia r) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma $(2+\delta )\,\!$, entonces $\left|\delta \right|<10^{-16}\,\!$.

Representación gráfica de la Ley de Coulomb para dos cargas del mismo signo.

Obsérvese que esto satisface la tercera del ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre $q_{1}\,\!$ y $q_{2}\,\!$. La ley de Coulomb es una ecuación vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de unión entre las cargas.

Constante de Coulomb

La constante $k$ es la constante de Coulomb y su valor es $1/(4\pi \varepsilon )$.

A su vez la constante $\varepsilon =\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}$ donde $\varepsilon _{r}$ es la permitividad relativa, $\varepsilon _{r}>1$, y $\varepsilon _{0}=8,85\times 10^{-12}$N$m^{2}$/$C^{2}$ es la permitividad del medio en el vacío.

Cuando el medio que rodea a las cargas no es el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del material.

Algunos valores son:

Material	$\varepsilon _{r}$	Material	$\varepsilon _{r}$
Vacío	1	Aire	1,0006
Parafina	2, 1-2,2	Mármol	7,5-10
Mica	6-7	Ebonita	2,5-3
Papel parafinado	2,2	Porcelana	5,5-6,5
Poliestireno	1,05	Micalex	7-9
Baquelita	3,8-5	Micarta A y B	7-8
C-irbolito	3-5	Batista barnizada	3,5-5
Vidrio orgánico	3,2-3,6	Goma en hojas	2,6-3,5
Vidrio	5,5-10	Poliestireno	2,7

Considerando que la permitividad relativa en el vacío es igual a la unidad entonces la ecuación de la ley de Coulomb queda expresada de la siguiente manera:

$F={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$

Principio de superposición y la Ley de Coulomb

Como ley básica adicional, no deducible de la ley de Coulomb, se encuentra el Principio de Superposición:

"La fuerza total ejercida sobre una carga eléctrica q por un conjunto de cargas $q_{1},q_{2},q_{3},...,q_{N}\,\!$ será igual a la suma vectorial de cada una de las fuerzas ejercidas por cada carga $q_{i}\,\!$ sobre la carga q."

${\vec {F}}=\sum _{i}^{N}{\vec {F}}_{i}=\sum _{i}^{N}{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{i}q}{r_{i}^{2}}}{\vec {u_{r}}}_{i}$

Representación gráfica del principio de superposición

Conjuntamente, la Ley de Coulomb y el Principio de Superposición constituyen los pilares de la electrostática.

Verificación experimental de la Ley de Coulomb

Es posible verificar la ley de Coulomb mediante un experimento sencillo.

Considérense dos pequeñas esferas de masa m cargadas con cargas iguales q del mismo signo que cuelgan de dos hilos de longitud l, tal como se indica en la figura.

Sobre cada esfera actúan tres fuerzas: el peso mg, la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión eléctrica entre las bolitas $F_{1}$.

En el equilibrio: $T\ \sin \theta _{1}=F_{1}\,\!$ (1) y $T\ \cos \theta _{1}=mg\,\!$ (2).

Dividiendo (1) entre (2) miembro a miembro, se obtiene: ${\frac {\sin \theta _{1}}{\cos \theta _{1}}}={\frac {F_{1}}{mg}}\Rightarrow F_{1}=mg.\tan \theta _{1}\,\!$

Siendo $L_{1}$ la separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza $F_{1}$ de repulsión entre ellas, vale, de acuerdo con la ley de Coulomb: $F_{1}={\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}$ y, por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad: ${\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}=mg.\tan \theta _{1}\,\!$ (3)

Al descargar una de las esferas y ponerla, a continuación, en contacto con la esfera cargada , cada una de ellas adquiere una carga q/2, en el equilibrio su separación será $L_{2}<L_{1}$ y la fuerza de repulsíón entre las mismas estará dada por: $F_{2}={\frac {{\left({\frac {q}{2}}\right)}^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}={\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}$

Por estar en equilibrio, tal como se dedujo más arriba: $F_{2}=mg.\tan \theta _{2}\,\!$.

Y de modo similar se obtiene: ${\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}=mg.\tan \theta _{2}\,\!$ (4)

Dividiendo (3) entre (4), miembro a miembro, se llega a la siguiente igualdad:

${\frac {\frac {q^{2}}{4\pi \epsilon _{0}L_{1}^{2}}}{\frac {\frac {q^{2}}{4}}{4\pi \epsilon _{0}L_{2}^{2}}}}={\frac {mg.\tan \theta _{1}}{mg.\tan \theta _{2}}}\Longrightarrow 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}=$ ${\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}$ (5)

Midiendo los ángulos $\theta _{1}$ y $\theta _{2}$ y las separaciones entre las cargas $L_{1}$ y $L_{2}$ es posible verificar que la igualdad se cumple dentro del error experimental.

En la práctica, los ángulos pueden resultar difíciles de medir, así que si la longitud de los hilos que sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ángulos resultarán lo bastante pequeños como para hacer la siguiente aproximación:

$\tan \theta \approx \sin \theta ={\frac {\frac {L}{2}}{l}}={\frac {L}{2l}}\Longrightarrow {\frac {\tan \theta _{1}}{\tan \theta _{2}}}\approx {\frac {\frac {L_{1}}{2l}}{\frac {L_{2}}{2l}}}$

Con esta aproximación, la relación (5) se transforma en otra mucho más simple:

${\frac {\frac {L_{1}}{2l}}{\frac {L_{2}}{2l}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Longrightarrow$ ${\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx 4{\left({\frac {L_{2}}{L_{1}}}\right)}^{2}\Longrightarrow {\frac {L_{1}}{L_{2}}}\approx {\sqrt[{3}]{4}}$

De esta forma, la verificación se reduce a medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al valor indicado.

Comparación entre la Ley de Coulomb y la Ley de la Gravitación Universal

Esta comparación es relevante ya que ambas leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria.

La ley de la gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Expresándolo matemáticamente: $F=G.{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$ siendo G la constante de gravitación universal, $m_{1}$ y $m_{2}$ las masas de los cuerpos en cuestión y r la la distancia entre los centros de las masas. G vale $6,67\times 10^{-11}$$N.m^{2}/kg^{2}$

A pesar del chocante parecido en las expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias insoslayables.

La primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de diferente signo como sucede en el caso de las cargas eléctricas, y por tanto, la fuerza entre masas siempre es atractiva.

La segunda tiene que ver con los órdenes de magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo analizaremos como actúan ambas entre un protón y un electrón en el núcleo de hidrógeno.

La separación promedio entre el electrón y el protón es: $5,3\times 10^{-11}$m.

La carga del electrón y la del protón valen $e^{-}=-1,6\times 10^{-19}C$ y $p^{+}=1,6\times 10^{-19}C$ respectivamente y sus masas son $m_{e^{-}}=9.11\times 10^{-31}kg$ y $m_{p^{+}}=-1,67\times 10^{-27}kg$.

Sustituyendo los datos:

$F_{E}=k{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}=8,99\times 10^{9}{\frac {Nm^{2}}{C^{2}}}.{\frac {-1,6\times 10^{-19}C.1,6\times 10^{-19}C}{5,3\times 10^{-11}m^{2}}}=8,2\times 10^{-8}N$

$F_{G}=G.{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=6,67\times 10^{-11}{\frac {Nm^{2}}{kg^{2}}}.{\frac {9.11\times 10^{-31}kg.1,67\times 10^{-27}kg}{5,3\times 10^{-11}m^{2}}}=3,6\times 10^{-47}N$.

Al comparar resultados se observa que la fuerza eléctrica es de unos 39 órdenes de magnitud superior a la fuerza gravitacional.

Lo que esto representa puede ser ilustrado mediante un ejemplo muy llamativo.

1 C representa la carga transportada durante 1 segundo por una lámpara convencional de 120 watt de las utilizadas en las casas para suministrar iluminación.

Si fuera posible concentrar la mencionada carga en dos puntos con una separación de 1 metro, la fuerza de interacción sería:

$F_{E}=k{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}=8,99\times 10^{9}{\frac {Nm^{2}}{C^{2}}}.{\frac {1C.1C}{{1m}^{2}}}=9\times 10^{9}N$ o sea ¡1,01 millones de toneladas!

Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada más arriba, se alejarían bajo la influencia de esta enorme fuerza, ¡aunque tuvieran que arrancarse del acero sólido para hacerlo!

Si de esta hipotética disposición de cargas resultan fuerzas tan enormes, ¿porqué no se observan despliegues dramáticos debidos a las fuerzas eléctricas? La respuesta general es que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado alejamiento de la neutralidad eléctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb de carga en un punto.