Estadística/Cálculo de probabilidades/Aleatoriedad y probabilidad

Ejemplo del "pedazo de pizza" para conceptualizar la probabilidad

Harry y Paula van a una pizzería. Ellos están recién empezando una relación. Paula ordena la mitad de su pizza con salami y Harry con jamón. Luego ellos comparten su pizza, en lo que notan que dejan de compartir un pedazo de afuera o un pedazo central de la pizza. Sin embargo, a Harry que normalmente le gusta más lo de afuera, no se preocupa de eso en su actual situación. Y también Paula deja su mitad afuera por casualidad. ¿Cuán grande es verdaderamente la probabilidad, que Harry tenga dos pedazos de pizza de su preferencia del total?

Archivo:Pizza estadistica.png

Pedazos de Pizza

La respuesta correcta sería 1/4. Pero porque obtenemos la probabilidad precisamente de 1/4?

Obtenemos un proceso: Para inicios iguales (condición compleja) se puede intentar intercambiando dos mitades de los pedazos aleatoriamente, haciéndolo repetidamente frecuente a voluntad. Cada ocasión tiene un desenlace incierto. Se trata aquí de una operación aleatoria (experimento, intento).

La operación aleatoria se puede también describir a través de:

• Iguales condiciones complejas
• Desenlace incierto
• Repetidamente frecuente a voluntad

Un determinado par de mitades de pedazos del plato de Harry es un resultado. Un resultado sería por ejemplo: la primera mitad es un pedazo del borde, y el segundo pedazo es uno de la mitad,

(R;M) o solo RM (R para el borde y M para la mitad)

donde la parte "izquierda" le correspondería a Harry y la "derecha" a Paula.

Todos los pares posibles se resumen en el Conjunto solución Ω:

Ω es también el conjunto de todas las posibles soluciones que se puedan presentar en un proceso aleatorio. Se lleva a cabo este proceso frecuentemente infinito, debiendo resultar presumiblemente en un 25% de todos los intentos dos pedazos de la mitad. Luego se podría con eso indicar que cada uno en la pareja tiene la misma probabilidad de sacar un pedazo. El número del resultado, llamado |Ω|, es cuatro. Por eso es la probabilidad para un par de pedazos del borde

$P(RR)={\frac {1}{4}}\;.$

Si ahora resulta para un intento de ejemplo "RM", esto es un acontecimiento.

Para un "RM" se trata de un acontecimiento elemental. Es un acontecimiento que solo contiene un elemento en el conjunto de resultados.

Hay también complicados acontecimientos compuestos:

A: Al menos un pedazo de la mitad: A = {RM, MR, MM}

B: Un pedazo completo: B = {RM, MR}

Estos acontecimientos incluyen más resultados de Ω; un acontecimiento es siempre un subconjunto de Ω.

La probabilidad como concepto teórico

Pequeña historia general

Hay ahora aplicadas tantas probabilidades como Homo Sapiens existen. El último día de la batalla en el bosque de Teutoburger (9 d.n.e.) había una tormenta. Los romanos interpretaron eso como un aviso ejemplar de Mercurio, el dios del relámpago y del trueno. Los germanos miraban eso como el aliento de Thor, dios de la guerra. Como se conoce, tenían ambas partes la razón.

En el siglo 17, la época del racionalismo, Blaise Pascal (1623 - 1662) se ocupaba sistemáticamente de la probabilidad de un juego de azar y así fundamentó el cálculo de probabilidades como una disciplina autónoma.

Jakob Bernoulli (1654 - 1705) se interesaba asimismo de las preguntas de la probabilidad discreta y publicó su primer libro sobre cálculo de probabilidades.

Con Abraham de Moivre (1667 - 1754) y Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) se descubrió pronto la distribución normal y Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) continúo su desarrollo.

Richard Edler von Mises (1883 - 1953) proporcionó artículos con mucho valor para el cálculo de las probabilidades y de la matemática estadística.

En 1933 el matemático ruso Andrej Nikolajewitsch Kolmogorow (1903 - 1987) propuso una definición axiomática de probabilidad, de la que se basa la actual teoría de probabilidades. Esta definición es una aplicación de la teoría de medidas.

Resultados y Acontecimientos

El concepto actual del cálculo de probabilidades se presenta del siguiente modo:

Dado el Conjunto solución (Espacio de eventos, espacio de pruebas) Ω de un suceso aleatorio. Este conjunto contiene todas las posibles soluciones que un suceso aleatorio puede dar. Dependiendo del tipo de suceso aleatorio se puede contemplar diferentes conjuntos solución:

Ω contiene muchas finitas soluciones.

Ejemplos:

• Suceso aleatorio: lanzar los dados. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso aleatorio: color de ojos de la siguiente persona que se presenta en un casting. Ω = {azules, verdes, cafés, negros}.

Ω contiene un infinito contable de muchos resultados.

Ejemplos:

• Suceso aleatorio: número de autos que a las 12 del mediodía conducen por un contador de autos en un determinado lugar. Ω = {0, 1, 2, 3, ...}.
• Suceso aleatorio: número de requisitos en un servidor en una hora. Ω = {0, 1, 2, .....}.

Se puede contabilizar los resultados pero no se puede designar ningún razonable límite superior, por eso se deja el límite superior abierto.

Ω contiene muchos incontables resultados. Se podría también decir, el conjunto de los resultados es un intervalo en los números reales.

Ejemplos:

• Suceso aleatorio: una persona adulta será pesada (en kg). Ω = {x|30 ≤ x ≤ 200; x ∈ R}.
• Suceso aleatorio: el cash-flow de una compañía (en €). Ω = R.

el Cash-flow se describe como la diferencia entre ingresos - egresos.

Aquí no se puede más contar los resultados. Un pequeño intervalo cualquiera del conjunto solución contiene infinito número de elementos. Cual es el siguiente elemento de 50 kg: 51 kg, 50,01 kg o 50,00000001 kg? En el intervalo [50, 51] existen infinito número de elementos.

Se podría aquí objetar que aún en el ejemplo del Cash-flow un centavo sería la menor unidad, que es sencillamente contable. Por supuesto, pero cuando son muchos elementos cercanos reunidos se facilita el análisis se puede suponer el conjunto como continuo. Se hablaría aquí de una cuasi continuidad.

Si un suceso aleatorio tiene un concreto resultado, se concreta un suceso. Hay sucesos simples, el único resultado que contiene es el llamado suceso elemental. Los sucesos complejos se componen de muchos resultados. Un suceso A es siempre un subconjunto del conjunto solución Ω.

Ya que el resultado es un conjunto, se puede utilizar todas las operaciones del Álgebra de Conjuntos, que puede ser igual a la Álgebra de Boole (también la álgebra de Schalt). Las operaciones fundamentales para conjuntos en el álgebra de Boole son ^- (no), ∩ y ∪. Todas las otras operaciones se pueden derivar de ellas.

Todas las soluciones de interés se reúnen solo en un conjunto solución llamado E. Éste es también un conjunto de subconjuntos. Con esos conjuntos se puede trabajar con el álgebra de Boole pero se deben cumplir las siguientes exigencias:

• Cuando un suceso A está contenido en E, debe estar también contenido su complemento $_{\bar {A}}$
• Cuando está contenido A y B, debe también estar contenido A ∪ B (se puede calcular que también contiene A ∩ B).
• Debe también contener el elemento "nulo" Ø (esto implica que también el "elemento 1" Ω está contenido, que es el complemento de Ø).

El extenso conjunto solución es el conjunto potencia P, éste contiene todos los subconjuntos de Ω.

Ejemplo de un conjunto potencia: Suceso: En una urna, que contiene pelotas rojas(r), azules (b) y amarillas (a), se debe sacar una pelota de ahí. Lo que nos interesa es el color de las pelotitas.

Conjunto solución: Ω = {a, b, r}

Conjunto potencia: P = {Ø, {r}, {b}, {a}, {r, a}, {r, b}, {a, b}, {a, b, r}}

Kolmogorow construyó un axioma para la medida de probabilidad, es decir una proyección del conjunto solución Ω de el conjunto de los números reales en el intervalo [0,1]:

F: Ω → R; A → P(A)

Una función P, que cada suceso A de E ordena un número real se llama probabilidad cuando cumple el siguiente axioma:

Axioma de la Probabilidad:

Dados dos sucesos A,B que están en Ω.

1. $P(A)\geq 0\;.$ No-negatividad
2. $P(\Omega )=1\;.$ Nominalidad
3. $P(A\cup B)=P(A)+P(B)\;,$ si A y B son disjuntas. Aditividad

Este sistema de axiomas se puede contar solo para muchos sucesos finitos. Para muchos infinitos sucesos A_i (i = 1, 2, ...) se obtiene, en vez del conjunto finito solución, una σ-Algebra. Se mantienen ampliado todos las propiedades de los conjuntos solución de muchos infinitos sucesos A_i. Aquí se detalla el tercer axioma respectivo:

3. Son los sucesos A_i completamente disjuntos en pares, es por su distribución

$P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}...)=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})+...,$ en caso de que A_i sea disconjunto (σ-Aditividad).

Cálculo de la probabilidad de un acontecimiento

Se debe ahora estar provisto de un suceso con probabilidad. Bajo qué juicio se debe eso realizar, no nos viene en un axioma. Hay aquí diferentes procesos. Se mantiene finalmente la distribución de probabilidad.

¿Cómo asignamos los sucesos con la mejor probabilidad?

Consideremos el ejemplo en el pedazo de Pizza, el suceso A: mínimo un pedazo de la mitad. Es A = {RM, MR, MM}. Se cubre en Ω tres de cuatro posibles resultados, así tenemos la probabilidad P(A) = 3/4. La estrategia corresponde al clásico concepto de probabilidad. Se lo designa como principio simétrico o el principio de Laplace:

Cada resultado es frecuentemente igual. |A| es el número de resultados que se cubren a través de A (número de resultados favorables), |Ω| es el número de todas las soluciones posibles. Así

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {3}{4}}\;.$

El principio simétrico tiene sobre todo una desventaja que no se puede aplicar para todos los sucesos aleatorios, p. e.: para muchos eventos infinitos. Frecuentemente se asigna también a un resultado distintas probabilidades, p.e.:

Evento aleatorio: el clima de personas
Conjunto solución Ω = {bonito, desagradable}
P("bonito") = 0,6, p("desagradable") = 0,4.

¿Cómo se llegó a esos valores de probabilidad 0,4 y 0,6? se evaluó en esos casos casi las señales del clima de los últimos 100 años y se averiguó que el porcentaje de los días "bonitos" era el 60 %. Aquí tenemos una aplicación del concepto estadístico de probabilidad: Se lleva a cabo un experimento aleatorio muy seguido. Con el número continuo de los intentos se aproxima el porcentaje de intentos que se han distribuido al suceso A, la probabilidad "real" P(A) de forma formal es

$P(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n(A)}{n}}\;,$

con n(A) como número de intentos que se han surgido del evento A. Se designa esa conexión como Ley de grandes números. La ley proporciona el razonamiento que se puede evaluar desconocidas probabilidades con ayuda de una visión empírica, aquí eso nos sirve de mucha ayuda!.

Para muchas preguntas se rechazan ambos conceptos de probabilidad arriba mencionados. P.e. para sucesos, que se realizan raramente, no se tiene una serie de intentos disponibles; como la probabilidad de éxito de un nuevo producto ubicado en el mercado. Se quiere llevar el ejemplo a una compañía de detergente. Se encuentra ante una alternativa, de hacer publicidad en la televisión o no. Se confronta con los eventos: Cuando pasa la propaganda televisiva es para la compañía un éxito/un fracaso. Cuando no se pasa la propaganda es para la compañía también un éxito/ un fracaso. Para estas cuatro alternativas se debe determinar la probabilidad. No se tiene información confiable sobre el evento, no se puede tener datos previos, eventualmente bajo consideraciones de experiencias parecidas se asigna una probabilidad determinada. Esa forma de proceder se denomina el concepto subjetivo de probabilidad.

Hay sucesos que se definen como conjuntos, se pueden ilustrar también en muchos eventos y en sus probabilidades en un diagrama de Venn. La probabilidad es la superficie del correspondiente conjunto.

El ejemplo de la pizzería para calcular la probabilidad

Archivo:Pommodore.png

Desglose de las órdenes de los clientes. Wein = Vino, Wasser = Agua

Ahora miremos alrededor de la pizzería algo más preciso: El dueño Carlo Pommodore es un hombre piadoso y acepta también a clientes sin mucho dinero que no ordenan nada. Por eso su local está lleno con 50 clientes siempre. 20 personas ordenan Pizza y 10 lasagne. La comida llena tanto que nadie avanza a ordenar un segundo plato. 40 clientes beben vino y 20 beben agua mineral, pero 15 toman agua y vino.

Saquemos aleatoriamente a un cliente feliz del estrepitoso conjunto. ¿Cuán grande es la probabilidad de conseguir a uno que comió pizza?

Tenemos |Ω| = 50 diferentes resultados. Se puede de ahí sacar que cada cliente tiene la misma probabilidad de ser escogido.

Definimos ahora los sucesos:

A: El cliente comió pizza; B: El cliente comió lasagne;

C: El cliente tomó vino; D: El cliente tomó agua.

Se tiene bajo el principio de simetría:

$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {20}{50}}={\frac {2}{5}}\;,$

$P(B)={\frac {10}{50}}={\frac {1}{5}}\;,$

$P(C)={\frac {4}{5}}$ y

$P(D)={\frac {2}{5}}\;.$

Podemos calcular:

• La probabilidad que alguien tome agua y vino:

$P(C\cap D)={\frac {|C\cap D|}{|\Omega |}}={\frac {15}{50}}={\frac {3}{10}}\;.$

• La probabilidad que en un cliente escogido aleatoriamente no tome agua ($\;_{\bar {D}}$):

$P({\bar {D}})={\frac {\vert {\bar {D}}\vert }{\vert \Omega \vert }}={\frac {50-20}{50}}=1-{\frac {20}{50}}={\frac {3}{5}}=1-P(D)\;.$

• Cantidad de personas que bebieron agua o vino:

$P(C\cup D)=P(C)+P(D)-P(C\cap D)={\frac {40}{50}}+{\frac {20}{50}}-{\frac {15}{50}}={\frac {45}{50}}={\frac {9}{10}}\;.$

Esta relación siempre vale para dos eventos!

• La probabilidad que un cliente coma pizza o lasaña:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)={\frac {20}{50}}+{\frac {10}{50}}-0={\frac {30}{50}}\;.$

Los conjuntos A y B son disyuntos.

• La probabilidad que un cliente escogido aleatoriamente no beba ni vino ni agua:

$P({\bar {C}}\cup {\bar {D}})=P({\bar {C}})+P({\bar {D}})-P({\bar {C}}\cap {\bar {D}}).$

Aquí el directo cálculo de la probabilidad es análogo al realizado anteriormente. Se usa mejor la regla de DE MORGAN:

$P({\bar {C}}\cup {\bar {D}})=P({\overline {C\cap D}})=1-P(C\cap D)=1-{\frac {15}{50}}={\frac {35}{50}}=0,7.$

Lo que se debe aprender

En un suceso A (A elemento de Ω) :

$0\leq P(A)\leq 1.$

$P({\bar {A}})=1-P(A).$

$P(\emptyset )=0.$

Dos sucesos A y B (A,B elementos de Ω) :

A y B no son en general disyuntos, también es la probabilidad que A o B ocurra por el teorema de adición para dos sucesos:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

En el caso de que A y B sean disyuntos:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

La regla de Morgan:

$P({\bar {A}}\cup {\bar {B}})=P({\overline {A\cap B}})$

y

$P({\bar {A}}\cap {\bar {B}})=P({\overline {A\cup B}})$

Para tres eventos A_i (i = 1, 2, 3) de Ω vale análogamente a su arriba mencionada referencia:

$P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3})=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})-P(A_{1}\cap A_{2})-P(A_{1}\cap A_{3})-P(A_{2}\cap A_{3})+P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}).$

Más sucesos A_i (i finito o infinito):

Si los eventos A_i generalmente en pares son disjuntos, se lo realiza por su distribución

$P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}...)=P(A_{1})+P(A_{2})+P(A_{3})+...$

Ejercicio

Muéstrese un diagrama de Venn que sea favorable a una regla de De Morgan.

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