Estadística/Distribución normal

Definición formal

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

${\begin{aligned}\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)&{}=\int _{-\infty }^{x}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(u)\,du\\&{}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du,\quad x\in \mathbb {R} \\\end{aligned}}$

Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:

$\Phi (x)=\Phi _{0,1}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}\,du,\quad x\in \mathbb {R} .$

Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} ,$

y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:

$\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\frac {1}{2}}{\Bigl [}1+\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}{\Bigr )}{\Bigr ]},\quad x\in \mathbb {R} .$

El complemento de la función de distribución de la normal estándar, $1-\Phi (x)$, se denota con frecuencia $Q(x)$, y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería. Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de $\Phi$.

La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:

$\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1),$

y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:

$\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(p)=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).$

Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase función cuantil).

Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.

Límite inferior y superior estrictos para la función de distribución

Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar $\scriptstyle \Phi (x)$ es muy próxima a 1 y $\scriptstyle \Phi (-x)\,{=}\,1\,{-}\,\Phi (x)$ está muy cerca de 0. Los límites elementales

${\frac {x}{1+x^{2}}}\varphi (x)<1-\Phi (x)<{\frac {\varphi (x)}{x}},\qquad x>0,$

en términos de la densidad $\scriptstyle \varphi$ son útiles.

Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:

${\begin{aligned}1-\Phi (x)&=\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\varphi (u)\,du=\int _{x^{2}/2}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{x^{2}/2}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}$

De forma similar, usando $\scriptstyle \varphi '(u)\,{=}\,-u\,\varphi (u)$ y la regla del cociente,

${\begin{aligned}{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}(1-\Phi (x))&={\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&=\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du\\&>\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\varphi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}$

Resolviendo para $\scriptstyle 1\,{-}\,\Phi (x)\,$ proporciona el límite inferior.

Funciones generatrices

Función generatriz de momentos

La función generatriz de momentos se define como la esperanza de e^(tX). Para una distribución normal, la función generatriz de momentos es:

$M_{X}(t)=\mathrm {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{tx}\,dx=e^{\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$

como puede comprobarse al completar el cuadrado en el exponente.

Función característica

La función característica se define como la esperanza de e^itX, donde i es la unidad imaginaria. De este modo, la función característica se obtiene reemplazando t por it en la función generatriz de momentos. Para una distribución normal, la función característica es

${\begin{aligned}\chi _{X}(t;\mu ,\sigma )&{}=M_{X}(it)=\mathrm {E} \left[e^{itX}\right]\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}e^{itx}\,dx\\&{}=e^{i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}.\end{aligned}}$