Estadística/Variables aleatorias discretas

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de $X$ finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde $-\infty$ hasta el valor $x$ .

Una variable aleatoria que toma un número finito o contable infinito de valores se llama una variable aleatoria discreta mientras que una que toma un número de valores infinito no contable recibe el nombre de variable aleatoria continua.

Tipos de distribuciones de variable discreta

Definidas sobre un dominio finito

La distribución de Bernoulli, que toma valores "1", con probabilidad p, o "0", con probabilidad q = 1 − p.
La distribución de Rademacher, que toma valores "1" o "-1" con probabilidad 1/2 cada uno.
La distribución binomial, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados "sí" o "no" (ensayo de Bernoulli, todos ellos con probabilidad de acierto p y probabilidad de fallo q = 1 − p.
La distribución beta-binomial, que describe el número de aciertos en una serie de n experimentos independientes con posibles resultados "sí" o "no", cada uno de ellos con una probabilidad de acierto variable definida por una beta.
La distribución degenerada en x0, en la que X toma el valor x0 con probabilidad 1. A pesar de que no parece una variable aleatoria, la distribución satisface todos los requisitos para ser considerada como tal.
La distribución uniforme discreta, en el que todos los resultados posibles forman de un conjunto finito en el que todos son igualmente probables. Esta distribución describe el comportamiento aleatorio de una moneda, un dado o una ruleta de casino equilibrados (sin sesgo).
La distribución hipergeométrica, que mide la probabilidad de obtener x (0 ≤ x ≤ d) elementos de una determinada clase formada por d elementos pertenecientes a una población de N elementos, tomando una muestra de n elementos de la población sin reemplazo.

Definidas sobre un dominio infinito

La distribución binomial negativa o distribución de Pascal, que describe el número de ensayos de Bernoulli independientes necesarios para conseguir n aciertos, dada una probabilidad individual de éxito p constante.
La distribución geométrica, que describe el número de intentos necesarios hasta conseguir el primer acierto.
La distribución beta-binomial negativa, que describe el número de experimentos del tipo "si/no" necesarios para conseguir n aciertos, cuando la probabilidad de éxito de cada uno de los intentos está distribuida de acuerdo con una beta.
La distribución binomial negativa extendida.
La distribución de Boltzmann, importante en mecánica estadística, que describe la ocupación de los niveles de energía discretos en un sistema en equilibrio térmico. Varios casos especiales son:
La distribución elíptica asimétrica.
La distribución fractal parabolica.
La distribución hipergeométrica extendida.
La distribución logarítmica.
La distribución de Poisson, que describe el número de eventos individuales que ocurren en un periodo de tiempo. Existen diversas variantes como la Poisson desplazada, la hiper-Poisson, la binomial de Poisson y la Conway–Maxwell–Poisson entre otras.
La distribución Skellam, que describe la diferencia de dos variables aleatorias independientes con distribuciones de Poisson de distinto valor esperado.
La distribución zeta, que utiliza la función zeta de Riemman para asignar una probabilidad a cada número natural.
La ley de Zipf, que describe la frecuencia de utilización de las palabras de una lengua.
La ley de Zipf–Mandelbrot es una versión más precisa de la anterior.