Estadística en Microcomputadores/Análisis Descriptivo de Series de Tiempo ESTAD
18.1 ANALISIS DESCRIPTIVO DE SERIES DE TIEMPO
Dentro de esta opción el sistema ESTAD incluye en primer lugar la determinación de Coeficientes de Corrrelación, para un conjunto de observaciones de una o dos variables ordenadas temporalmante. Dentro de ello se considera el cálculo de Coeficientes de Autocorrelación, de Autocorrelación Parcial y de Correlación Cruzada
En el Cuadro 18.1 a) se incluyen los procedimientos de cálculo de dichos coeficientes, presentando también el criterio para definir los intervalos de confianza de los valores obtenidos.
Un segundo proceso incluido dentro del Análisis Descriptivo de series es el Suavizamiento ("Smoothing"). Mediante este proceso, dada una serie experimental se obtiene otra, correspondiente con la primera, en la que se reducen o "suavizan" las variaciones de sus valores, reteniendo principalmente la tendencia general de evolución de los valores de la serie experimental considerada.
El sistema contempla la posibilidad de efectuar el suavizamiento de una serie considerando dos criterios alternativos: mediante pronedios móviles o a través de medianas móviles. En el primer caso resulta posible definir ponderadores para cada uno de los términos del promedio. Los procedimientos que utiliza el sistema para efectuar este proceso se incluyen en el Cuadro 18.1 b).
Un tercer proceso que considera el sistema dentro del Análisis descriptivo de Series es su graficación, de manera similar a la vista en el Capítulo 12 .
La ejecución de un proceso de Análisis Descriptivo de series sobre un dado conjunto de observaciones ordenadas temporalmente requiere ejecutar los pasos que describen a continuación, una vez elegida la opción correspondiente en el menú de Series de Tiempo:
a) Selección del proceso a ejecutar, mediante el siguiente
menú:
PROCESOS
1 - Cálculo de Coeficientes de Correlación
2 - Suavizamiento
3 - Graficación
b) Si en el paso anterior se eligió la opción 1, Cálculo de Coeficientes de Correlación, se selecciona el tipo de coeficiente específico a obtener, del siguiente menú:
CALCULO DE
1 - Coeficientes de Autocorrelación cOE
2 - Coeficientes de Correlación parcial
3 - Coeficientes de Correlación Cruzada
c) Para la misma opción, se define la variable de la memoria de trabajo donde se encuentra la serie experimental a considerar en el proceso, siguiendo el procedimiento descripto en . En el caso del cálculo de coeficientes de correlación cruzada se deben definir dos variables. No se consideran en este proceso datos de tipo agrupado.
d) Siguiendo con la misma opción se ingresa el número maximo de períodos de separación entre observaciones, hasta el cual se calcularán sus respectivos coeficientes, a partir de un período igual a 1.
e) El computador efectúa el cálculo y presenta en pantalla los valores de los coeficientes requeridos, así como una graficación de dichos valores. En ella se marcan los intervalos de confianza, para un nivel de significación del 5%, más allá de los cuales los coeficientes son significativos.
f) Si en el paso a) se eligió la opción 2, de Suavizamiento, se define el tipo de suavizamiento a realizar, mediante el siguiente menú:
TIPO DE SUAVIZAMIENTO
1 - Promedios Móviles
2 - Medianas Móviles
g) Dentro de este mismo proceso se define la variable de la memoria de trabajo que contiene la serie de tiempo a considerar.
h) Se ingresa el número k de períodos a utilizar en los promedios o medianas móviles. Asimismo, se define optativamente la posición de la memoria de trabajo donde se colocarán los valores de la serie suavizada.
En el caso de haber adoptado el método de promedios móviles se ingresan optativamente los valores de los ponderadores para cada término del promedio.
i) El computador efectua el proceso de suavizamiento, mostrando en pantalla los valores de la serie original y los suavizados correspondientes.
j) Si en el paso a) se eligió la opción 3, de graficación, se puede obtener una representación visual de hasta tres series relacionadas, siguiendo el procedimiento descripto en la sección .
A continuación se llevan a cabo varios ejemplos de aplicación del proceso descripto, considerando la serie de pasajeros aéreos mensuales (PASAJ), cargada previamente en la memoria de trabajo.
El primer ejemplo involucra el cálculo de coeficientes de autocorrelación y de autocorrelación parcial sobre dicha serie, presentándose sus resultados en el Cuadro 18.2 a). Los cálculos principales efectuados para el cálculo de los coeficientes de Autocorrelación son:
Valor medio de la serie: (112+...+201)/60 = 171.7
Desvío Estándar:
( (112-171.7)2+...+(201-171.7)2)/59 = 41.778
Coeficiente de autocorrelación r1 para la primera diferencia:
r1 = (112-171.7)*(118-171.7)+...+
+(180-171.7)*(201-171.7) / (59*41.778) = 0.908
Intervalo de confianza de r1 (para = 95%):
r = 1/(58/(t2+1)) = 0.253
t = valor para el que FStud(t) = 0.975 ,con k=59
t = 1.647
Los coeficientes de autocorrelación parcial se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales, en las que los valores numéricos son los coeficientes de autocorrelación:
+ .908 + .79 + .693 = .908
.908 + + .908 + .79 = .79
.79 + .908 + + .908 = .693
.693 + .79 + .908 + = .63
Resolviendo el sistema resulta:
= .034
= .27
= .433
= .463
El segundo ejemplo consdiera el suavizamiento de la serie, mediante el método de promedio móvil. e adopta k=12, así como ponderadores iguales. Se realiza también un segundo paso de suavizamiento, con k=2, para centrar los valores suavizados. Los resultados de este proceso se muestran en el Cuadro 18.2 b)
Los primeros suavizamientos resultan:
y'6.5 = (112+118+...+104+118)/12 = 126.67
y'7.5 = (118+132+...+118+115)/12 = 126.91
y'8.5 = (132+129+...+115+126)/12 = 127.43
...............
Promediando estos valores de a pares se obtienen los valores suavizados definitivos:
y7 = (126.67+126.91)/2 = 126.79
y8 = (126.91+127.43)/2 = 127.17
................
En un tercer ejemplo se realiza otro proceso de suavizamiento sobre la misma serie, en este caso considerando un proceso más complejo de suavizamiento, denominado 4253H. Este proceso involucra la realización consecutiva de cuatro suavizamientos, con k=4, 2, 5 y 3, respectivamente. Sobre la serie resultante se aplica un promedio móvil con k=3 y ponderadores 0.25, 0.5 y 0.75. Los resultados del proceso se muestran en el Cuadro 18.2 c).
En el último ejemplo se grafica la serie original y las dos sries suavizadas obtenidas en los ejemplos anteriores, en sendo gráficos (ver Cuadro 18.2 d).
CUADRO 18.1 a) - PROCEDIMIENTO DE CALCULO DE COEFICIENTES DE
CORRELACION EN SERIES
Coeficientes de Autocorrelación
El coeficiente de autocorrelación rk de uns serie, considerando parse de valores separados por k períodos, resulta:
rk = 1/(n-k) ( (xi-x(xi+k-x) )/ s2
siendo:
x Valor Medio de la Serie
Desvío Estándar de la Serie
El intervalo de confianza de un coeficiente de correlación rk resulta:
Coeficientes de Autocorrelación Parcial Los valores de los k primeros coeficientes de autocorrelación parcial 1 a k se obtienen resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
1+ r1 2 + r2 3 + ... + rk-1 k = r1
r1 1+ 2 + r1 3 + ... + rk-2 k = r2
r2 1+ r1 2 + 3 + ... + rk-3 k = r3
............................................
rk-1 1+ rk-2 2 + rk-3 3 + ... + k = rk
donde r1 a rk son los valores de los coeficientes de correlación.
Coeficientes de Correlación Cruzada El valor del coeficiente de correlación cruzada rCk entre una serie X y otra Y resulta, considerando pares de valores de ambas series separados por k períodos:
Si k>0:
rCk = 1/(n-k) ( (xi-x)(yi+k-y) )/sxsy
Si k<=-1:
rCk = 1/(n-k) ( (xi+k-x)(yi-y) )/sxsy
CUADRO 18.2 b) - PROCEDIMIENTOS DE SUAVIZAMIENTO
Promedios Móviles
A partir de observaciones x1, ..., xi, ..., xn de una serie X se obtienen valores de una serie Y suavizada, mediante la siguiente expresión:
ym = f1xi+f2xi+1+...+fk-1xi+k-2+fkxi+k-1
siendo:
k Número de períodos para el promedio
m Si k es impar: m=(i+k)/2
Si k es par >2: m=(i+k+1)/2
Si k=2: m=i
f1,...,fk
Factores de ponderación fi = 1
Si no se ponderan los valores fi=1/k
Mediante la expresión anterior no resulta posible obtener los primeros valores y los últimos . Debido a ello en la serie suavizada Y se consideran en correspondencia con dichas posiciones los valores de la serie original X.
Medianas Móviles
La función de suavizamiento es, en este caso:
ym = Mediana de (xi, xi+1,...,xi+k-2, xi+k-1)
donde k y m tienen un significado sinilar al caso anterior.