Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Dielectricos

Dieléctricos

Hemos visto que en los conductores las cargas se mueven libremente en respuesta a un campo eléctrico a puntos tales que el campo dentro del conductor es cero. Ahora analizaremos los materiales que no conducen la electricidad, estos son llamados aislantes o dieléctricos.

Mediante experimentos se observo que la capacitancia aumenta cuando se coloca un material aislante entre las placas del capacitor. Si este aislante llena completamente el espaco entre las placas, la capacitancia aumenta por un factor k, que depende del material. A este factor k se le llama constante dieléctrica.

Para explicar porque sucede esto, consideremos un capacitor, cuya carga es

$Q=V*C$

Si ahora colocamos un dielectrico, la capacitancia aumente. Esto implica que para una carga fija, el voltaje es menor. debido a que el voltaje es la integral de linea del campo electrico, entonces el campo electrico se tiene que reducir. Consideremos la superficie verde de la figura. Usando la ley de Gauss

$\oint {\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {q}{\epsilon _{0}}}$

Como el campo electrico se reduce, podemos concluir que la carga que encierra nuestra superficie tiene que ser menor que si no estuviera el dielectrico. Tiene que haber carga positiva sobre la superficie del dielectrico, y como el campo electrico es diferente de cero, esta tiene que ser menor que la que hy sobre las placas del condensador. En resumen, cuando un dielectrico es colocado en un campo electrico, se inducen cargas positivas en un lado del dielectrico y negativas en el otro.

El Vector de Polarización

La clave para entender los dielectricos es saber que existen en el muchos pequeños dipolos inducidos en el material. Veamos un poco que es lo que sucede a nivel de los átomo. La Fig 2a es la representación de un átomo en ausencia de campo eléctrico, mientras que la Fig 2b es una representación en presencia de un campo electrico; podemos verque el nucleo, con carga positiva es atraído hacia una direccion, mientras que los electrones, con carga negativa son dirigidos hacia la direccion opuesta. Si el campo eléctrico no es muy grande, la cantidad de momento dipolar inducida será proprcional al campo. Si consideramos que cada átomo tiene q cargas separadas una distancia d, entonces

${\vec {p}}=q{\vec {d}}$

Ahora, si tenemos N átomos por unidad de volumen,

${\vec {P}}=Nq{\vec {d}}$

Éste es el momento dipolar por unidad de volumen. Es importante notar que la plarización varia de un lugar a oto en el dieléctrico, y que además es proporcional al campo electrico. Si tenemos una hoja de material a la cual se le aplica un campo electrico, entonces tenemos una cierta polarización, y si esta no es uniforme, ésta producirá una densidad de carga volumetrica, ya que más carga será movida hacia una region que lejos de ella. Ahora, si la polarización es uniforme, no se genera una densidad de carga, y solo tenemos que revisar que es lo que ocurre en la supreficie. De hecho, tenemos una densidad de carga superficial que resulta ser igual a la polarización del material.

Las placas de un capacitor tienen densidad de carga superficial $\sigma _{free}$ y campo electrico $E={\frac {\sigma _{free}}{\epsilon _{0}}}$ En presencia de un dielectrico

$(*)E={\frac {\sigma _{free}-\sigma _{pol}}{\epsilon _{0}}}={\frac {\sigma _{free}-P}{\epsilon _{0}}}$

Donde $\sigma _{pol}$ es la densidad de carga debido a la polarización. Ahora, la polarizacion depende del campo electrico, y es proporcional a este, entonces podemos escribir

${\vec {P}}=\chi \epsilon _{0}{\vec {E}}$

donde $\chi$ es la suceptibilidad electrica.

Sustituyendo la polarizacion en (*), obtenemos

$E={\frac {1}{1+\chi }}{\frac {\sigma _{free}}{\epsilon _{0}}}$

De esta manera vemos claramente el factor pr el cual se reduce el campo electrico en presencia de un dielectrico. En el caso de que la polarización no se constante, tendremos una densidad de carga volumetrica, ¿Cómo la encotramos?

La carga que se mueve a traves de cualquier elemento de superficie es propocional a la parte perpendicular a la superficie del vector ${\vec {P}}$ . Entonces tenemos

$\sigma _{pol}={\vec {P}}\cdot {\vec {n}}$

Es la carga que se mueve a traves de la superficie. Ahora, la carga total desplazada hacia afuera de cualquier volumen V por la polarzación es la integral de ${\vec {P}}\cdot {\vec {n}}$ sobre toda la superficie

$\Delta q_{pol}=-\int _{s}{\vec {P}}\cdot {\vec {d}}a$

Podemos atribuir $\Delta q_{pol}$ a una istribución volumetrica de carga con densidad $\rho _{pol}$

$\Delta q_{pol}=\int \rho _{pol}dv$

Igualando las dos expresiones para la carga de polarización

$\int _{v}\rho _{pol}dv=-\int _{s}{\vec {P}}\cdot {\vec {da}}$

Por el teorema de divergencia tenemos la igualdad

$\int _{s}{\vec {P}}\cdot {\vec {da}}=\int _{v}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}})dv$

Entonces

$\int _{v}\rho _{pol}dv=-\int _{v}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}})dv\rightarrow \rho _{pol}=-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}$

En resumen, si tenemos una polarización no uniforme, su divergencia nos dice cual es la densidad de carga que aparece en el material.

Ecuaciones electrostáticas con dieléctricos

Es hora de combinar estos resultados con la teoría de la electrostática. La ley de Gauss, en su forma diferencial es

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Aqui, la $\rho$ es la densidad de todas las cargas.Para nuestros propositos es mejor separar la parte que es producida por la polarizacion, que llamaremos $\rho _{pol}$ de la demás densidad de carga, que denotaremos por $\rho _{free}$ . Ahora tenemos

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho _{free}+\rho _{pol}}{\epsilon _{0}}}={\frac {\rho _{free}-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {P}}}{\epsilon _{0}}}\rightarrow {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {E}}+{\frac {\vec {P}}{\epsilon _{0}}})={\frac {\rho _{free}}{\epsilon _{0}}}$

Recordemos que ${\vec {P}}=\chi \epsilon _{0}{\vec {E}}$ , y sustituyamoslo en nuestra ecuación, entonces tenemos

${\vec {\nabla }}\cdot ((1+\chi ){\vec {E}})={\frac {\rho _{free}}{\epsilon _{0}}}$

Por otro lado, el rotacional del campo eléctrico no sufre cambios

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0$

Estas son las ecuaciones de electrostática en presencia de dieléctricos, que, aunque no nos dicen nada nuevo, nos facilitan el calculo de la densidad de carga libre si tenemos la polarizacion y ésta es proporcional al campo eléctrico. Observemos que en la ecuación para la divergencia no hemos factorizado el termino $(1+\chi )$ , ya que estamos considerando el caso general en el que podemos tener diferentes dielectricos en diferentes zonas del campo.

Hay una cuestion de importancia histórica que debemos mencionar. En los inicios de la electrostática no se conocia el mecanismo de la polarización y no era apreciada la existencia de la $\rho _{pol}$ , por lo que toda la carga se englobaba en el termino $\rho _{free}$ . Para simplificar las ecuaciones se definia un nuevo vector ${\vec {D}}$ de la siguiente manera

${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$

Con este nuevo vector, las ecuaciones de la electrostatica quedan de la siguiente manera

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho _{free}$

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0$

¿Es posible resolver esto? Si, pero necesitamos la relación entre ${\vec {D}}$ y ${\vec {E}}$ . Cuando la polarizaciòn es proporcional al campo eléctrico, esta relación es

${\vec {D}}=\epsilon _{0}(1+\chi ){\vec {E}}=(1+\chi )\epsilon _{0}{\vec {E}}$

Esta relación suele escribirse de la siguiente manera

${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$

donde $\epsilon =(1+\chi )\epsilon _{0}$

Una ecuación como esta es un intento por describir las propiedades de la materia, pero la materia es complicada, y de hecho esta ecuación es incorrecta. Por ejemplo, si E se hace grande, D deja de ser proporcional a E, y además, para muchas sustancias esta proporcionalidad se rompe incluso para campo muy débiles.Tambièn la contante de proporcionalidad puede depender de cuán rápido varia E con el tiempo, por eso, una ecuación de este tipo debe considerarse solo una aproximación.